Математическое моделирование в астрофизике. В 2 частях. Ч.1. Учебное пособие

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПЕТРА ВЕЛИКОГО

Физико-механический институт

Высшая школа фундаментальных физических исследований

Ю. А. Кропотина

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В АСТРОФИЗИКЕ

Часть 1

Рекомендовано федеральным учебно-методическим объединением в системе высшего образования по УГСН 16.00.00. Физико-технические

науки и технологии в качестве учебного пособия для реализации основных профессиональныхобязательныхпрограммвысшегообразования

понаправлениюподготовкимагистр атуры 16.04.01. Техническая физика

Санкт-Петербург

2023

Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation

PETER THE GREAT

ST. PETERSBURG POLYTECHNIC UNIVERSITY

J. A. Kropotina

MATHEMATICAL MODELING IN ASTROPHYSICS

Part 1

Textbook

POLYTECH-PRESS

Peter the Great

St.Petersburg Polytechnic

University

Saint Petersburg

2023

R e v i e w e r s :

Acting Researcher of the Laboratory for High Energy Astrophysics of the Ioffe Institute, PhD in Physics and Mathematics A. E. Petrov

Associate Professor of the High School of Fundamental Physical Studies of the Institute of Physics and Mechanics of Peter the Great Saint-Petersburg Polytechnic University,

PhD in Physics and Mathematics I. Y. Veselova

Kropotina J. A. Mathematical modeling in astrophysics. In 2 parts. Part 1: Textbook / J. A. Kropotina. — Saint-Petersburg : POLYTECH-PRESS, 2023. — 111 p.

Corresponds to the state educational standard and the content of master’s degree programs on «Physics of cosmic and plasma processes».

Several types of codes for modeling gravitationally confined systems and collisionless astrophysical plasma are described in the textbook, i.e. particle-particle, particle-in-cell, hydrodynamic, magnetohydrodynamic and hybrid codes, as well as the dimensionality and similarity methods, renormalization of physical units, estimation of required computational resources. At the end of each chapter there are given exercises including analytics and development of small programs in C++ and Python.

Intended for students specializing in astrophysics and physics of plasma. Figures 19. References: 25 titles.

Printed by the decision of the Editorial and Publishing Council of Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University.

ОГЛАВЛЕНИЕ

5.3.Задача Коши и задача Римана для гиперболических54уравнений . . . . .

5.4.Задача Коши и задача Римана для линейной системы дифференциальных

5.6.Методы численного решения гиперболических систем68. . . . . . . . . . .

5.7.Критерий Куранта–Фридрихса–Леви сходимости численной71 схемы . . . .

5.8.Методы решения гиперболических систем и уравнений, основанные на ме-

тоде конечных объемов . . . . . . . . . . . . . . . . . .73. . . . . . . . . . .

5

1. ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ И ПОНЯТИЯ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Впоследние десятилетия в науке все больше возрастает потребность

вкомпьютерном моделировании. Стремительное развитие вычислительных систем позволяет разрабатывать более подробные математические модели реальных объектов. Компьютерное моделирование широко используется в экономике, медицине, метеорологии, социологии и многих других отраслях науки.

Вчастности, моделирование широко применяется в астрофизике – науке, изучающей физические процессы в космосе. Особенность этой науки заключается в крайне ограниченных возможностях эксперимента. Во многих астрофизических объектах плотность, размеры, температура, магнитное поле и другие параметры принимают экстремальные значения, которые невозможно получить в лабораториях. Так, плотность в ядре нейтронной звезды может превышать 1015 г/см3, т. е. быть в несколько раз больше плотности атомного ядра. При этом в разреженной плазме солнечного ветра в каждом кубическом сантиметре находится около десяти протонов (ср. с 1019

молекулами в кубическом сантиметре воздуха). Самый высокий вакуум, достижимый в лабораторных условиях, соответствует примерно 100 частицам на кубический сантиметр. В Большом адронном коллайдере плотность примерно в миллион раз больше, что близко к плотности возле поверхности Луны.

Таким образом, астрофизические условия не могут быть воспроизведены в земных лабораториях. При этом астрофизические явления слишком сложны для аналитического описания. Поэтому для их моделирования используют современные коды, которые запускают на многопроцессорных кластерах. В первой части данного пособия даны базовые понятия, связанные с компьютерным моделированием, и разобраны некоторые широко

7

известные типы астрофизических кодов. Вторая часть будет в основном посвящена методам верификации, оптимизации и распараллеливания численных счем, а также ознакомит читателя с методом Монте-Карло и с моделированием излучающей среды. Для закрепления материала можно выполнить несложные задания, написав короткие программы на любом языке программирования.

Основой многих компьютерных моделей является дискретизация –

представление непрерывной функции в виде ряда значений. Широко применяется понятие временной дискретизации, когда в виде ряда представляется зависимость некоторой величины от времени, а также пространственной дискретизации, когда пространство разбивается на ячейки, внутри которых все величины считаются постоянными. Чаще всего при пространственной дискретизации используется декартова, цилиндрическая или сферическая системы координат. Временная и пространственная дискретизация показаны на рис. 1.1.

Можно ввести понятие шага по времени k = tn+1 − tn и шага сетки h = xn+1 − xn. Номер шага по времени будем обозначать верхним индексом, а номер пространственной ячейки – нижним. Шаг по времени может меняться в процессе моделирования (т. е. быть адаптивным), шаг сетки может зависеть от времени и положения в пространстве. Далее будут приведены численные схемы для случая постоянных шагов h и k. При дискре-

Рис. 1.1. Примеры дискретизации: а – временная дискретизация; б, в, г – пространственная дискретизация в декартовой, цилиндрической

и сферической системе координат соответственно

8

тизации производные по времени и координатам заменяются на линейные комбинации значений в ячейках. Таким образом дифференциальные уравнения становятся алгебраическими. Конкретный способ дискретизации системы уравнений называется разностной схемой. Это более узкое понятие, чем численный метод, так как не все методы связаны с дискретизацией.

Выбор шага сетки и шага по времени оказывает значительное влияние на качество численного решения. Однако прежде чем оценивать это качество, необходимо выработать критерии оценки. Для этого определим основные свойства разностных схем.

1.1. Сходимость и глобальный порядок точности

Сходимость разностной схемы – основная цель разработчика. Сходимость означает, что при стремлении h и k к нулю стремится к нулю и отличие численного решения от точного. Разница между численным решением и точным называется глобальной погрешностью решения. Если глобальная погрешность при уменьшении шага падает как O(hp +kq), то показатель p называется глобальным порядком точности по координате, а q – по времени.

Основной проблемой сходимости является то, что ее можно проверять только для задач с заранее известным решением. Такого рода тесты обязательно проводятся со всеми численными кодами, однако их успешное прохождение не гарантирует правильность работы кода в других случаях.

1.2. Согласованность и локальная погрешность усечения

Другим важным и легко проверяемым критерием правильной работы разностной схемы является ее согласованность. Согласованность – качество аппроксимации дифференциального уравнения разностной схемой.

Локальная погрешность усечения – разница между дифференциальным уравнением и его аппроксимацией в конкретной точке. Также по аналогии с глобальным порядком точности можно ввести понятие локального

9

порядка точности. Согласованность является необходимым, но не достаточным условием сходимости.

Разницу между локальной и глобальной погрешностями проще всего показать на примере явного метода Эйлера для задачи Коши (дифференциального уравнения с начальным условием):

dx

dt = f(x, t), (1.1)x(t0) = x0.

Вводя дискретные шаги по времени t0, t1, .., tn, а также соответствующие им значения x0, x1, .., xn и f0, f1, .., fn, где fn ≡ f(xn, tn), можно пошагово решать систему (1.1):

Локальная погрешность усечения будет определяться как отличие точного решения от численного на каждом шаге. Точное решение записывается

Сравнивая (1.2) и (1.3), легко понять, что локальная погрешность усечения будет порядка (dfn/dt)k2/2, а локальный порядок точности – второй. Однако если мы проследим, как растет со временем отклонение численного

Таким образом, глобальная погрешность явного метода Эйлера растет пропорционально шагу по времени, а глобальный порядок точности первый.

1.3. Устойчивость

Устойчивость разностной схемы – непрерывная зависимость численного решения от параметров, а также начальных и граничных условий. Если схема неустойчива, возникает «эффект бабочки», т. е. малейшая

10