Математическое моделирование в астрофизике. В 2 частях. Ч.1. Учебное пособие

Масса и заряд формально будут измеряться в ρ0li3 и eρ0li3/mp. Однако удобнее воспользоваться тем, что в уравнение движения входит только отношение заряда к массе, а в выражении для токов и плотностей заряда присутствует вес (см. также разд. 5.15). Тогда можно измерять массу и заряд в массах и зарядах протона mp и e, а вес частицы поделить на ρ0li3/mp. Также внесем в весовой коэффициент множитель 1/h3. Тогда получится, что w = n0mp/(ρ0ppc · li3) ≈ 1/(ppc · li3). Для электрон-протонной плазмы второе равенство выполняется с хорошей точностью. Для многокомпонентной же плазмы можно специально выбрать нормировку так, что n0mp = ρ0, где n0 – концентрация некоторой «референсной» электрон-протонной плазмы такой же плотности [19].

Нормированная система уравнений примет вид:

Осталось задать температуру электронов в (5.92). В то время как температура ионов может быть вычислена непосредственно из распределения макрочастиц по скоростям, температуру электронов приходится задавать как функцию других параметров, чаще всего плотности. Например, можно считать электроны изотермическими Te = const, а можно работать в адиабатическом приближении Te nγ.

В реальности вопрос об уравнении состояния электронов в турбулентной бесстолкновительной плазме с разрывными течениями достаточно сложен: электроны нагреваются мелкомасштабной турбулентностью, которая не может быть смоделирована в рамках гибридного подхода. Тем не менее, многие задачи могут быть решены с хорошей точностью без знания уравнения состояния электронов. Например, в сильных ударных волнах основная

101

часть энергии потока содержится в ионах, следовательно, давление электронов неважно.

При решении уравнений (5.88)–(5.92) циклически выполняется та же последовательность действий, что и в PIC-коде.

1.Current deposit.

2.Field solver.

3.Particle mover.

На первом шаге вычисляется плотность тока и заряда ионов, теми же способами, что и для PIC-кодов. Перемещение частиц также осуществляется стандартными методами (см. главу 2).

Основное отличие гибридных от PIC-кодов заключается во втором шаге – Field solver. Теперь электрическое поле выражается через магнитное алгебраически, т. е. они заданы в одно и то же время. Это удобно для вычисления ускорения по формуле (5.89), но затрудняет применение метода перешагивания в уравнении (5.90). К тому же в правую часть уравнения (5.91) входит ток ионов, для вычисления которого нужны скорости и координаты частиц. Если в коде используется метод перешагивания, то скорости и координаты задаются на разных шагах по времени. Приведем один из способов обойти проблему центрирования по времени – метод предсказания тока (CAM, current advance method), описанный в статье [19].

Пусть в начальный момент времени мы знаем скорости и координаты частиц v0p и r0p, а также магнитные поля B0. Начальное электрическое поле задавать не нужно, оно будет вычислено. Вычислим из v0p и r0p начальный ток j0, затем перейдем к координатам на полуцелых шагах. Это может осуществляться при помощи явного метода Эйлера для уравнений (5.88) и (5.90).

Далее можно переходить к основному циклу, который будет повторяться от шага к шагу. Он всегда будет начинаться с vn, rn+12 и Bn. Цикл начинается с вычисления Bn+12 , например явным методом Эйлера.

После этого нужно вычислить En+12 . Наиболее прямой метод состоит в ускорении всех частиц до vn+12 . Однако Particle mover и Current deposit – обычно самые ресурсоемкие шаги, поскольку частиц на один-два порядка больше, чем ячеек. Поэтому разумнее избегать их повторения в течение одного шага.

102

Приведем альтернативный метод. Найдем из уравнения (5.91) величину

получим

jni +12 = ji + k2(ΛE + Γ × Bn+12 ).

Если найти Λ и Γ одновременно с вычислением токов, то ток на шаге n+12 можно сосчитать без дополнительного цикла по частицам. Далее можно вычислить электрическое поле на шаге n + 12 и выполнить ускорение частиц по формуле (5.79) одним из стандартных методов.

Для более точного вычисления Bn+32 из Bn+12 можно использовать дополнительное разбиение по времени. Поскольку самыми ресурсоемкими являются операции с частицами, операции с ячейками (Field solver) можно проводить с меньшим шагом по времени dt = k/m, m Z, считая частицы неподвижными. Этот способ позволяет отслеживать быстрые процессы с электромагнитными полями, например эффект дисперсии.

В статье [19] предложен метод циклического перешагивания (Cyclic leapfrog), когда создаются четная и нечетная копии B и производятся вычисления по формулам:

B1 = Bn+12 − dt · × En+12 ,

103

...

Bp+1 = Bp−1 − 2dt × Ep, p = 1, 2...m − 1,

...

B = Bn−1 − dt × En,

B(tn+32 ) = 12(Bm + B ),

где Ep = E(nn+12 , jni +12 , Bp, Te).

В завершение отметим, что не всегда легко определить, какой метод моделирования подходит для данной задачи. В основном приходится искать компромисс точности и ресурсоемкости. Все перечисленные методы имеют общие свойства: во всех них используется пространственная и временная дискретизация, при выборе шага по времени необходимо выполнять критерий Куранта, а при создании численной схемы желательно делать ее центрированной по времени и координате и использовать метод конечных объемов. В следующей главе будет рассмотрен важный вопрос о выполнении законов сохранения в численных кодах и влиянии численных шумов на точность решения.

Упражнения

1. Пусть есть задача Коши для уравнения Бюргерса с начальными условиями:

sin(πx), 0 ≤ x ≤ 1,

q0(x) =

0, x < 0 x > 1.

Написать программу, которая строит 30 характеристик уравнения на отрезке [0, 1], и графически оценить время образования ударной волны

2. Для задачи из упражнения 1 написать программу, которая методом характеристик строит графики q(x) для десяти моментов времени от t = 0

до t = 0, 4 (после завала строить формальные многозначные решения). Исходя из вида графиков, оценить время образования ударной волны.

3. Пусть есть задача Коши для уравнения Бюргерса с начальными усло-

104

виями:

x, 0 ≤ x ≤ 0, 5,

q0(x) = 1 − x, 0, 5 < x ≤ 1,

0, x < 0 x > 1.

Аналитически найти время образования ударной волны tmax и написать программу, которая строит методом характеристик графики q(x) при t = 0,

t = 0, 5tmax и t = tmax.

4. Пусть есть задача Коши для уравнения Бюргерса с начальными усло-

виями:

1, x < 0,

q0(x) = 0, 0 ≤ x ≤ 2,

1, x > 2.

Аналитическим способом построить вид q(x) в момент времени t = 2.

5. Написать программу, находящую приближенное решение задачи Римана для одномерной гидродинамики с помощью решателя Роу и строящую профили плотности, скорости и давления в произвольный момент времени t > 0. Проверить ее работу на примерах:

а) ρL = 1, vL = 3, pL = 1; ρR = 2, vR = 1, pR = 1; б) ρL = 1, vL = 1, pL = 10; ρR = 1, vR = 1, pR = 1;

в) ρL = 1, vL = 3, pL = 0, 6; ρR = 3, vR = 1, pR = 6, 6; г) ρL = 4, vL = 0, pL = 4; ρR = 1, vR = 0, pR = 1.

6. Численно решить задачу Коши из упражнения 1: а) методом Upwind;

б) методом Leapfrog;

в) методом Лакса–Вендроффа.

Сравнить результат при t = 1 для значений шага по времени k от 0,001 до 0,1.

7. Написать программу, которая строит кусочно-постоянную и линейную реконструкцию функции sin(πx) на участке [0,2]. Сделать восемь ячеек по x. Построить три графика на одном рисунке (исходная функция и две реконструкции). Для линейной реконструкции использовать производную Лакса–Вендроффа.

105

8. Написать программу, которая строит линейную реконструкцию с ограничителями minmod и MC для функции из упражнения 4 на участке

[−1, 3]. Сделать восемь ячеек по x. Построить три графика на одном рисунке (исходная функция и две реконструкции). Посмотреть отличия реконструкции вблизи разрывов.

9. Самый мощный суперкомпьютер в мире – Frontier (США). Он содержит 602 112 ядер процессоров с суммарной оперативной памятью 4, 6 Пбайт. Оценить, сколько примерно таких компьютеров понадобится для создания трехмерной модели остатка сверхновой SN1987a с использованием PIC-кода с размером ячейки 1 le (инерционная длина электрона в межзвездной среде). Радиус остатка R 1018 см, плотность вещества в межзвездной среде n 1 см−3. Считать ячейку структурой, в которой хранятся значения B, E, j, ρ в формате double, частицу – структурой, в которой хранятся ее координаты rp и скорости vp в формате double. В каждой ячейке содержится 10 частиц.

10. Переписать уравнения для PIC-кода (5.53)–(5.62) в нормировке с базовыми размерными величинами x0 = le, B0 – начальное магнитное поле, t0 = Ω−e 1. Указать, чему равны размерности скорости v0, электрического поля E0, заряда q0 и массы m0. По возможности минимизировать количество коэффициентов в уравнениях.

11. Имеется PIC-модель плазмы солнечного ветра со следующими парамeтрами: концентрация ионов n = 1 см−3, магнитное поле B = 10−4 Гс, скорость потока v = 500 км/с, температура T = 105 K. Оценить дебаевский радиус λD и инерционную длину электрона le. Найти такое a, чтобы размер ячейки был равен λD (h = ale = λD). Для случая нормировки на h, k и me, приведенной в разд. 5.15, найти размерности t0, q0, B0, T0 (в энергетических

˜ ˜

единицах). Считать C = 1. Найти нормированные начальные параметры B,

˜

v˜, T . Оценить объем памяти, необходимый для построения одномерной модели участка длиной L = 105 м. Структуры для хранения ячеек и частиц считать такими же, как в упражнении 9.

12. Написать программу, где в массиве из ста ячеек случайным образом задается плотность так, чтобы она находилась в интервале от 0,5 до 1,5. Применить к массиву биномиальный фильтр последовательно пять раз, по-

106

строить на одном рисунке графики плотности после каждой фильтрации.

13.Методом, основанным на дифференциальном распределении, задать скорости 1000 протонов, распределенные по Максвеллу с температурой 105 K. Вывести в файл все компоненты их скорости и ее модуль.

14.Методом, основанным на интегральном распределении, задать скорости 1000 протонов, распределенные по Максвеллу с температурой 105 K. Интегральную функцию распределения найти численно методом трапеций. Вывести в файл все компоненты их скорости и ее модуль.

15.Из файлов, полученных в упражнениях 13 и 14, считать скорости частиц и построить их дифференциальную функцию распределения по всем компонентам скорости. Убедиться, что она совпадает с распределением Максвелла с температурой 105 K.

16.Задать массив случайных x-координат для 10 000 макрочастиц так, чтобы они образовывали распределение плотности ρ(x) = 1+0, 5 sin(2πx/L)

вобласти длиной L = 100 ячеек (x –номер ячейки). Вывести номер и координату всех частиц в файл. Каков должен быть вес одной макрочастицы

вданной нормировке, если ее масса равна 1?

17.Для частиц из упражнения 16 задать три компоненты скорости со средней скоростью потока vx(x) = cos(2πx/L) и максвелловским тепловым разбросом с температурой, равной 1 (в нормированных энергетических единицах). Вывести в файл координаты и скорости всех частиц.

18.Считать файл с координатами и скоростями протонов из упражнения 17, найти плотность и ток протонов jx(x) в 100 ячейках методом CIC (граничные условия взять периодические). Вывести в файл профили плотности и тока от x (вес макрочастиц выбрать таким, чтобы средняя плотность была равна 1).

19.Считать файл с координатами и скоростями протонов из упражнения 17, построить их распределение в фазовом пространстве x − vx с тридцатью бинами по скорости и ста бинами по координате.

ЗAКЛЮЧЕНИЕ

Компьютерное моделирование используется для решения многих астрофизических задач, поэтому будущему астрофизику-теоретику важно озна-

107

комиться с его основами. В данном пособии приведены базовые понятия, связанные с построением численных схем, а также описаны несколько типов кодов, используемых для моделирования гравитационно связанных систем и бесстолкновительной плазмы. Также пособие включает некоторые разделы теории размерности и примеры ее применения для моделирования структуры остатков сверхновых звезд.

При помощи гравитационных кодов создаются глобальные модели эволюции Вселенной. Закладывая в них различные космологические параметры и сравнивая результаты моделирования с наблюдательными данными, можно накладывать ограничения на состав ранней Вселенной, фундаментальные константы, содержание темной материи и темной энергии. Также гравитационные коды могут использоваться при моделировании аккреционных дисков черных дыр, протозвезд и других гравитационно связанных систем.

Магнитогидродинамические коды помогают исследовать морфологию и особенности эволюции таких астрофизических объектов, как пульсарные туманности, остатки сверхновых, радиогалактики, магнитосферы звезд и планет. Однако МГД коды могут учитывать микроскопическую турбулентность, кинетические процессы и надтепловые частицы только феноменологически, через транспортные коэффициенты и дополнительные слагаемые в законах сохранения.

Более точно исследовать процессы на кинетических масштабах можно при помощи PIC-кодов и гибридных кодов. PIC-коды моделируют кинетику всех частиц, поэтому они могут быть использованы для исследования микроструктуры фронта бесстолкновительных ударных волн, электронных неустойчивостей, нагрева и ускорения электронов, пересоединения магнитных линий и т. п. Высокая ресурсоемкость PIC-кодов привела к разработке гибридного подхода, основанного на усреднении по быстрым движениям электронов, переходе к ионным масштабам и принципе квазинейтральности (равенстве нулю суммарной плотности заряда электронов и ионов в каждой ячейке). Гибридные коды могут применяться, например, для моделирования ионных неустойчивостей, ускорения ионов на бесстолкновительных ударных волнах, структуры фронта сильных ударных волн и их взаимодействия с разрывами и турбулентностью перед фронтом. Мощность современ-

108

ных вычислительных систем даже позволяет создавать глобальные гибридные модели магнитосфер планет с учетом сложной геометрии магнитного поля.

Освоение материала, изложенного в данном пособии, поможет студентам понять структуру, особенности и область применения различных типов кодов, однако для разработки собственных кодов рекомендуется также ознакомиться с дополнительной литературой из библиографического списка.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Годунов. С. К. Численное решение многомерных задач газовой динамики /

С.К. Годунов. – М. : Наука, 1976. – 400 с.

2.Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике / Л. И. Седов. – М. : Наука, 1977. – 440 с.

3.Amano T. T. Amano, K. Higashimori, K. Shirakawa // Journal of Computational Physics. – 2014. – V. 275. – P. 197–212.

4.Balsara D. S. Linearized formulation of the Riemann problem for adiabatic and isothermal magnetohydrodynamics / D. S. Balsara // Astrophysical Journal Supplement Series. – 1998. – V. 116. – P. 119–131.

5.Balsara D. S. Second-order-accurate schemes for magnetohydrodynamics with divergence-free reconstruction / D. S. Balsara // Astrophysical Journal Supplement Series. – 2004. – V. 151. – P. 149–184.

6. Barnes J. A hierarchical O(N log N) force-calculation algorithm / J. Barnes,

P.Hut // Nature. – 1986. – V. 324. – P. 446–449.

7.Birdsall C. K. Plasma physics via computer simulation / C. K. Birdsall,

A.B. Langdon. – Bristol : IOP Publishing, 1991. – 469 p.

8.Brackbill J. U. The effect of nonzero · B on the numerical solution of the magnetohydrodynamic equations / J. U. Brackbill, D. C. Barnes // Journal of Computational Physics. – 1980. – V. 35. – P. 426–430.

9.Buneman O. TRISTAN. The 3-D electromagnetic particle code / O. Buneman // Computer Space Plasma Physics. – 1993. – P. 67–84.

10.Chevalier R. A. Self-similar solutions for the interaction of stellar ejecta with an external medium / R. A. Chevalier // Astrophysical Journal. – 1982. – V. 258. – P. 790–797.

11.Smilei: a collaborative, open-source, multi-purpose particle-in-cell code for plasma simulation / J. Derouillat [et al.] // Computer Physics Communications. – 2018. – V. 222. – P. 351–373.

12.Simulation Techniques for Cosmological Simulations / K. Dolag [et al.] // Space Science Reviews. – 2008. – V. 134. – P. 229–268.

109

13. Filippychev D. S. Hybrid simulation of space plasmas: models with massless fluid representation of electrons. I. Collisionless shocks / D. S. Filippychev // Computational Mathematics and Modeling. – 2000. – V. 11. – P. 15–39.

14. Hockney R. W. Computer simulation using particles / R. W. Hockney,

J.W. Eastwood. – Bristol : IOP Publishing, 1988. – 523 p.

15.Lapenta G. Adaptive multi-dimensional Particle In Cell [Electronic resource]. URL: https://arxiv.org/abs/0806.0830

16.Computational methods for Astrophysical Fluid Flow / R. J. LeVeque [et al.]. – Berlin : Springer, 1997. – 508 p.

17.Lipatov A. S. The hybrid multiscale simulation technology / A. S. Lipatov. – Berlin : Springer, 2002. – 403 p.

18.van Marle A. J. On magnetic field amplification and particle acceleration near non-relativistic astrophysical shocks: particles in MHD cells simulations / A. J. Van Marle, F. Casse, A. Marcowith // MNRAS. – 2018. – V. 473(3). – P. 3394–3409.

19.Matthews A. P. Current Advance Method and Cyclic Leapfrog for 2D Multispecies Hybrid Plasma Simulations / A. P. Matthews // Journal of Computational Physics. – 1993. – V. 112. – P. 102–116.

20.Vlasov methods in space physics and astrophysics / M. Palmroth [et al.] // Living Reviews in Computational Astrophysics. – 2018. – V. 4 (1). — P. 1–54.

21.Roe P. L. Approximate Riemann solvers, parameter vectors, and difference schemes / P. L. Roe // Journal of Computational Physics. – 1981. – V. 43. – P. 357–372.

D. Winske, N. Omidi // Journal of geophysical research. – 1996. – V. 101 (A8). – P. 12287– 17303.

110