Математическое моделирование в астрофизике. В 2 частях. Ч.1. Учебное пособие

ной ударной волной межзвездного газа и нагретой обратной ударной волной эжекты (выброса) звезды, разделенные контактным разрывом (Rc). Таким образом, на рис. 4.1 в порядке слева направо располагаются: невозмущенная эжекта; обратная ударная волна; нагретая эжекта; контактный разрыв; нагретое межзвездное вещество; головная ударная волна; невозмущенное межзвездное вещество. Будем искать решение в области между R1 и R2.

Граничные условия ставятся исходя из следующих предположений: обе ударные волны сильные (числа Маха много больше единицы); адиабатический индекс равен 5/3; давление перед фронтом обеих ударных волн пренебрежимо мало по сравнению с давлением потока. Тогда можно однозначно определить плотность, скорость и давление за фронтом ударной волны из их значений перед фронтом:

где vsh – скорость фронта ударной волны в системе покоя центра остатка; индекс down соответствует области за фронтом (downstream); индекс up –

области перед фронтом (upstream).

Граничные условия перед фронтом головной ударной волны ставятся в зависимости от типа остатка. Например, сверхновые второго типа, предшественниками которых являются массивные звезды с плотным звездным ветром, взрываются в среде с неоднородной плотностью:

ρ = qr−s,

где s = 2.

Для остатков сверхновых первого типа, напротив, s = 0. Скорость межзвездной среды принимается за ноль, а скорость внутри свободно разлетающейся эжекты

41

Формула (4.11) означает, что скорости всех частиц эжекты не менялись с момента взрыва. Таким образом, за время существования остатка сверхновой частица со скоростью v преодолела расстояние, равное vt.

Профиль плотности эжекты известен лишь приблизительно, но в данной модели удобно аппроксимировать его степенной функцией. Кроме того, очевидно, что плотность эжекты падает по мере расширения. Будем считать, что внутри R2 плотность равна

Кроме координаты и времени мы имеем два параметра с независимой размерностью q и g, таким образом, решение автомодельно (самоподобно). Выпишем размерности этих величин и оценим из них Rc:

[q] = Ls−3M, [gn] = Ln−3T 3−nM.

1

Rc = Agn n−s (4.14) q

где A – неизвестная постоянная, которая будет найдена в процессе решения.

Мы получили, что радиус контактного разрыва и все расстояния в си-

1

стеме растут как tλ . При этом

n − s

λ = n − 3.

Решение системы (4.7) снаружи и внутри контактного разрыва находится отдельно, а затем «сшивается», исходя из условия непрерывности давления.

42

Покажем в качестве примера, как искать решение в области между R2

и Rc. Для этого введем переменную η = rλt−1 и будем искать все вели-

1

чины как функцию η. Поскольку все расстояния растут как tλ , значения

η внутри остатка не меняются в течение времени и находятся в диапазоне

В выражение (4.19) введена дополнительная переменная C (скорость

звука). Далее в системе (4.7) делаем замену переменных, учитывая условия (4.15):

Таким образом, система уравнений в частных производных перешла в систему обыкновенных дифференциальных уравнений, которую можно решить одним из стандартных методов (например, методом Рунге–Кутты).

Заметим, что η и P входят в систему только в виде комбинаций вида

43

Из этого следует, что данные переменные могут быть найдены из системы с точностью до постоянного множителя.

Для численного решения системы (4.20) удобнее представить ее в виде:

Поскольку система (4.20) является системой линейных алгебраических уравнений относительно производных U, ln(P ), и C, она может быть решена и приведена к виду (4.21).

Кроме того, необходимо поставить граничные условия при η = η2. Значение η2 также неизвестно. Однако, как было отмечено ранее, мы можем определять η с точностью до множителя, например считать η2 = 1.

Граничные условия на обратной ударной волне можно поставить, комбинируя (4.8)–(4.10), (4.13) и (4.16)–(4.19), а также учитывая, что для обратной ударной волны vsh = dR2/dt = R2/(λt):

Вследствие того, что P входит в систему только под логарифмом, вид решения не будет зависеть от константы g. Решения при различных плотностях эжекты отличаются только множителем.

Далее, начиная с внутренней границы, можно пошагово увеличивать η, в каждой точке рассчитывая приращение U, ln(P ) и C. Однако необходимо знать верхний предел интегрирования. Поскольку значение ηc неизвестно, критерием достижения контактного разрыва (и остановки счета) является отсутствие потока вещества через разрыв: v = dRc/dt = Rc/(λt). Отсюда следует, что Uc = 1/λ. Когда U сравняется с Uc, счет необходимо остано-

44

вить и зафиксировать текущее значение η ≡ ηc. Таким образом, в результате численного расчета удается определить важные параметры остатка: отношение радиуса контактного разрыва к радиусу обратной ударной волны

1 1

Rc/R2 = (ηc/η2)λ = ηcλ , а также профили всех нормированных переменных внутри нагретого вещества эжекты.

Для построения полной модели остатка необходимо выполнить анало-

гичные действия в области от Rc до R1. При этом удобнее выбрать другую переменную ν = tr−λ и произвести следующую замену переменных:

которая точно так же решается в диапазоне ν от 1 до ν (критерий контактного разрыва такой же, как и для внутренней области). Это позволяет найти отношение Rc к R1.

После того, как оба решения найдены, необходимо соединить их таким образом, чтобы давление p (в физических единицах, а не в новых переменных) менялось непрерывно. Следует помнить, что снаружи и внутри разрыва буквой P обозначаются разные величины с разной размерностью, определенные с точностью до множителя. Поэтому условие непрерывности давления имеет вид

pc(L) = pc(R) Pc(L)tn−5Rc2−n = Pc(R)Rc2−st−2.

45

Отсюда, воспользовавшись выражением (4.14), получаем

где индексы R и L соответствуют величинам справа и слева от разрыва. Согласно (4.26), радиус контактного разрыва (константу A), можно найти из вычисленных значений P слева и справа от него. Зная отношения R2

иR2 к Rc, можно вычислить и радиусы обеих ударных волн. Таким образом, численная модель помогает определить физические параметры астрофизического объекта. Более того, сделав обратное преобразование по формулам (4.16)–(4.19) и (4.22)–(4.25), можно найти профили плотности, скорости

идавления внутри остатка.

Безусловно, построенная модель одномерна и не учитывает многие явления, такие как неоднородность межзвездной среды или неустойчивость Рэлея–Тейлора на контактном разрыве. Тем не менее, она позволяет сравнительно легко и достаточно точно оценивать параметры остатка сверхновой и до сих широко используется многими научными коллективами.

4.4. Методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Следует сказать несколько слов о численном решении задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений вида (4.21). В принципе эта задача выглядит точно так же, как (1.1), только в данном случае x и f представляют собой вещественные столбцы. Соответственно, явный метод Эйлера (1.2) и методы Рунге–Кутты легко обобщаются для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Для примера приведем метод Рунге–Кутты 4-го порядка:

K1 = f(xn, tn)h;

K2 = f(xn + 12K1, tn+12 )h;

K3 = f(xn + 12K2, tn+12)h;

K4 = f(xn + K3, tn+1)h;

46

xn+1 = xn + 16(K1 + 2K2 + 2K3 + K4).

Также можно воспользоваться одним из многошаговых методов (методов Адамса–Башфорта):

Поскольку для вычисления значения на n + 1 шаге используются значения на двух, трех и четырех предыдущих шагах соответственно, эти методы называются двухшаговый (4.27), трехшаговый (4.27) и четырехшаговый (4.27) методы.

Упражнения

1.Используя теорию размерности, определить зависимость от параметров силы сопротивления при движении тела в вязкой жидкости постоянной плотности, если известны следующие параметры: d – характерный размер; v – скорость, α – угол атаки; ρ – плотность жидкости; η – вязкость жидкости (различают динамическую и кинематическую вязкость, можно для определенности взять кинематическую с размерностью см2/c). Выделить три параметра с независимой размерностью и два безразмерных параметра.

2.Используя теорию размерности, найти поверхностную энергию капли жидкости и избыточное давление внутри нее, если известны радиус капли

R и коэффициент поверхностного натяжения σ.

3. Для самоподобной модели сверхновой найти граничные условия на головной ударной волне (R1) в нормированных переменных (P1, C1, U1)

47

4. В случае стационарного истечения сферически симметричного звездного ветра система уравнений гидродинамики принимает вид:

Пусть в некоторой системе единиц при r0 = 1 выполняется: ρ0 = 1, v0 = 10, p0 = 1. Проинтегрировав систему уравнений методами Эйлера, Рунге–Кутты 4-го порядка и трехшаговым методом Адамса–Башфорта, построить профили плотности, скорости и давления в области от r = 1 до 10. Сравнить полученные результаты для различных значений шага по координате.

5. МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ АСТРОФИЗИЧЕСКОЙ ПЛАЗМЫ

Ранее в главе 2 мы выяснили, что большая часть вещества во Вселенной находится в состоянии плазмы, т. е. В виде ионов и электронов. Поэтому многие астрофизические процессы связаны с динамикой плазмы. Сложность описания такой среды заключается в том, что заряженные частицы при движении генерируют электромагнитные поля, которые в свою очередь влияют на их траектории. Поскольку эти взаимодействия нелинейны, в плазме могут развиваться неустойчивости.

Из-за разреженности астрофизической плазмы многие процессы в ней носят бесстолкновительный характер, т. е. имеют масштабы много меньше кулоновской длины свободного пробега. Из-за этого распределения частиц могут быть неравновесными, а плазменные неустойчивости – диссипировать очень медленно. Динамику бесстолкновительной плазмы сложно рассчитать аналитически и необходимо использовать численные модели.

В данной главе представлены некоторые распространенные методы моделирования астрофизической плазмы, основанные на пространственной дискретизации и решении системы уравнений на сетке.

48

5.1. Характерные плазменные масштабы и выбор метода моделирования

Прежде чем приступить к рассмотрению различных моделей, следует оценить характерные временные и пространственные масштабы. Пусть плазма с концентрацией электронов ne, ионов ni, зарядом ионов Z и массой ионов mi помещена во внешнее магнитное поле B. Вследствие действия кулоновских сил электроны и ионы не могут отойти друг от друга на большое расстояние. При небольшом смещении электронов относительно ионов кулоновское притяжение возвращает их обратно и возникают осцилляции легких электронов относительно тяжелых, практически неподвижных ионов. Характерная частота этих осцилляций – электронная плазменная частота

Однако в плазме могут возникать и более низкочастотные ионные колебания с ионной плазменной частотой:

Также характерные временные масштабы определяются гирочастотами вращения электронов и ионов в магнитном поле:

Характерная скорость распространения волн в плазме определяется альвеновской скоростью

49

Тепловая скорость частиц s-го сорта

Характерное расстояние, на которое электроны могут отдаляться от протонов, называется дебаевским радиусом:

Также можно определить инерционные длины

и гирорадиусы электронов и протонов, связанные с тепловым движением или с движением потоков плазмы,

Rg,s = vs .

Ωs

Инерционная длина иона li определяет масштаб, внутри которого магнитное поле вморожено не в плазму как целое, а в поток электронов. Инерционная длина электрона le соответствует характерной длине проникновения низкочастотных электромагнитных волн в плазму.

Можно определить соотношения некоторых из этих величин. Так, инерционная длина электрона всегда больше дебаевского радиуса, поскольку скорость света больше тепловой. Гирочастота электронов в mi/(Zme) раз больше гирочастоты электронов. В случае электрон-протонной плазмы отношение гирочастот равно 1836. Плазменная частота электронов превышает ионную в Z−1pmi/me раз (42 раза в электрон-протонной плазме). Во столько же раз отличаются соответствующие инерционные длины.

Отношение плазменной частоты электронов к ее гирочастоте может

принимать различные значения, но во многих астрофизических средах эта

√

величина много больше единицы. Для ионов ωpi/Ω = c 4πnimi/B ≈ c/va, что также обычно много больше единицы.

50