Рис. 4.2. Плотность f(x) и функция F(x) нормального распределения СВ при mx = 0; σx = 0,5
Несмотря на широкое распространение, нормальное распределение не универсально. В частности, если в качестве СВ рассматривать среднегодовые расходы воды, то налицо два несоответствия: расходы воды всегда положительны, а область возможных значений для нормальной СВ определяется интервалом (−∞;+∞) ; для нормального закона распределения Cs = 0,
а распределение среднегодовых расходов воды (и целого ряда других гидрологических характеристик), как правило, имеет умеренную положительную асимметрию.
5. Распределение Пирсона III типа (непрерывное биномиальное распределение)
Для аппроксимации закона распределения гидрометеорологических величин с одномодальной асимметричной функцией плотности вероятности (рис. 5.1.) А. Фостер предложил использовать общее дифференциальное уравнение Пирсона:
dy |
= |
|
y (z + a) |
, |
(5.1) |
||
dx |
b |
+b z +b z2 |
|||||
|
|
|
|||||
|
|
0 |
1 |
2 |
|
|
|
где Z – случайная величина, связанная с исходной СВ X соотношением z = х /mх – 1 = k – 1;
k – модульный коэффициент; у – ордината функции плотности вероятности СВ Z; a – расстояние от центра распределения (mk) до моды (Мо); bi – параметры, изменяя которые можно получить различные типы кривых распределения.
15
Рис. 5.1. Схема построения функции плотности вероятности Пирсона III типа для случая Cs /Cv > 2 (kmin > 0)
В практике гидрологических расчетов наибольшее распространение получила кривая Пирсона III типа, для которой b2 = 0, и уравнение (5.1) принимает вид
dy |
= |
y (z + a) |
. |
(5.2) |
|
dx |
|
||||
|
b |
+b z |
|
||
|
0 |
1 |
|
|
|
Данному уравнению (5.2) соответствует целое семейство функций. Для того чтобы y(z) действительно являлась искомой функцией плотности вероятности, необходимо ввести ряд дополнительных условий:
∞ |
|
∫ y(z) dz =1; y(zmin ) = 0 ; y(+∞) = 0. |
(5.3) |
zmin
Интегрируя (5.2) и переходя от СВ Z к модульным коэффициентам, после ряда преобразований можно получить выражение для функции плотности вероятности:
0 |
при k ≤ kmin ; |
|
|
||
|
βα (k −kmin )α−1 |
|
|
(5.4) |
|
y(k) = |
exp[− β(k −kmin )] |
при k > kmin , |
|||
|
|
|
|
||
|
Γ(α) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
где Г(α) – гамма-функция; α и β – параметры распределения, связанные с Cv и Cs случайной величины X соотношениями:
α = (2/ Cs)2 ; β = 2/(Cs Cv). |
(5.5) |
Заметим, что коэффициенты вариации и асимметрии не изменяются при замене значений СВ X на модульные коэффициенты. Минимальное значение модульного коэффициента в выражении (5.4) определяется формулой
kmin =1−2 Cv / Cs . |
(5.6) |
16
Из (5.6) следует, что
Cs = 2 Cv при kmin = 0 , Cs > 2 Cv при kmin > 0, Cs < 2 Cv при kmin < 0
Таким образом, дифференциальная кривая распределения Пирсона III типа при Cs = 2Cv начинается с нуля; при Cs > 2Cv – с некоторого положительного числа и наконец при Cs < 2Сv уходит в область отрицательных чисел.
Мода функции (5.4) при Cs < 2 выражается формулой
Mo = 1 −Cs Cv / 2 .
При больших значениях Cs кривая Пирсона Ш типа имеет весьма специфический вид. Из (5.5) следует, что при Cs = 2 α = 1 и функция (5.4) превращается в экспоненту, а при Cs > 2 α < 1 и функция (5.4) превращается в гиперболу.
Зная Cv и Cs, можно получить численные значения параметров kmin, α, β и записать выражение для вычисления обеспеченностей модульных коэффициентов
∞ |
β |
α |
∞ |
|
P(k) = ∫y(s) ds = |
|
∫(s −kmin )α−1 exp[− β(s −kmin )]ds . |
(5.7) |
|
|
|
|||
k |
Γ(α) k |
|
||
В случае Cs = 2Сv имеем: kmin = 0, α = β =1/ Cv2 ; (5.4), (5.7) упрощаются:
|
α |
α |
k |
α−1 |
exp(−α k), P(k) = |
α |
α |
∞ |
|
y(k) = |
|
|
|
∫sα−1 exp (−αs) ds . |
(5.8) |
||||
Γ(α) |
|
|
|||||||
|
|
Γ(α) k |
|
||||||
Первую из формул (5.8) называют двухпараметрическим гамма-распреде- лением. Кривая обеспеченности Пирсона Ш типа (5.7) в общем случае является трехпараметрической и однозначно определяется параметрами Сv и Cs, третий параметр mх необходимо знать для перехода от модульных коэффициентов к значениям СВ X. Кривая имеет нижний предел kmin и не ограничена верхним пределом. При Cs → 0 кривая Пирсона Ш типа стремится к нормальному рас - пределению. Численное решение уравнений (5.7), (5.8) считалось трудоемкой задачей, поэтому ординаты кривой обеспеченности Пирсона III типа обычно представли в виде таблиц. В настоящее время для численного решения стали использовать математические пакеты, что существенно упростило задачу.
Кривая распределения Пирсона III типа имеет особое значение для гидрологов как первая кривая, широко внедренная в практику гидрологических расчетов. Впервые таблицы распределения Пирсона III типа были опубликованы А. Фостером в 1924 г.
6. Распределение Крицкого-Менкеля (трехпараметрическое гамма-распределение)
Кривая распределения вероятностей Пирсона III типа, широко используемая в прежние годы в практике гидрологических расчетов, обладает, как было показано выше, одним существенным недостатком: при Cs < 2Cv она уходит в
17
область отрицательных значений. В связи с этим неоднократно предпринимались попытки получения кривой для аппроксимации закона распределения гидрологических величин с диапазоном изменения (0 < x < +∞) , пригодной для
всех реально встречающихся на практике соотношенийCs и Сv. Удачное решение этой задачи в середине сороковых годов предложили С.Н. Крицкий и М.Ф. Менкель. В качестве исходной модели они приняли кривую Пирсона III типа при Cs = 2Cv (5.8), трансформировав аргумент z в новую переменную k = azb:
|
αα |
z |
|
G(z) = |
|
∫sα−1 exp (−αs) ds . |
(6.1) |
|
|||
|
Γ(α) 0 |
|
|
При этом предполагалось, что МО новой переменной равно единице, т.е.
M [k]= M [a zb ]=1.
Подставляя в выражение (6.1) z = (k / a)1/ b , имея в виду, что f(k)=dG(k)/dk, Крицкий и Менкель получили новое распределение с плотностью вероятности
|
|
α |
α |
|
|
1/ b |
|
|
|
|
||
f (k) = |
|
|
|
k |
|
k |
α / b−1 |
. |
(6.2) |
|||
a |
α / b |
b Γ(α) |
exp |
−α |
|
|
|
|||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
||||
Начальный момент i-го порядка этого распределения связан с параметрами a, α и b соотношением
µ |
i |
= |
Γ(α +ib) ai |
M [k]= µ |
= |
Γ(α +b) a |
. |
(6.3) |
Γ(α) αib |
|
|||||||
|
|
1 |
|
Γ(α) αb |
|
|||
По условию М[k] = 1, приравняв (6.3) к единице, получаем выражение
для а:
a = |
Γ(α) αb |
. |
(6.4) |
|
Γ(α +b) |
||||
|
|
|
Подставляя (6.3) в (6.2), можно получить выражение кривой плотности вероятности Крицкого – Менкеля, записанное через Г-функцию. Это выражение определяется двумя параметрами α и b, которые с учетом (6.2) могут быть выражены через второй и третий начальные моменты. В свою очередь, μ2, μ3 можно выразить через Cv и Сs. Таким образом, полученное распределение будет двухпараметрическим, однако чтобы в дальнейшем перейти от модульных коэффициентов k к искомой СВ X, необходимо знать третий параметр mx. С учетом вышесказанного описаное распределение Крицкого-Менкеля называют трехпараметрическим гамма-распределением.
Поскольку функцию обеспеченности Крицкого-Менкеля нельзя выразить через элементарные функции, ее ординаты представляют в виде таблиц (см., например, [16, 20]). Таблицы составлены в модульных коэффициентах и позволяют определить значение kP% в зависимости от Cv, отношения (Cs/Сv) и расчетной обеспеченности P(%). Действующие в настоящее время в России норма-
18