Методы спектрального анализа сигналов. Учебное пособие

11

ной точностью вычисления оценок значений автокорреляции.

Если не применяется весовая обработка (т.е. взвешивающее окно является прямоугольным), СПМ является сверткой истинной СПМ с преобразованием Фурье прямоугольного окна:

ˆ

P ( ) P( ) D( ),

где D( ) представляет собой ДПФ прямоугольной функции окна, называется ядром Дирихле и имеет вид функции sin(x)/x. Хотя эта оценка СПМ вычисляется с использованием несмещенных оценок автокорреляции, она будет смещенной оценкой истинной СПМ.

С увеличением числа значений оценки автокорреляции коррелограммный метод дает асимптотические несмещенные оценки СПМ. Известно, что число оцениваемых значений автокорреляционной последовательности должно составлять примерно 10% от числа имеющихся отсчетов данных.

2.2. Периодограммный метод

Полагая исследуемый процесс эргодичным, периодограммные оценки СПМ можно определить следующим образом:

являющийся исходной немодифицированной формой периодограммной оценки СПМ. Данный выборочный спектр будет давать несостоятельные (неустойчивые) оценки, поскольку при вычислениях была опущена операция вычисления математического ожидания, предусмотренная выражением (2.2). Поэтому для сглаживания периодограммой оценки необходимо применять операции псевдоусреднения по ансамблю. Известны несколько методов сглаживания, из которых три считаются основными.

Метод Даньелла – периодограмма сглаживается путем усреднения по соседним ячейкам частотного разрешения. Если для вычисления выборочного спектра P( ) на сетке частот k = 2 k/KT, 0 k KT

11

13

Если запись комплексных данных из x0,…xN отсчетов разбита на P сегментов по D отсчетов в каждом со сдвигом S отсчетов между соседними сегментами (S D), то максимальное число сегментов P будет определяться целой частью числа (N-D)/S+1. Взвешенный p-й сегмент будет состоять из x(p)n = wnxn+pS отсчетов, где wn – отсчеты окна данных, 0 n D-1, 0 p P-1. Выборочный спектр взвешенного p-го сегмента в диапазоне частот – /T /T определяется выражением

гия дискретно-временного окна. Среднее значение периодограмм взвешенных сегментов дает оценку периодограммы Уэлча:

D 1

где W ( ) T wne j nT – ДПФ окна данных.

n 0

Существуют и другие методы сглаживания периодограмм, однако они оптимальны только применительно к некоторым ограниченным классам сигналов. Перечисленные три метода сглаживания не всегда оптимальны, но практика доказала их статистическую устойчивость (робастность) для многих классов сигналов. Однако следует учитывать, что при использовании сглаженной оценки зашумленного сигнала истинная периодичность может быть незаметна. На рис. 2.1а представлена несглаженная периодограмма, позволяющая обнаружить синусоидальную составляющую. На рис. 2.1б представлена сглаженная периодограмма, в которой невозможно обнаружить синусоидальную составляющую.

13

Рис. 2.1. Периодограммы аддитивной смеси гармонического сигнала с шумом

Рассмотренные классические методы во многом стали популярны вследствие высокой эффективности вычислений по алгоритму БПФ. Однако предположение о нулевом значении данных и корреляционной функции за пределами интервала наблюдения далеко не всегда справедливо и ограничивает разрешающую способность величиной, приблизительно обратно пропорциональной объему выборки данных, а также вызывает появление больших боковых лепестков в оценке спектра (эффект Гиббса, который далее будет подробно рассмотрен). Правильный выбор функции окна может улучшить статистическую стабильность оценки и снизить уровень боковых лепестков, но ценой дальнейшего ухудшения разрешающей способности. Следует отметить, что как прямые, так и косвенные оценки СПМ являются несостоятельными, т.е. их дисперсия не стремится к нулю при увеличении объема выборки.

К тому же, во многих случаях визуального сравнения оценок явно недостаточно. Это не позволяет с большой точностью говорить о применимости или о неприменимости классических методов в каждом конкретном случае. На рис. 2.2 приведена иллюстрация визуально воспринимаемого усиления спектрального разрешения. Оба спектра несут одну и ту же информацию, однако спектральная функция вида

помощью преобразования вида 1/(1-x)) на рис. 2.2б выглядит как спектр с более высоким разрешением, чем исходный спектр PA(f), изображенный на рис. 2.2а.

14

Разрешение по частоте ограничено величиной, обратной интервалу корреляции в дискретном преобразовании Фурье. Проблема достижения высокой разрешающей способности непараметрических методов спектрального анализа связана с недостаточной протяженностью корреляционной функции. Ее преодоление было бы возможно при продолжении ее, основанном на априорных данных о входном процессе.

2.3. Практические алгоритмы спектрально-временных преобразований

2.3.1. Дискретное преобразование Фурье

Основной операцией во многих прикладных задачах спектрального анализа является дискретное преобразование Фурье (ДПФ). ДПФ конечной последовательности {xn}, 0 n N-1, определяется как

N 1

X k xnWNnk , n 0

где WN = exp(-j2 /N) и фактически является немодифицированной формой периодограммой оценки спектра исходной последовательности. Коэффициенты ДПФ последовательности конечной длины равны значениям z-преобразования этой последовательности в N точках, равномерно распределенных на единичной окружности. Коэффициенты Xk однозначно представляют саму последовательность, так как по ним можно восстановить исходную последовательность, используя обратное ДПФ.

К основным свойствам ДПФ, играющим важную роль в практических вопросах обработки сигналов относятся: свойство линейности;

15

16

свойство сдвига; свойство симметрии. Использование этих свойств позволяет при обработке действительной последовательности однократно вычислив ДПФ, получить ДПФ двух последовательностей, используя свойства симметрии. Рассмотрим действительные периодические последовательности xn и yn с периодами N отсчетов и N- точечными ДПФ Xk и Yk соответственно. Введем комплексную последовательность zn вида

zn= xn+jyn.

Выделяя действительные и мнимые части последнего равенства, получим:

Re{Zk}=Re{Xk}-Im{Yk},

Im{Zk}=Im{Xk}+Re{Yk}.

Поскольку действительные части Xk и Yk симметричны, а мнимые

– антисимметричны, то разделить их достаточно просто:

Re{Xk}=Re{Zk}+Re{ZN-k}, 2

Im{Yk}=Re{ZN-k}-Re{Zk}, 2

Im{Yk}=Im{Zk}+Im{ZN-k}, 2

Im{Xk}=Im{Zk}-Im{ZN-k}. 2

Таким образом, вычисляя одно N-точечное ДПФ, можно вычислить ДПФ сразу для двух действительных последовательностей длиной также по N отсчетов. Кроме того, число операций, затрачиваемых на вычисление ДПФ, можно дополнительно сократить, обрабатывая не только действительные, но и симметричные последовательности.

2.3.2. Быстрое преобразование Фурье

Существует набор алгоритмов, называемых алгоритмами быстрого преобразования Фурье (БПФ) [10], включающий разнообразные методы уменьшения времени вычисления дискретного преобразования Фурье (ДПФ). Использование БПФ в некоторых встречающихся на практике случаях позволяет ускорить вычисление ДПФ в сотни раз по сравнению с методом прямого вычисления ДПФ. Поэтому БПФ имеет очень важное практическое значение и рассматривается во многих случаях как неотъемлемая часть применения методов цифровой обра-

16

17

ботки сигнала для спектрального анализа.

Основная идея БПФ состоит в том, чтобы разбить исходную N- точечную последовательность на две более короткие последовательности, состоящие соответственно из четных и нечетных членов исходной последовательности, ДПФ которых могут быть скомбинированы таким образом, чтобы получить ДПФ исходной N - точечной последовательности. Эту операцию можно повторить, вычисляя вместо N/2- точечного ДПФ два N/4-точечных ДПФ (предполагая, что N/2 четное). Процедура уменьшения размерности преобразования может быть продолжена до тех пор, пока не останутся только двухточечные ДПФ, выполняемые с помощью базовых операций.

Алгоритм БПФ, в котором входная, то есть временная последовательность разделяется на две обрабатываемые последовательности меньшей длины, называется алгоритмом с прореживанием по времени.

Разделим исходную последовательность {xn} на две последовательности, состоящие соответственно из четных и нечетных членов исходной последовательности:

an = x2n, 0 n N/2-1;

bn = x2n+1, 0 n N/2-1.

N-точечное ДПФ последовательности {xn} можно записать как

где Ak и Bk – N/2-точечные ДПФ последовательностей {an} и {bn}. Таким образом, N-точечное ДПФ Xk может быть разложено на два N/2- точечных ДПФ четной и нечетной последовательностей, результаты выполнения которых объединяются по формуле (2.3).

Вследствие свойства периодичности ДПФ формулу (2.3) можно доопределить и для k N/2:

17

19

Особенностью алгоритма с прореживанием по времени является необходимость такой предварительной перестановки элементов входной последовательности, при которой выходная последовательность отсчетов имела бы прямой порядок следования. Характер перестановки элементов входной последовательности в случае, когда N кратно двум, заключается в том, что входную последовательность следует располагать в двоично-инверсном порядке. Данный порядок определяется следующим образом. Если записать порядковые номера элементов входной последовательности в двоичном коде, используя L двоичных разрядов, так, что N=2L, а затем инвертировать порядок следования разрядов, то получаемые при этом числа будут номерами элементов входной последовательности после их перестановки. Для случая N=8=23 способ двоичной инверсии приведен в таблице 2.1.

Другой распространенной формой алгоритма БПФ при условии, что N равно степени 2, является алгоритм БПФ с прореживанием по частоте. В этом варианте алгоритма БПФ входная последовательность разбивается на две последовательности, содержащие по N/2 отсчетов каждая следующим образом: первая последовательность состоит из первых N/2 отсчетов, а вторая – из остальных N/2 отсчетов:

an = x2n, 0 n N/2-1; bn = xn+N/2, 0 n N/2-1.

N-точечное ДПФ последовательности {xn} можно записать в виде

19