Методы спектрального анализа сигналов. Учебное пособие

31

Идеальное подавление первого БЛ (на частоте =2,5[2 /N]) происходит при =25/46 ( =0.543478261). Если выбирается равным 0,54, то новый нуль появляется при =2,6[2 /N] и тем самым достигаеися если не полное, то по крайней мере весьма значительное снижение уровня БЛ. При указанной величине окно называется окном Хэмминга и задается выражением

wn 0.54 0.46cos 2πn / N ; n=[0....N-1].

Коэффициенты окна Хэмминга близки к значениям коэффициентов, при которых уровень БЛ достигает минимума. Из-за небольшого разрыва на границе окна уровень БЛ спадает всего лишь как 1/ , т.е. со скоростью 6 дБ/октава. Зато благодаря более сильному подавлению БЛ их начальный уровень много ниже, чем у ранее описанных окон, и равен примерно -42 дБ. На рис. 3.7 представлен вид окна Хэннинга во временной области (рис. 3.7а) и его спектральное преобразование в логарифмическом масштабе (рис. 3.7б).

Окно Блэкмана Можно «конструировать» окна суммированием К ядер Дирихле.

Однако для получения узкого главного лепестка К выбирается из ряда малых целых чисел. Блэкман исследовал окно такого типа при К=3 и определил значения ненулевых коэффициентов, при которых нули преобразования окна попадают на частоты =3,5[2 /N] и =4,5[2 /N], т.е. на частоты максимумов третьего и четвертого БЛ центрального ядра Дирихле. Точные значения коэффициентов ai соответственно равны:

a0=7938/18608=0,42659071; a1=9240/18608=0,49656062; a2=1430/18608=0,07684867.

Окно Блэкмана для конечного преобразования Фурье определяется выражением:

wn a0 a1 cos 2πn / N a2 cos 4πn / N , n=[–N/2....N/2],

31

32

Уровень БЛ у точного окна Блэкмана составляет –51дБ, уровень БЛ спадает как 1/ или 6 дБ/октава. Для всех окон этого класса коэффициент a0 равен когерентному усилению окна. На рис. 3.8 представлен вид окна Блэкмана во временной области (рис. 3.8а) и его спектральное преобразование в логарифмическом масштабе (рис. 3.8б).

Рис. 3.8

Методами градиентного поиска найдены окна, названные окнами

Блэкмана-Хэрриса, которые при трех или четырех ненулевых членах имеют минимальный уровень БЛ. У 3- и 4-членных окон с минимальным уровнем БЛ этот уровень составляет соответственно -67 и -92 дБ. Для ДПФ эти окна задаются выражением:

wn a0 a1 cos 2πn / N a2 cos 4πn / N a3 cos 6πn / N , n=[0....N-1].

В таблице 3.1 приведены значения ненулевых коэффициентов для 3- и 4-х членных окон Блэкмана-Хэрриса с минимальным уровнем БЛ.

На рис. 3.9 представлены графики, характеризующие трехчленное окно Блэкмана-Хэрриса с минимальным уровнем БЛ во временной области (рис. 3.9а) и его спектральное преобразование в логарифмическом масштабе (рис. 3.9б).

32

Рис. 3.9

На рис. 3.10 представлено четырехчленное окно БлэкманаХэрриса с минимальным уровнем БЛ во временной области (рис. 3.10а) и его спектральное преобразование в логарифмическом масшта-

бе (рис. 3.10б).

W( )

wn

-40

0,5

Рис. 3.10

Окно Гаусса (Вейерштрасса)

Окна этого семейства представляют собой гладкие положительные функции, преобразование Фурье которых имеет высокие узкие главные лепестки. Согласно обобщенному принципу неопределенности, нельзя одновременно «сжать» сигнал и его преобразование Фурье. Если мерой сжатия является среднеквадратическая временная длительность Т и среднеквадратическая полоса частот W, то для любой функции выполняется неравенство TW 1/(4 ). Равенство достигается только для импульса с гауссовской огибающей. Такой импульс характеризуется минимальным произведением длительности на полосу частот и поэтому используется в качестве окна. При этом необходимо усечение «краев» гауссовой кривой, тем самым ограничивая временную длительность импульса. В результате его спектр расширяется, и произведение длительности на полосу частот перестает быть минимальным. При условии, что точка усечения лежит за точкой 3 , ошибки усечения малы, и такое окно является хорошей аппроксимацией

33

34

35

непрерывных окнах может быть реализовано лишь приближенно. Дискретные окна не имеют подобных ограничений и для них возможно точное решение.

Соотношение Tn(x)=cos(n ) задает отображение множества алгебраических полиномов Чебышева n-го порядка на множество тригонометрических полиномов того же порядка. С помощью этого отображения можно получить следующее выражение для окна Дольфа - Чебышева, определяемого через значения эквидистантных отсчетов преоб-

Чтобы вычислить соответствующие временные отсчеты окна wn, нужно применить к отсчетам Wk ДПФ, а затем нормировать их относительно максимальной амплитуды. Параметр характеризует собой логарифм отношения максимума главного лепестка к уровню БЛ.

Множитель 1 k , чередующий знаки последовательных отсчетов

преобразования, введен для учета сдвига начальной точки во временной области. На рис. 3.13, 3.14, 3.15 представлены окна ДольфаЧебышева для значений параметра =2, =3, =4 соответственно во временной области (рис. 3.13а, 3.14а, 3.15а) и его спектральное преобразование в логарифмическом масштабе (рис. 3.13б, 3.14б, 3.15б). Особенность рассматриваемого окна – структура БЛ, которые представляют собой синусоиду. Равномерными осцилляциями в частотной области объясняется появление выбросов во временном представлении окна.

35

Окно Кайзера-Бесселя Представляет практический интерес задача определения функции

ограниченной длительности Т, имеющей максимальную энергию в полосе частот W при ограниченной общей энергии. Известно решение этой задачи в виде семейства волновых функций вытянутого сфероида нулевого порядка. Параметром семейства весовых окон является произведение длительности на полосу частот. Кайзер нашел простую аппроксимацию этих решений с помощью модифицированных функций Бесселя первого рода нулевого порядка. Окно Кайзера - Бесселя определяется выражением

Параметр равен половине произведения длительности на полосу частот. Частотное преобразование окна приближенно равно

36

37

38

39

4. Методы параметрического спектрального анализа

Соотношение между автокорреляционной последовательностью (АКП) и спектральной плотностью мощности, определяемой как дис- кретно-временное преобразование Фурье бесконечной АКП, можно рассматривать как непараметрическое описание статистик второго порядка случайного процесса. К параметрическому описанию статистик второго порядка можно прийти, рассматривая модель временного ряда, соответствующего анализируемому случайному процессу. В этом случае СПМ модели временного ряда будет, прежде всего, некоторой функцией параметров этой модели, а не АКП. Частным классом параметрических моделей является достаточно широкий класс моделей, включающий модель авторегрессионного (АР) процесса, модель процесса скользящего среднего (СС), модель процесса авторегрессии и скользящего среднего (АРСС).

На рис. 4.1 приведены соответствующие модели временного ряда: авторегрессионый (АР) фильтр порядка p (рис. 4.1а), фильтр скользящего среднего (СС) порядка q (рис. 4.1б), фильтр авторегрессиискользящего среднего (АРСС) порядка (p, q) (рис. 4.1в). Выходные

39

40

процессы моделей этого класса имеют спектральные плотности мощности, которые полностью описываются с помощью параметров модели и дисперсии белого шумового процесса. Значения этих параметров и дисперсия белого шума определяются по АКП.

z-1 z-1

а)

xn z-1 z-1

40