Графический и графоаналитический методы расчета оценок параметров распределения, хотя и применяются до сих пор, можно считать устаревшими.

13. Оценка погрешностей выборочных параметров распределения

Оценка параметра распределения некоторой СВ X, полученная по выборке тем или иным методом, сама представляет собой случайную величину, обладающую определенным разбросом. Имеется в виду, что можно получить сколько угодно выборок объемом n из одной и той же генеральной совокупности, и все они будут давать различные значения оцениваемого параметра. Поэтому точечная оценка параметра G в виде конкретного значения G* не дает полного представления об искомом параметре без оценки погрешности ее вычисления. Мерой случайной погрешности для выборочного параметра G* может служить

среднеквадратическое отклонение СКО σ G* (другое название – абсолютная погрешность) или относительное среднеквадратическое отклонение εG = (σG* / G* ) 100% (относительная погрешность). Формулы для расчета погрешностей зависят от того, каким методом производилась оценка параметра.

Метод моментов. Абсолютная погрешность выборочного среднего x :

где Сv* – выборочный коэффициент вариации.

Для расчета абсолютной и относительной погрешностей коэффициента вариации используются формулы

где δ = 2 для нормального распределения и δ = 1 для двухпараметрического гамма-распределения. Так как гидрологические ряды имеют, как правило, умеренную положительную асимметрию, эти формулы рекомендуется использовать при δ = 1.

Для оценки погрешности коэффициента асимметрии предложены формулы С.Н. Крицкого и М.Ф. Менкеля:

формула А.Ш. Резниковского

37

Формулы (13.4) – (13.6) разработаны для случая Cs = 2Cv, причем формулы (13.4) – (13.5) получены теоретическим путем, а формулы (13.6) – на основании материалов статистического моделирования. Для распределений, у которых коэффициент асимметрии близок к нулю, формулы (13.4) – (13.6) не применимы, так как множитель 1/Сs стремится к бесконечности. В этом случае относительная погрешность Cs вообще не вычисляется.

Метод наибольшего правдоподобия. Абсолютная и относительная пог-

решности среднего значения и коэффициента асимметрии определяются так же, как и для метода моментов: по формулам (13.1) – (13.6).

Для приближенной оценки погрешности коэффициента вариации в настоящее время рекомендуется применять формулы

В гидрологической практике принято считать, что расчет параметров распределения выполнен надежно, если погрешность среднего значения не превышает 10%, а коэффициента вариации 15%.

Ошибка коэффициента асимметрии при имеющейся в настоящее время длине рядов довольно высока и может достигать нескольких десятков процентов, поэтому, как правило, величина Cs назначается в соответствии с рекомендациями, изложенными в п. 12.

При использовании графического (графоаналитического) метода рассчитать абсолютные и относительные погрешности параметров распределения не представляется возможным. Критерием правильности подбора аналитической кривой служит выполнение неравенства

полученное путем расчета графоаналитическим методом. При выполнении неравенства (13.8) предполагается, что оценка параметров аналитической кривой обеспеченностей произведена с достаточной точностью.

14. Проверка однородности гидрологических рядов

Если в качестве математической модели для описания статистической структуры гидрологических рядов рассматривать случайную величину, то статистические характеристики гидрологического ряда не должны изменяться, т.е. все элементы данной выборки должны относиться к одной генеральной совокупности. По сути это эквивалентно предположению о неизменности условий формирования стока. Если в результате природных катаклизмов или антропо-

38

генной деятельности условия формирования стока изменятся, то это неминуемо приведет и к изменению статистических характеристик ряда, например, среднего или дисперсии.

Если статистические характеристики отдельных частей ряда существенно отличаются, то такой ряд является неоднородным (нестационарным). При этом надо иметь в виду, что изменение условий формирования стока может сказаться на одних характеристиках стока и почти не отразиться на других. Например, строительство водохранилища многолетнего регулирования наверняка окажет влияние на характеристики максимального стока, но может практически не повлиять на среднегодовые расходы.

Статистические методы анализа гидрологических данных, которые были изложены в предыдущих пунктах, применимы только к однородным рядам, поэтому перед проведением любых статистических расчетов необходимо осуществить проверку однородности исходных гидрологических рядов. Для проверки однородности гидрологических рядов используются критерии двух ти-

пов: параметрические и непараметрические. В параметрических критериях при построении анализируемой статистики используют выборочные оценки параметров распределения. При этом считается, что исходная выборка относится к генеральной совокупности с известным типом распределения (как правило, принимается нормальный закон).

Непараметрические критерии базируются на использовании непараметрических статистик. Статистика g(x1, х2,..., xn) является непараметрической, если ее распределение не зависит от распределения СВ X. Хотя непараметрические критерии часто менее эффективны, чем параметрические, это компенсируется более широкими возможностями их применения. Приведенные ниже критерии Стьюдента и Фишера относятся к числу параметрических.

Критерий Стьюдента для проверки значимости различия средних значений двух выборок. Пусть (x1, х2,..., xn) и (y1, y2,..., ym) – выборки длиной n и m из нормальных распределений с неизвестными параметрами mx, σx и my, σy, но при этом известно, что σx = σy, т.е. они имеют одинаковое, хотя и неизвестное, СКО, обозначим его буквой σ (без индекса).

Если предположить, что эти выборки относятся к одной генеральной совокупности, то разность должна быть близка к нулю, или, говоря языком статистики, различие средних должно быть статистически незначимым. На основе этой разности построим статистику:

где σx−y – СКО разности (x − y) . Эта статистика подчиняется распределению

Стьюдента с числом степеней свободы ν = m + n – 2.

В математической статистике доказано, что выражение для эмпирической статистики (14.1) имеет вид:

39