средний повторяющийся образ сезонного хода. Дисперсия D(t) характеризует разброс относительно регулярной составляющей. Функция K( t,τ ) характери-

зует взаимосвязь значений гидрологических элементов в различные месяцы года и в аналогичные месяцы разных лет.

Для генерации ряда по модели АР(1) можно воспользоваться рекуррентной формулой

Для моделирования необходимо иметь следующие параметры: среднее значение x , СКО σх, отношение Cs/Cv, коэффициент автокорреляции r = rx(1) и начальное значение моделируемой гидрологической характеристики х1. В качестве начального значения можно в большинстве случаев принять среднее значение (x1 = x ). Кроме того, требуется указать тип распределения, например,

Крицкого – Менкеля или Пирсона III типа.

При моделировании по формуле (22.8) на каждом шаге генерируется значение случайной величины ξi по ранее изложенной схеме. Тип распределе-

ния для шумовой составляющей ξi и отношение Cs/Cv принимаются такими

же, как для исходного ряда, среднее значение может быть принято равным нулю, а СКО в соответствии с формулой (22.5) определяется выражением

23. Понятие о динамико-стохастических моделях многолетних колебаний речного стока

Методы обработки гидрологической информации, рассмотренные в предыдущих пунктах, основаны на чисто стохастических моделях (ЧСМ). Эти методы общеприняты и включены в нормативные документы (см. раздел III).

Динамико-стохастические модели многолетних гидрологических процессов (ДСМ) являются сравнительно новыми, включают в себя динамическую и стохастическую составляющие. Первая составляющая представляет собой математическую детерминистическую модель физического механизма формирования гидрологического процесса, вторая – описывает входные стохастические процессы. Моделируемые процессы рассматриваются как выходные по отношению к гидрологической системе. Выходные процессы оказываются также стохастическими, так как их свойства обусловлены и механизмом формирования, и стохастическими свойствами входных процессов.

Рассмотрим, в чем заключается ограниченность ЧСМ. Наиболее распространенные к настоящему времени ЧСМ многолетнего стока неозерных рек в виде той или иной модификации простой цепи Маркова построены на основе изучения статистических характеристик натурных данных – автокорреляционной функции, коэффициентов вариации и асимметрии. При этом физика процесса колебаний речного стока учитывается опосредствовано, через сохранение моделью стохастических свойств изучаемого процесса. Существенно то, что

61

для построения ЧСМ необходимы длительные ряды наблюдений над речным стоком, причем для периодов стационарного климата и отсутствия техногенных изменений водного баланса речного водосбора (требования стационарности и однородности ряда наблюдений).

При проведении расчетов на перспективу нескольких десятилетий (40–100 лет – нормативное время функционирования хозяйственного объекта, например, при расчете параметров водохранилищ или других водно-ресурсных систем) использование ЧСМ автоматически означает принятие предположения о сохранении стационарности условий формирования речного стока в будущем на период функционирования водно-ресурсной системы. Однако современная информация (иногда противоречивая) о таянии ледников, повышении уровня Мирового океана, об отступлении границ вечной мерзлоты и т.д. дает основания для предположения о происходящих климатических изменениях. Причины этих изменений – техногенные, связанные с парниковым эффектом, или естественные – в данном случае не так важны. Учет возможного влияния климатических изменений на речной сток, запасы воды на водосборе и колебания уровней внутренних водоемов необходим для ответа на вопросы о том, как изменятся характеристики этих гидрологических процессов в новых условиях.

Принимая гипотезу о потеплении и соответствующем изменении режима речного стока, приходится признать, что ЧСМ речного стока, для создания которых необходимы длительные ряды наблюдений, потребуют определенной модификации. Например, пусть в результате климатического моделирования прогнозируется увеличение средней величины осадков в бассейне Преголи. Спрашивается, как это увеличение осадков скажется на параметрах стока реки в новом стационарном режиме? То, что средний сток возрастает на соответствующую величину повышения уровня эффективных осадков, вполне тривиальное заключение. Однако для моделирования стока только этого знания мало; необходимо получить представление об изменении дисперсии и коэффициента автокорреляции стока. Очевидно, что решение насущных проектных задач невозможно откладывать как минимум на 50 – 80 лет, в течение которых может быть накоплена информация, необходимая для получения достаточно надежных выборочных оценок статистических характеристик многолетних колебаний стока в новых условиях. В этом случае для оцен ки возможного нового режима стока естественно использовать ДСМ речного стока, которые могут учесть влияние изменения стокоформирующих процессов – осадков на водосбор и испарения с его поверхности – на речной сток.

ДСМ в качестве физически обоснованной приближенной модели многолетних колебаний речного стока используют уравнение водного баланса речного бассейна (водосбора). Бассейн реки при этом рассматривается как некий резервуар, способный к многолетнему регулированию осадков, т.е. приходим к моделированию гидрологической системы, входом которой служат многолетние колебания осадков и испарения, происходящие на водосборе, а выходом – сток в замыкающем бассейн створе. Схематическое изображение составляющих водного баланса в концептуальной модели представлено на рис. 23.1.

62

лебания запасов воды на водосборе описываются дифференциальным стохастическим уравнением

где w(t) – запас воды на водосборе, включающий поверхностные и подземные воды, участвующий в формировании речного стока; q(w) – зависимость стока с водосбора от запаса воды; R(t) – осадки, выпадающие на поверхность водосбора; E(t) – испарение с поверхности водосбора; t – время. Для применения уравнения (23.1) необходимо задать зависимость q(w) и стохастические модели R(t), E(t).

В качестве моделей процессов многолетних колебаний осадков и испарения рекомендуется использовать марковские процессы, описываемые уравнениями

где γR = −ln rR , γE = −ln rE , rR, rЕ – коэффициенты автокорреляции осадков и испарения; ξR( t ), ξE( t ) – случайные составляющие (белые шумы, в общем слу-

чае, негауссовы) с известными параметрами. Процессы R(t) и E(t) предполагаются, в общем случае, взаимно коррелированными.

Система уравнений (23.1) – (23.2) представляет собой ДСМ колебаний запасов воды на водосборе, участвующих в формировании речного стока.

Заметим, что испарение E(t) с водосбора в данном случае рассматривается как функционально не зависящее от суммарных запасов влаги на водосборе. Однако поскольку испарение статистически связано с осадками на водосбор, то в некоторой степени зависимость испарения от увлажненности водосбора все же имеет место. На водосборах, где влага всегда и избытке, величина ее запасов не лимитирует испарения. Главную роль в колебаниях испарения играют изменения температуры, характеристик ветрового поля, дефицита влажности и т.д. Подавляющее влияние этих факторов, случайным образом меняющихся от года к году, вынуждает рассматривать испарение как случайный процесс. Введение функциональной зависимости испарения от запасов влаги на водосборе E(w) приводит к более общей модели.

Используя зависимость стока от запасов воды, при выполнении необходимых условий для функции q(w) (существования обратной функции w(q) и

63

непрерывной производной w’(q)) из уравнения (23.1) получаем стохастическое дифференциальное уравнение, описывающее колебания стока с водосбора:

Система стохастических уравнений (23.2) – (23.3) представляет собой ДСМ процесса колебаний речного стока с водосбора. Уравнение (23.3), описывающее колебания речного стока, является следствием уравнения водного баланса водосбора (при условии известной зависимости стока от влагозапаса q(w)) и физически обосновано в той же мере, что и уравнение водного баланса.

Обычно рассматривают ДСМ с наиболее простой зависимостью стока с водосбора от запасов воды на водосборе, q(w)=kw, где k – коэффициент пропорциональности, показывающий изменение стока с водосбора при изменении суммарных запасов влаги на водосборе на единицу слоя.

ДСМ используют ЧСМ вынуждающих процессов, например, для эффективного испарения с поверхности водосбора – просто в силу отсутствия даже простейшей физически обоснованной модели стохастического процесса многолетних колебаний испарения. ДСМ, вместе с расширением возможностей для исследователя, вызывают также и проблемы, отсутствующие при ЧСМ, например, необходимость определения параметров зависимости стока в замыкающем створе от объема запасов воды на водосборе.

Следует заметить, что методы обработки гидрологической информации, основанные на ДСМ, находятся в стадии научных исследований (см., например, [27]), не включены в нормативные документы и пока не рекомендуются к использованию в инженерной практике.

64