шие регрессионные уравнения. Основные шаги этого метода сводятся к следующему:

1) рассчитывается регрессионное уравнение, включающее все перемен-

ные;

2) вычисляется значение частного F-критерия для каждого аргумента в предположении, как будто это последняя переменная, введенная в регрессионное уравнение; частный F-критерий связан с проверкой гипотезы Ho: aj = 0 против альтернативной гипотезы H1: aj ≠ 0;

3)наименьшее значение частного F-критерия, обозначаемое, скажем, как FL, сравнивается с заранее выбранным критическим значением, например FQ. Далее возможны два варианта: если FL < FQ, то аргумент XL исключается и производится пересчет уравнения регрессии с учетом оставшихся переменных; если FL > FQ, то уравнение регрессии оставляют без изменений и процедура завершается.

21. Основные характеристики случайных процессов

Как для СВ мы определяли математическое ожидание, дисперсию и др., так и для СП мы будем определять основные характеристики; только для СП эти характеристики будут не числами, а функциями времени. Математическим ожиданием СП X(t) называется неслучайная функция mx(t), которая при любом значении аргумента t равна МО соответствующего сечения СП:

−∞

где f1(x,t) – одномерная плотность распределения СП X(t).

Дисперсией СП X(t) называется неслучайная функция Dx(t), которая при любом значении аргументаt равна дисперсии соответствующего сечения СПX(t).

Среднеквадратическим отклонением СП X(t) называется неслучайная функция ax(t), равная корню квадратному из дисперсии СП:

Dx (t) = D[X (t)]= M {[X (t) − mx (t)]2}, σx (t) =σ[X (t)]= Dx (t) . (21.2)

МО и дисперсия являются важными, но не исчерпывающими характеристиками СП, так как определяются только одномерным законом распределения и не позволяют учесть взаимосвязь между отдельными сечениями. Для учета такой взаимосвязи используется корреляционная функция СП.

Корреляционной функцией СП X(t) называется неслучайная функция Kx(t,t'), которая при каждой паре значений аргументов t и t' равна ковариации соответствующих сечений X(t) и X(t'):

Kx (t,t′) = M {[X (t) −mx (t)] [X (t′) −mx (t′)]}= M {X (t) X (t′)}−mx (t) mx (t′). (21.3)

56

Свойства корреляционной функции: при равенстве аргументов (t = t') корреляционная функция равна дисперсии СП; корреляционная функция симметрична относительно своих аргументов Kx(t,t')= Kx(t',t).

Нормированной корреляционной функцией (НКФ) СП X(t) называется функция, полученнаяделением корреляционной функции на произведение СКО:

Свойства нормированной НКФ:

1)при равенстве аргументов (t = t') НКФ равна единице, rx (t,t′) =1;

2)НКФ симметрична относительно своих аргументов, rx (t,t′) = rx (t′,t) ;

3)НКФ по модулю не превышает единицу, | rx (t,t′) |≤1.

Кчислу наиболее простых для изучения СП относятся стационарные СП,

укоторых все вероятностные характеристики не зависят от времени. В частности, у стационарного СП математическое ожидание и дисперсия из функций аргумента t превращаются в константы. Это означает, что все сечения стационарного СП имеют одинаковые МО и СКО.

СП называется стационарным в узком смысле, если его n-мерная плотность распределения не изменится при сдвиге всех его временных аргументов на одинаковую произвольную величину θ. Это означает, что плотность распределения стационарного СП не зависит от того, в какие моменты t1 и t2 рассмат-

риваются сечения, а зависит от расстояния между этими сечениями t1 −t2 =τ .

СП называется стационарным в широком смысле, если его математическое ожидание постоянно, а корреляционная функция есть функция сдвига между аргументами: Kx( t1,t2 ) = kx(τ ).

Если СП является стационарным в узком смысле, то он стационарен и в широком смысле (обратное утверждение не всегда верно).

Нормированная корреляционная функция стационарного СП или автокорреляционная функция (АКФ):

Стационарный СП может обладать или не обладать эргодическим свойством. Эргодическое свойство состоит в том, что по любой достаточно продолжительной реализации СП можно составить представление о СП в целом.

Поясним это на примере МО. МО стационарного СП – это постоянная величина, и, следовательно, его можно оценить по любому сечению, имея достаточно много реализаций. Для стационарного эргодического СП то же самое можно сделать по одной реализации, если она имеет достаточно большую продолжительность. Например, для стационарного эргодического СП среднее зна-

57

чение по любому сечению можно заменить на среднее значение по одной достаточно продолжительной реализации.

Достаточное условие эргодичности стационарного СП: при увеличении сдвига между сечениями АКФ затухает и в пределе при τ → ∞ стремится к нулю.

Однако стационарный СП может быть и неэргодическим. Неэргодичность СП может быть вызвана, например, тем, что в качестве слагаемого СП фигурирует случайная величина.

На практике, имея всего одну реализацию СП (например, тридцатилетний ряд среднегодовых расходов воды), гидролог вынужден принимать гипотезу о стационарности и эргодичности. Так как только в этом случае оценки статистических характеристик, полученные по этой реализации, можно считать характеристиками всего СП. При этом формулы для точечных оценок МО и СКО СП

( x, Sx ) практически совпадают с формулами, используемыми в модели СВ. АКФ стационарного и эргодичного СП оценивается по формуле

где τ – сдвиг между сечениями.

В практике гидрологических расчетов наиболее часто используется первая ордината АКФ (при τ = 1), которая называется коэффициентом автокор-

реляции:

Расчет коэффициента автокорреляции и АКФ приведен в лабораторном практикуме.

СП, протекающий в некоторой системе с дискретными состояниями, называется марковским (МСП), если для любого момента времени t0 вероятность каждого из состояний системы в будущем (при t > t0) зависит только от ее состояния в настоящем (при t > t0) и не зависит от того, когда и как она пришла в это состояние, т.е. не зависит от ее состояния в прошлом (при t < t0).

МСП исчерпывающим образом описывается двумерным законом распределения. МСП с дискретными состояниями и дискретным временем называется

марковской цепью или простой марковской цепью. Если МСП является стационарным и обладает эргодическим свойством, его характеристики можно оценить по одной достаточно продолжительной реализации. В настоящее время при описании гидрологических процессов широко используется гипотеза об их «марковости» совместно с гипотезой о стационарности и эргодичности. Цепь, в которой условные вероятности состояний в будущем зависят от ее состояния на нескольких предыдущих шагах, называют сложной цепью Маркова.

58

22. Моделирование искусственных гидрологических рядов

При решении некоторых гидрологических задач необходимо иметь ряды продолжительностью в несколько сотен и даже тысяч лет. Поскольку ряды такой продолжительности отсутствуют, были разработаны методы моделирования искусственных гидрологических рядов. При использовании этих методов вначале производится оценка параметров распределения имеющегося эмпирического ряда, а затем моделируется искусственный ряд с такой же статистической структурой, но гораздо большей продолжительности.

В основе моделирования искусственных гидрологических рядов лежит метод Монте-Карло – это метод решения математических задач при помощи моделирования СВ. Если вероятностная структура ряда соответствует модели СВ, процесс моделирования включает следующие этапы.

На первом этапе требуется получить последовательность случайных чисел, равномерно распределенных на интервале [0;1]. Различают три способа получения случайных чисел: таблицы случайных чисел, генераторы случайных чисел и метод псевдослучайных чисел. При работе на компьютере удобнее пользоваться так называемыми псевдослучайными числами; нужно только помнить, что каждый запуск программы генерирует новую выборку.

На следующем этапе моделирования каждое значение СВ, равномерно распределенной на интервале [0; 1], рассматривается как вероятность непревышения и по нему рассчитывается соответствующий квантиль заданного закона распределения. Переход от случайных чисел, равномерно распределенных на отрезке [0; 1], к случайным числам с заданным законом распределения выполняется аналитически с использованием обратной функции от интегрального закона распределения. Если аналитического решения обратной задачи не существует, то она решается с использованием численных методов.

Применяя изложенную схему, можно написать компьютерную программу на любом языке программирования. Однако довольно часто достаточно воспользоваться уже готовыми программами. Например, «Пакет анализа», который входит в состав Microsoft Excel, позволяет моделировать ряды для семи законов распределения. Еще большими возможностями обладают специальные статистические пакеты.

Если вероятностная структура ряда соответствует модели СП, то алго - ритм несколько сложнее. Вначале должна быть принята одна из моделей СП.

Для описания стационарных СП в настоящее время довольно часто используются модели авторегрессии и их комбинации. В модели авторегрессии p-го порядка АР(р) текущие значения СП выражаются как конечная линейная комбинация предыдущих p его значений и случайной составляющей:

59

где Xt – центрированный СП, Xt = Xt −mx ; Θi – коэффициенты модели; ξt – СВ с нормальным законом распределения, нулевым МО, равным σξ СКО.

Модель авторегресси первого порядка АР(1) или модель марковского процесса выражается формулой

Для процесса АР(1) коэффициент и ординаты автокорреляционной функции связаны соотношением

Таким образом, для АР(1) АКФ полностью определяется своей первой ординатой. При этом Θ1 = r1.

При моделировании гидрологических рядов по модели авторегрессии необходимо также знать среднеквадратическое отклонение шума. В общем случае СКО σξ определяется формулой

При описании вероятностной структуры гидрометеорологических рядов с шагом дискретности менее года (месяц, декада, сутки) необходимо учитывать ритмику колебаний, связанную с годовой цикличностью. А при шаге дискретности менее суток следует учитывать суточный ход гидрометеорологических элементов. В качестве математической модели в этом случае можно использовать модель периодически нестационарного случайного процесса

(ПНСП).

СП называют периодически нестационарным, если его вероятностные характеристики инвариантны относительно сдвигов на положительное число Т. Например, при шаге дискретности один месяц инвариантность должна сохраняться при сдвигах 12, 24, 36 и т.д.

Периодически коррелированным случайным процессом (ПКСП) называют ПНСП, если инвариантны математическое ожидание и корреляционная функция:

Вводя обозначение τ = t2 −t1 , свойство (22.6) для ПКСП можно записать в виде

Если рассматривать гидрологический рядс как ПКСП с шагом дискретности один месяц, то математическое ожидание m(t) представляет собой регулярную (периодическую) составляющую СП процесса X(t) и позволяет найти

60