I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В ГИДРОЛОГИИ

1. Обоснование применения вероятностных методов в инженерной гидрологии

Основная причина необходимости применения вероятностных методов заключается в том, что в гидрологии подавляющее большинство явлений можно отнести к случайным. Случайным явлением в теории вероятностей принято называть такое явление, которое при неоднократном повторении в одинаковых контролируемых условиях может протекать по-разному. Происходит это из-за того, что кроме контролируемых условий (факторов), могут быть и другие факторы, влияющие на исход опыта.

Речной сток и другие гидрологические процессы являются интегральными характеристиками или результатом взаимодействия многих геофизических процессов на сравнительно больших территориях (осадки, температура воздуха и подстилающей поверхности, прямая и рассеянная радиация, давление и влажность воздуха, скорость и направление ветра и т.д.), физико-географиче- ских условий бассейна (ландшафт, почвы, геологическое строение, растительность и т.д.), хозяйственной деятельности человека и т.д.

Исходя из этого можно записать

где А(t) – результат рассматриваемого гидрологического явления в момент времени t; Bj – факторы или комплексы факторов, влияющих на результат гидрологического явления (j = 1, 2,…, т); т – количество учитываемых факторов; j – время запаздывания воздействия факторов.

Если бы все факторы, характер их влияния на результат явления А и взаимодействия между собой были известны и однозначны, то для решения уравнения (1.1) могли бы быть использованы методы классической математики, в частности аппарат дифференциальных уравнений, и на их основе получены точные представления о рассматриваемом гидрологическом явлении в настоящем, будущем и прошлом.

Однако практически ни в одной задаче гидрологических исследований получить однозначное решение уравнения (1.1) не уда ется. Попытки повышения точности решения за счет учета новых факторов, установления новых при- чинно-следственных связей и т.д. все чаще оказываются безрезультатными. Именно это обстоятельство привело к широкому распространению методов теории вероятностей и математической статистики в гидрологии.

Напомним, что теорией вероятностей называют науку о закономерностях массовых случайных явлений. Математическая статистика – наука о математических методах систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов.

Практически все исследователи, работающие в области гидрологии в настоящее время, признают необходимость применения статистических методов. Однако о характере их использования существуют различные точки зрения.

6

В соответствии с одной из них, широко распространенной до начала 60-х годов, статистические методы в гидрологии есть временное средство, вызванное многофакторностью гидрологических процессов и недостаточной изученностью многих из них. С другой точки зрения статистические закономерности объективно отражают природу гидрологических явлений и, следовательно, аппарат математической статистики является наиболее подходящим для их описания.

Если проанализировать, например, факторы речного стока, то, во-первых, окажется, что этих факторов так много, что конкретное их число определить невозможно; во-вторых, более или менее точный учет большинства из факторов речного стока является пока, а возможно и в будущем, неразрешимой проблемой; при этом точность учета многих факторов (осадки, средняя влажность, почвы в бассейне и т.д.) уступает точности непосредственных измерений стока; и, в-третьих, о законах взаимодействия этих факторов и характере их изменения во времени часто известно так же мало или даже меньше, чем об изучаемой интегральной характеристике.

Исходя из этого формулу (1.1) следует переписать в виде

где k – число известных, полностью определенных факторов; k + 1, k + 2, …, m – номера неопределенных факторов, которые не могут быть учтены при описании гидрологического явления.

Именно такое представление о формировании явления послужило обоснованием использования вероятностных методов в гидрологии. Вместе с тем приведенное обоснование вызвало несколько односторонний взгляд на статистические методы как на необходимое, но временное средство. Действительно, необходимость использования статистических методов здесь объясняется только недостаточной на данном этапе изученностью процессов формирования стока. С повышением степени изученности область применения статистических методов, с этой точки зрения, будет постепенно сокращаться и в конце концов сойдет на нет.

Однако приведенные соображения совершенно не учитывают вероятностную природу гидрологических процессов, в частности, элементов случайностей, сопровождающих весь процесс формирования стока.

Формирование гидрологических процессов является, как правило, многоступенчатым, т.е. непосредственные причины любого явления, в свою очередь, имеют свои причины, вплоть до гипотетических абсолютных первопричин (профакторов), находящихся на формально бесконечно удаленной степени формирования. Даже если принять, что каждая причина данного процесса, в свою очередь, имеет не больше двух причин, то и в этом случае имеем геометрическую прогрессию числа причин от ступени к ступени вплоть до очень большого числа начальных профакторов. При этом в процессе взаимодействия причин возникают недетерминированные перекрещивания причинно-следст- венных цепей, приводящие к возникновению неконтролируемых элементов случайностей (ЭС). Возникая на всех ступенях формирования и передаваясь в

7

цепном процессе воздействий со ступени на ступень, ЭС входят в конце концов в массовом количестве в рассматриваемое явление. Таким образом, любая элементарная связь природных процессов уже неоднозначна, она включает в себя элементы случайностей, потому что сама по себе не наблюдается в природе, а является лишь абстракцией, используемой нами в тех или иных целях.

Вследствие вероятностной природы колебаний стока и вероятностного характера воздействий окружающей среды, причинно-следственные связи колебаний стока также должны быть вероятностными. Из приведенных соображений следуют два важных вывода. Во-первых, несмотря на то, что любой гидрологический процесс формируется вполне определенными причинами и посредством вполне определенных причинно-следственных связей, в некоторых случаях, когда рассматриваются отдаленные причины, связь его с этими причинами из-за многоступенчатости и многофакторности формирования гидрологических процессов, а также проявления элементов случайностей может стать исчезающе малой и в конечном итоге определение влияния конкретной причины на развитие процесса может стать невозможным. Во-вторых, даже если бы мы знали все основные причины формирования природных макропроцессов, имеющейся полной информации все равно было бы недостаточно для полного динамического описания макропроцессов.

Общая неопределенность исследуемого процесса по отношению к внешним и внутренним причинам (в дальнейшем, для краткости, случайность) может быть выражена через критерий случайности b = D/DА, где D и DА – соответственно, дисперсии ряда значений А и его случайной составляющей, вызванной воздействием элементов случайности.

При b = 0 влияние внешних и внутренних причин полностью определяет А. Вследствие вероятностной природы и вероятностного характера причинноследственных связей гидрологических процессов такая ситуация принципиально невозможна. При b = 1 влияние внешних и внутренних причин не проявляется, развитие явления полностью определяется элементами случайности. Прогнозирование такого явления принципиально невозможно. Очевидно, что весь континуум природных процессов по случайности находится между этими крайними значениями b.

2. Случайные события и случайные величины в гидрологии

Случайные явления в гидрологии могут быть описаны с помощью следующих основных математических моделей: случайное событие, случайная величина и случайная функция.

Под опытом (или испытанием) будем понимать создание некоторого комплекса условий S, предполагая при этом, что опыт (т.е. комплекс условий S) может быть повторён многократно, а его результаты поддаются точному описанию. Результаты опыта будем называть событиями. События, которые происходят обязательно, если только реализован комплекс условий S, будем называть достоверными событиями и обозначать буквой U. События, которые никогда

8

не осуществляются при реализации S, будем называть невозможными событиями, и обозначать буквой V. Наибольший интерес представляет третья группа, куда входят те события, которые при реализации S могут либо произойти, либо не произойти, и заранее неизвестно, произойдёт событие или нет. Такие события называют случайными событиями и обозначают большими латинскими буквами A, B, C,...

Примеры случайных событий в инженерной гидрологии: уровень воды в некотором гидростворе во время паводка превысил значение H0; расход воды в замыкающем створе водотока за год не опустился ниже Q0; за время половодья сток реки превысил 50 % годового стока.

Каждое случайное событие характеризуется вероятностью. Вероятность события – это основное понятие теории вероятностей. Вообще вероятность события есть объективная мера возможности осуществления данного события.

Математическое определение вероятности. Каждому событию A ставит-

ся в соответствие некоторая мера p(A), которая называется вероятностью этого события и которая удовлетворяет следующим аксиомам: для любого события 0 ≤ p(A) ≤ 1; вероятность невозможного события равна нулю, P(V) = 0; вероятность достоверного события равна единице, P(U) = 1; если AB = V, то p(A + B) = p(A) + p(B), т.е. если события A и B являются несовместными, то вероятность суммы событий равна сумме вероятностей событий.

Статистическое определение вероятности. Пусть опыт, с которым свя-

зано событие A, повторяется n раз, а событие A осуществляется при этом k раз (0 ≤ k ≤ n). Отношение k к n принято называть частотой появления события. Эта частота будет принимать различные значения в разных сериях из n опытов. При увеличении числа опытов n эти значения будут всё плотнее и плотнее группироваться вокруг некоторого числа. Это число является некоторой объективной характеристикой, связывающей условия данного опыта с возможностью осуществления события А. Частота появления события k/n с увеличением числа повторений опыта стремится к некоторому постоянному числу, которое и принимается за вероятность события A. В данном виде оно не даёт точного правила вычисления вероятности события, так как n всегда конечно. При достаточно больших значениях n можно принять, что p(A) ≈ k/n. Заметим, что это есть лишь оценка истинной вероятности.

Часто недостаточно знать только лишь, произошло некоторое событие или нет. Требуется более детальная информация о случайном явлении. Например, пусть А – случайное событие «уровень воды в реке поднялся». Случайное событие А произойдет и когда подъем уровня составит 1 см, и при подъеме уровня на 200 см. Последствия же будут сильно отличаться. В таких ситуациях используют модель случайной величины (СВ).

Случайной величиной называется величина, принимающая в результате опыта одно из своих возможных значений, причём заранее неизвестно, какое именно значение она примет. СВ обозначают большими латинскими буквами (X, Y, Z, …), а их возможные значения – соответствующими малыми буквами (x, y, z, …). Событие, состоящее в том, что СВ X примет значение x, будем отражать записью X = x. С левой стороны этого равенства стоит имя случайной ве-

9

личины, а справа – принимаемое ею значение. Вероятность этого события будем обозначать p{X = x}; p{X < x} – вероятность того, что СВ X примет значение, меньшее, чем x.

Случайные величины делятся на дискретные, непрерывные и смешанного типа. Возможные значения дискретной СВ составляют конечное или бесконечное, но счётное, множество. Возможные значения непрерывной СВ составляют непрерывное множество. Все возможные значения дискретной СВ можно пронумеровать (хотя бы в принципе, если они составляют бесконечное множество), для непрерывной СВ это сделать невозможно. СВ смешанного типа, кроме непрерывного множества, имеет ещё изолированные возможные значения.

Во многих случаях в качестве математической модели для описания гидрометеорологических явлений может использоваться СВ. В частности, в качестве СВ можно рассматривать среднегодовой расход воды, тогда среднегодовые расходы за отдельные годы, например за 30 лет, следует трактовать как последовательность значений СВ, полученную в результате 30 природных опытов. Точно так в качестве СВ могут рассматриваться максимальный и минимальный расходы воды, годовая сумма осадков, снегозапасы на водосборе и т.д. Кроме того, СВ являются погрешности измерений гидрометеорологических характеристик (уровня воды, расхода, слоя осадков и т.д.), а также ошибки расчета различных числовых параметров, определяемых по эмпирическим данным.

Всякая связь всех возможных значений СВ с соответствующими им вероятностями называется законом распределения этой СВ. Перечислить возможные значения и указать их вероятности можно таблично, графически или аналитически. Закон распределения дискретной СВ удобнее всего задавать в табличной форме:

При аналитическом задании связь между возможными значениями случайной величины и их вероятностями задаётся с помощью математической формулы. Если эта связь задана с помощью графика, то говорят, что СВ задана

графически (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Функция и плотность распределения вероятностей непрерывной СВ Х

10