Функцией распределения вероятностей F(x) СВ X в точке x называется вероятность того, что в результате опыта СВ примет значение, меньшее чем x, т.е. F(x) = p{X < x}. Если существует производная F(x), то она называется

α

В иженерной гидрологии часто используют понятие обеспеченности СВ (вероятности превышения). Обеспеченность гидрологической величины Р(х) – это вероятность того, что рассматриваемое значение х гидрологической величины Х может быть превышено среди совокупности всех возможных ее значений

Обычно обеспеченность выражают не в долях единицы, как вероятностьСВ, а в процентах. Например, если среднегодовой расход имеет обеспеченность 1 %, это означает, что такой расход будет превышен в среднем один раз в 100лет.

Значения обеспеченности определяются для генетически однородных гидрологических характеристик: объемов весенних половодий, объемов дождевых паводков теплого периода, объемов годового стока, максимальных расходов половодий и максимальных расходов дождевых паводков, минимальных расходов межени и т.д.

3. Числовые характеристики случайных величин

Определение математического ожидания и дисперсии дискретной СВ:

Математического ожидание (МО) СВ является главной характеристикой положения, дисперсия – рассеивания СВ.

Основные числовые характеристики положения непрерывной СВ – математическое ожидание mx (МО), медиана (Ме), мода (Мо) определяются так:

11

Коэффициент асимметрии характеризует степень симметричности рассеяния относительно МО (см. рис. 3.1):

При симметричном распределении (Cs=0) Mo = Me = mx = a (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Соотношение между МО, Ме и Мо для распределения с отрицательной Cs < 0 (а) и положительной Cs > 0 (б) асимметрией

Как уже отмечалось, каждая случайная величина исчерпывающим образом характеризуется своим законом распределения. Аналитическим выражением закона распределения является функция распределения (дифференциальная или интегральная), которую записывают в виде параметрического выражения, где в качестве параметров обычно используют числовые характеристики случайной величины (МО, СКО и т.д.). При такой записи для каждого значения СВ соответствующее значение функции распределения однозначно определяется параметрами аналитического выражения (параметрами распределения). В гидрологической практике, как правило, рассматриваются случайные величины, функции распределения которых зависят от небольшого числа параметров – обычно двух или трех.

12

В одних ситуациях закон распределения можно вывести из теоретических соображений, в других – он неизвестен, и аналитическое выражение функции распределения является лишь аппроксимацией истинного распределения. В последнем случае можно предложить несколько аналитических выражений. Исследователь вынужден производить выбор подходящего, опираясь на практический опыт и некоторые априорные соображения. Ниже рассматриваются аналитические функции распределения, наиболее часто используемые в практике гидрологических расчетов.

4. Равномерное и нормальное распределения случайных величин

Пусть возможные значения СВ X лежат в интервале [а, b] и нет ос нований для того, чтобы отдать предпочтение какому-либо из этих значений. При таких условиях СВ X подчиняется закону равномерной плотности (рис. 4.1). Это распределение называют также равномерным или прямоугольным.

Рис. 4.1. Плотность (а) и функция (б) равномерного распределения СВ

Закон равномерной плотности определяется двумя параметрами: началома и концом b интервала изменения СВ X. Дифференциальная и интегральная функции распределения определяются равенствами:

Подставляя (4.1) в (3.2) и (3.5) получим МО, дисперсию и СКО, соответственно:

13

Медиана совпадает с МО. Закон равномерной плотности моды не имеет, так как все значения плотности вероятности равны между собой. Закон равномерной плотности играет важную роль при моделировании искусственных гидрологических рядов, поскольку значения любой случайной величины можно получить преобразованием значений СВ, равномерно распределенной на [0, 1].

В природе и различных областях человеческой деятельности весьма распространены СВ, представляющие собой сумму большого числа независимых или слабо зависимых СВ, дисперсии которых малы по сравнению с дисперсией всей суммы. Как следует из центральной предельной теоремы теории вероятностей, распределение таких СВ при весьма общих дополнительных условиях хорошо аппроксимируется нормальным распределением. Этим объясняется весьма широкое распространение последнего. Нормальное распределение применяется и в тех случаях, когда истинный закон распределения известен, но вычисления по нему затруднены, а аппроксимация его нормальным законом не приводит к большим ошибкам.

Плотность вероятности нормального распределения

Нормальное распределение является двухпараметрическим, т.е. зависит от двух параметров: математического ожидания mx и среднеквадратического отклонения σx. График плотности вероятности нормального распределения представлен на рис. 4.2. Как видно на рис. 4.2, нормальное распределение является симметричным и, следовательно, для него коэффициент асимметрии равен нулю (СS = 0), а мода, медиана и МО совпадают. Область возможных значений СВ, подчиняющейся нормальному распределению – вся числовая ось (−∞;+∞) .

Интегральная функция нормального распределения имеет вид

Интеграл, стоящий в правой части выражения (4.5), нельзя выразить через элементарные функции, поэтому ординаты нормального закона распределения обычно представляют в виде таблиц. Чтобы не публиковать множество таблиц, для различных сочетаний тх и σх вместо СВ X рассматривают нормированную СВ t, значения которой связаны со значениями X формулой

В настоящее время нет необходимости пользоваться таблицами, так как интеграл в (4.5) может быть легко найден в любом современном математическом пакете, например в среде Mathcad:

f (x) := dnorm(x,m,σ ) F(x) := pnorm(x,m,σ )

14