Математическое моделирование в астрофизике. В 2 частях. Ч.1. Учебное пособие

Из соотношений характерных электронных и ионных длин и частот следует, что задача о численном моделировании плазмы осложняется большим диапазоном масштабов. Для того чтобы моделировать движение электронов, необходимо высокое пространственное и временное разрешение (маленький шаг по времени и шаг сетки). Однако для того чтобы отследить развитие ионных неустойчивостей и траектории ионов, время и область моделирования должны превышать характерные ионные масштабы, которые на несколько порядков больше электронных. Следовательно, необходимо хранить в оперативной памяти компьютера информацию как минимум о десятках тысяч ячеек и производить десятки тысяч шагов по времени, т. е. сотни тысяч арифметических операций.

Однако не для всех задач необходимо учитывать самые мелкие масштабы. Для моделирования астрофизической плазмы используется несколько методов, из которых можно выбрать тот, который оптимально подходит для поставленной задачи. Наиболее экономичные в плане компьютерных ресурсов, гидродинамические коды не включают кинетические эффекты и траектории отдельных частиц. В этих кодах на сетке решается система уравнений гидродинамики.

Широко используются магнитогидродинамические (МГД) коды, включающие магнитное поле, которое считается вмороженным в плазму. Основные методы, использующиеся в гидродинамических и МГД кодах, приведены в разд. 5.2–5.11. Также существуют радиационно-гидродинамические коды, учитывающие излучение и его влияние на динамику вещества. Преимуществом гидродинамических и МГД кодов является относительно небольшая ресурсоемкость, позволяющая целиком моделировать астрофизические объекты. При этом подразумевается, что размер ячейки пространственной сетки много больше инерционной длины и гирорадиуса ионов.

В противоположность гидродинамическим кодам, самыми точными (и ресурсоемкими) являются кинетические коды, в котором разрешаются все масштабы, в том числе электронные. Важным подклассом кинетических кодов являются коды типа «частица-в-ячейке» (particle-in-cell, PIC), в которых на пространственной сетке с разрешением порядка дебаевского радиуса решается система уравнений Власова–Максвелла методом характеристик.

51

В роли характеристик выступают макрочастицы, понятие о которых было введено для гравитационных кодов в главе 3. В кинетических кодах макрочастицы также представляют собой скопления реальных частиц, движущихся вместе. Поскольку траектория в электромагнитном поле определяется отношением заряда к массе, число реальных частиц в макрочастице не влияет на ее динамику. Кинетические коды учитывают траектории и кинетику всех сортов частиц. Они описаны в разд. 5.12–5.19. Вследствие огромной ресурсоемкости чаще всего кинетические коды используют для моделирования малых участков астрофизических объектов.

Достоинства и ограничения обоих методов сочетают так называемые

гибридные коды, в которых некоторые частицы представлены как жидкость,

вто время как остальные моделируются кинетически. В большинстве гибридныx кодов кинетически моделируются ионы, а электроны представлены как безмассовая нейтрализующая жидкость. Эти коды работают на масштабах порядка инерционной длины иона. Коды с аналогичным принципом работы, где гидродинамически описывается фоновая плазма, а кинетически – небольшая популяция надтепловых частиц, называются particle-in- cell magnetohydrodynamic (PIC-MHD) кодами. Гибридные коды рассмотрены

вразд. 5.20.

Выбор метода моделирования основывается на балансе между необходимой точностью и доступными вычислительными ресурсами. Если необходимо смоделировать целый остаток сверхновой или пульсарную туманность, нужно остановиться на гидродинамическом коде. Для исследования мелкомасштабных электронных неустойчивостей следует использовать PIC. Для моделирования ускорения ионов на сильных ударных волнах обычно достаточно применять гибридный подход. Однако в некоторых случаях электронные эффекты тоже важны и должны быть включены хотя бы феноменологическим образом.

5.2. Классификация и методы решения дифференциальных уравнений 2-го порядка

Прежде чем перейти к решению уравнений гидродинамики, напомним классификацию и методы решения дифференциальных уравнений 2-го по-

52

рядка. Пусть уравнение или система имеют вид

где нижние индексы обозначают дифференцирование по соответствующим переменным, а q и g могут быть как скалярами, так и столбцами (в случае системы уравнений).

Вычислим дискриминант системы D = b2 − 4ac.

Уравнения классифицируются в зависимости от знака дискриминанта.

1.Эллиптические ( D < 0).

2.Параболические ( D = 0).

3.Гиперболические ( D > 0).

Уравнение (5.11) представлено в линейном виде. Однако классификацию можно обобщить на случай, когда коэффициенты a, b, ..., f зависят от x, t и q. При этом тип уравнения может меняться от точки к точке.

Примером эллиптического уравнения служит рассмотренное ранее уравнение Пуассона (в этих обозначениях оно запишется как qxx + qyy = g, что соответствует D = −4). Такие уравнения обычно моделируют стационарные или медленные квазиравновесные процессы с заданными граничными условиями, т. е. зависимость от времени в уравнении отсутствует. Методы численного решения эллиптических уравнений были рассмотрены в главе 3. Это метод прогонки, прямое решение системы линейных алгебраических уравнений, метод последовательных приближений, преобразование Фурье.

Примером параболического уравнения служит уравнение теплопроводности или диффузии, в котором вместо y фигурирует время: qt = qxx. Такое уравнение требует задания начальных условий во всей области моделирования, а также постановки граничных условий. Если граничные условия не зависят от времени, то система постепенно достигнет стационарного состояния, в котором уравнение приходит к эллиптическому виду. Поэтому проще сразу искать стационарное решение одним из перечисленных выше методов.

Гиперболические уравнения (например, волновое уравнение qtt = qxx) имеют положительный дискриминант. Следует отметить, что если в уравнении (5.11) значения a, b и c равны нулю, то оно будет 1-го порядка:

53

dqx + eqy + fq = g. Однако, продифференцировав уравнение по x, мы приходим к уравнению 2-го порядка dqxx + eqxy + fqx = 0 с положительным дискриминантом D = e2. Таким образом, все дифференциальные уравнения 1-го порядка в частных производных – гиперболические. Наряду с параболическими, они требуют задания начальных условий во всей области, а также граничных условий. Гиперболические уравнения могут быть решены методом характеристик, который далее будет подробно изложен для гладких

иразрывных начальных условий.

5.3.Задача Коши и задача Римана для гиперболических уравнений

Будем считать, что одна из производных в гиперболическом уравнении 1-го порядка берется по координате, а вторая по времени, и ограничимся задачами, одномерными в пространстве. Тогда задача Коши будет иметь вид

qt + f(q)x = 0,

(5.12)

q(x, t = 0) = q0(x).

Данное уравнение записано в так называемой консервативной форме, а f(q) имеет смысл потока величины q.

Задачей Римана называется задача Коши с кусочно-постоянными начальными условиями:

Начнем с решения задачи Коши. Самый простой пример уравнения вида (5.12) – это уравнение переноса, где f(q) = uq:

где u – постоянная величина, имеющая размерность скорости.

Вэтом случае нетрудно убедиться, что решением (5.12) будет q(x, t) =

=q0(x − ut), т. е. начальное решение будет просто смещаться вдоль неких

54

траекторий, которые называются характеристиками. Для уравнения переноса все характеристики представляют собой прямые линии с наклоном u. Физически величина u означает скорость потока.

Методом характеристик можно решать и нелинейные уравнения, например невязкое уравнение Бюргерса (частный случай одномерного уравнения Эйлера без внешних сил и градиента давления), где в роли q выступает x-компонента скорости потока, а f(q) = q2/2:

Теперь наклон характеристик меняется от точки к точке. Однако легко доказать, что они по-прежнему представляют собой прямые линии, а значение q остается постоянным вдоль любой из них. Действительно, полная производная от q(x, t) вдоль такой характеристики в точности совпадает с левой частью уравнения (5.15). Следовательно, решение в любой момент времени можно получить, проведя прямые линии с наклоном q0 из всех точек. В этом и заключается метод характеристик. Однако он работает лишь до того момента, когда какие-либо характеристики пересекутся.

На рис. 5.1 приведены примеры решений и характеристик для уравнений переноса и Бюргерса. Жирными линиями показаны значения q(x)

Рис. 5.1. Характеристики и решение уравнения переноса (а) и уравнения Бюргерса (б )

55

в различные моменты времени, пунктиром – характеристики. Ось абсцисс соответствует координате, ось ординат – времени. Пересечение характеристик на рис. 5.1, б приводит к неоднозначности решения

Когда пересекаются две характеристики, приходящие из точек с различным значением q0, решение формально становится многозначным. Физически это означает, что невязкое уравнение перестает корректно описывать систему. Действительно, непосредственно перед пересечением характеристик градиенты становятся очень велики. В любой физической системе следствием этого будет диссипация, которую необходимо включить в уравнение (5.15):

Вследствие диссипации формируется скачок q, который в природе имеет конечную ширину, определяемую диссипативным слагаемым, а математически может быть аппрокcимирован функцией Хевисайда (рис. 5.2).

Для описания бесконечно тонких разрывов удобно ввести понятие слабого решения и перейти от дифференциального уравнения к интегральному:

56

Рис. 5.3. Характеристики уравнения Бюргерса в задаче Римана: а – в случае qL > qR; б – в случае qL < qR

Также интегральное представление можно получить, вводя пробные функции:

ηtq + ηxf(q) dxdt + η(x, 0)q0(x)dx = 0, η(x, t) C0∞(R × R+),

где η – множество бесконечно дифференцируемых финитных функций вещественных переменных.

Уравнения в интегральной форме справедливы и для разрывных решений. Соответственно, интегральная форма подходит и для решения задачи Римана (5.13). Простой качественный анализ решения задачи Римана для уравнения Бюргерса можно провести методом характеристик. При этом есть два принципиально различных случая: qL > qR и qL < qR . Эти случаи показаны на рис. 5.3.

В первом случае (см. рис. 5.3, а) характеристики пересекаются и точки пересечения лежат на одной прямой. Эта прямая и является траекторией разрыва. То есть если слева от разрыва скорость выше, чем справа (напомним, что q – это скорость), то разрыв будет просто перемещаться вправо без изменения свойств. Слева от него значение q будет по-прежнему равно qL, а справа qR.

57

Во втором случае (см. рис. 5.3, б ) существуют две области, заполненные характеристиками, но есть и промежуточная область, в которую никакие характеристики не попадают. Формально решение в ней не определено. Решений может быть бесконечно много, однако устойчиво лишь одно из них. Оно называется волной разрежения и имеет вид

q , x − x > q t.

R 0 R

Скорость перемещения разрыва в общем случае можно найти из уравнения (5.17). Обозначим скорость разрыва s, а координату x(t). Далее выберем пределы интегрирования по координате по разные стороны разрыва. Производную по времени оставим, поскольку зависимость от времени непрерывна, и дифференцирование не добавляет особенностей. Итого получим

ax(t)

xw(t)

qtdx + q(x(t) − ε, t)x′(t) +

a

wb

+qtdx − q(x(t) + ε, t)x′(t) = f(q(a, t)) − f(q(b, t)).

x(t)

Интегралы берутся теперь в областях, где нет разрывов, а значит, в подынтегральном выражении можно воспользоваться исходным дифференциальным уравнением qt = −f(q)x. Тогда интеграл по координате возьмется тривиально, и мы получим

−f(q(x(t)−ε, t))+q(x(t)−ε, t)x′(t)+f(q(x(t)+ε, t))−q(x(t)+ε, t)x′(t) = 0.

58

Отсюда следует

где квадратные скобки обозначают скачок на разрыве. Для уравнения Бюргерса (f = q2/2) получаем

s = (qL + qR),

2

что также видно из рис. 5.3, б : наклон линии пересечения характеристик является полусуммой наклонов характеристик слева и справа от разрыва.

Вгидродинамике задача Римана имеет простую физическую интерпретацию. Пусть есть сосуд, разделенный перегородкой, в двух частях которого различаются плотность, скорость и давление вещества. Задача Римана – определить, как будет эволюционировать система, если убрать перегородку. Аналогичная задача возникают при исследовании быстрых процессов, например, вспышек сверхновых, взаимодействий разрывов в звездном ветре и т. п. Также она может применяться при разработке гидродинамических кодов. Разрывы естественным образом появляются на границах ячеек вследствие дискретизации всех величин.

Вслучае сжимаемой жидкости задача Римана ставится уже не для одного уравнения, а для системы

Система нелинейна, поэтому точное решение задачи Римана может быть достаточно сложным: разрыв распадается на несколько ударных волн, контактных разрывов и волн разрежения. В разд. 5.5 будет изложен способ приближенного решения задачи Римана для уравнений гидродинамики,

59

а в разд. 5.9 – способ его использования при разработке гидродинамических

кодов.

5.4.Задача Коши и задача Римана для линейной системы дифференциальных уравнений

Прежде чем переходить к задаче Римана для нелинейной системы уравнений, научимся решать ее для линейной системы вида

где q : R×R → Rm – столбец, функция двух переменных; A = const Rm×m –

постоянная вещественная матрица.

Условием гиперболичности системы является диагонализируемость матрицы A:

где Λ = diag(λ1...λm) – матрица собственных чисел (λp R);

R = [r1|r2|...|rm] – собственные векторы матрицы A.

Сначала поставим для системы (5.19) задачу Коши q(x, t = 0) = q0 и решим ее с учетом (5.20). Будем искать решение в виде v = R−1q. Несложно получить, что vt + Λvx = 0, т. е. для каждого элемента столбца v выполняется уравнение переноса (5.14), где u = λp. Таким образом, элементы v

находятся методом характеристик:

vp(x, t) = vp(x − λpt, 0),v(x, 0) = R−1q0(x).

Число характеристик равно m (числу элементов в столбцах q и v), а наклон соответствует собственным числам матрицы A (dxp/dt = λp).

Мы сделали важный вывод о системах линейных гиперболических дифференциальных уравнений в частных производных: скорость распространения возмущений (волн) определяется собственными числами матрицы системы.

60