Математическое моделирование в астрофизике. В 2 частях. Ч.1. Учебное пособие

т. е. Bx = const. Это серьезное ограничение проистекает из одномерности задачи. Поэтому уменьшение пространственной размерности необходимо использовать с большой осторожностью. Тем не менее одномерные и двумерные расчеты по-прежнему часто используются в связи с большой ресурсоемкостью трехмерных задач.

Система уравнений одномерной МГД содержит семь неизвестных (ρ, vx, vy, vz, E, By, Bz) и имеет семь характеристик:

λ1 = v − cf ; λ2 = v − va; λ3 = v − cs; λ4 = v;

λ5 = v + cs; λ6 = v + va; λ7 = v + cf ;

где

Собственные числа приведены в порядке возрастания. Задача о распаде разрыва для системы МГД также может быть линеаризована и решена приближенно. Например, приближенный решатель задача Римана для системы МГД на основе решателя Роу приведен в статье [4].

5.12. Основные принципы разработки кинетических кодов

В этом разделе мы перейдем от самых крупномасштабных гидродинамических кодов к наиболее мелкомасштабным кинетическим. Кинетические коды были разработаны для моделирования бесстолкновительной плазмы

81

5.13. Решение уравнения Власова

Уравнение Власова является гиперболическим уравнением в частных производных в переменных t, r и v. Следовательно, оно может быть решено одним из стандартных методов, изложенных в разд. 5.3–5.11. Описание жидкости или газа при помощи функции распределения на дискретной сетке

называется подходом Эйлера.

Коды, основанные на подходе Эйлера, используются в современной аст-

рофизике (например, код Vlasiator [20]). Однако этот подход сопряжен с определенными трудностями. Во-первых, решение уравнений на шестимерной сетке – достаточно ресурсоемкий процесс. Кроме того, на этапе дискретизации необходимо заранее задать не только границы пространственной области, но и максимальную и минимальную скорость (либо работать с динамически расширяющейся сеткой). Многие астрофизические задачи связаны с ускорением частиц, из-за чего максимальная скорость растет на протяжении всего времени моделирования. При этом ускоренных частиц может быть немного, но ради них приходится хранить в памяти и обрабатывать много дополнительных ячеек. Еще одним недостатком подхода Эйлера является возможность возникновения отрицательных значений fs в результате ошибок округления. Такой результат нефизичен и может привести к неустойчивому поведению кода. Для устранения этой проблемы отрицательные значения часто принудительно зануляют. Однако это может повлиять на выполнение закона сохранения числа частиц.

Второй подход, часто используемый в кинетических кодах, – это подход Лагранжа. При этом функция распределения представляется в виде

Коэффициент wp называется весом макрочастицы и возникает вследствие того, что частиц в памяти компьютера на много порядков меньше, чем реальных частиц в моделируемой системе. Следовательно, wp 1.

Поскольку в левой части уравнения (5.40) выписана полная производная функции распределения вдоль траектории частицы, эти траектории

83

являются характеристиками уравнения Власова. Таким образом, подход Лагранжа связан с методом характеристик, а для его сходимости необходимо выполнение критерия Куранта: |vmaxk/h < 1| (в качестве наклона характеристик выступают скорости частиц). Траектория частицы может быть рассчитана одним из методов, приведенных в главе 2.

Кинетические коды, основанные на подходе Лагранжа, называются кодами типа «частица в ячейке» (particle-in-cell, PIC-кодами). Их основной недостаток – численные шумы, возникающие из-за ограниченного числа частиц в ячейках. Методы подавления шумов рассматриваются в следующем разделе.

5.14. Интерполяция токов

Комбинируя формулы (5.47) и (5.45)–(5.46), получим выражения:

Поскольку уравнения Максвелла решаются на сетке, нам необходимо задать не плотность заряда и тока в каждой точке пространства, а их средние значения в каждой ячейке Ci. Для этого усредним (5.48)–(5.49) по объему ячейки (будем считать размеры ячейки по всем осям равными h):

где s – сорт частицы p; ws – вес макрочастицы, безразмерная величина, равная отношению реального числа частиц данного сорта Ns к числу макрочастиц NPs.

Рассчитаем эти величины в пределах одной ячейки. Число частиц s-го сорта в ячейке обозначим ppcs (particle per cell). Это важный параметр, поскольку возникающая из-за численных шумов дисперсия плотности заряда

84

оценивается как 1/√ppcs. Число реальных частиц s-го сорта в ячейке равно nsh3, следовательно, ws = nsh3/ppcs.

Для уменьшения численных шумов вместо дельта-функции по координате в (5.48)–(5.49) можно подставить интерполирующую весовую функцию, например, как в методе CIC (3.16) или как в методе TSC (3.17). При этом в пространстве скоростей макрочастица всегда представляет собой дельтафункцию, так как должна двигаться как целое, а не расплываться.

Как и в гравитационных кодах с частицами в ячейках, одну и ту интерполирующую функцию в PIC-коде необходимо использовать дважды: при вычислении токов и плотностей, а затем при вычислении сил, действующих на частицу. В противном случае будут возникать нефизичные силы, действующие на частицу со стороны нее самой. Интуитивно это правило проще понять, представив частицу конечного размера, которая находится сразу в нескольких ячейках (как на рис. 3.3). Частица вносит вклад в токи и плотности ячеек пропорционально попавшим в эти ячейки долям объема частицы и подвергается воздействию электромагнитных полей в этих ячейках, также пропорционально долям объема. Поскольку макрочастица конечного размера ведет себя как абсолютно твердое невращающееся тело, результирующая сила будет суперпозицией всех сил.

Также для подавления шумов используют фильтрацию токов и плотностей. Например, часто используется трехточечный фильтр:

При α = 0, 5 этот фильтр называется биномиальным. Часто используют несколько прогонок фильтра для достижения более гладкого решения. К недостаткам этого метода можно отнести тот факт, что применение токовых фильтров нарушает равенство интерполирующих функций для токов и для сил, а значит возникают и силы, действующие на частицу со стороны нее самой. Кажется, что проблему можно решить, проведя также фильтрацию электромагнитных полей. Однако это нарушит выполнение закона сохранения энергии и нулевой дивергенции магнитного поля. Поэтому биноминальная фильтрация полей не производится.

85

5.15. Нормировка PIC-кодов

Прежде чем решать уравнения Максвелла, перейдем к нормированным единицам. Каждый лишний коэффициент в системе уравнений добавляет количество арифметических операций за шаг. Следовательно, нормировка должна минимизировать число коэффициентов. Кроме того, нормировка физических величин на характерные значения позволяет работать с числами порядка единиц или десятков, что может быть удобнее для восприятия. Нормировка позволяет использовать подобие и применять результаты одной и той же численной модели для различных объектов, масштабируя единицы измерения. Для однозначного определения системы единиц достаточно выбрать три независимых размерности, например, время, расстояние и массу. Тогда остальные размерности выразятся через них. Однако при этом останется еще свобода выбора безразмерного коэффициента.

Для примера покажем вывод нормировки, используемой в PIC-коде TRISTAN-MP [9]. В качестве базовых размерностей выбираются время, расстояние и масса. Время нормируется на шаг по времени k, координата – на шаг сетки h, масса – на массу электрона me. Недостатком такой нормировки является невозможность работы с адаптивной сеткой или адаптивным шагом по времени: все ячейки имеют одинаковый размер по всем осям, а шаг по времени жестко фиксируется перед началом счета. Однако этот метод позволяет избавиться от большей части коэффициентов в уравнениях.

Обозначив нормировочные коэффициенты x0, v0, m0 и т. д., а отнормированные величины r,˜ v˜p, m˜ p и т. д., найдем оптимальную нормировку. Дискретная система уравнений PIC-кода включает в себя два векторных уравнения движения частиц, два векторных и два скалярных уравнения Максвелла:

86

где ∆i обозначает приращение по i-му направлению, а индекс p – номер частицы.

Таким образом, благодаря нормировке из уравнения движения исчезла операция деления, выполняющаяся гораздо медленнее сложения и вычита-

ния.

Нормировку электрического заряда можно вывести из базовых норми-

не возникал дополнительный множитель.

87

Окончательно оно запишется в виде

x,y,z

Предложенная нормировка – не единственная возможная. Например, в коде Smilei [11] в качестве базовых единиц выбираются скорость света c, заряд и массу электрона e и me, а также любая частота на выбор пользователя ωr. Кажется, что базовых величин слишком много, и нормировка не согласованна. Однако такой подход допустим, так как в уравнения движения входит только отношение qp/mp. Единственные формулы, в которых заряд

88

возникает отдельно, – это формулы вычисления плотности и тока (5.50)– (5.51). При этом в них содержится безразмерный коэффициент ws, который может быть сделан размерным для согласования нормировки.

Ранее мы считали, что ws = nsh3/ppc. В этом случае из формулы (5.50) получалось условие ρ0 = q0/x30. Пусть теперь единицы измерения ws умножили на некоторый коэффициент αw (соответственно, значение веса в новых единицах уменьшилось во столько же раз). Тогда нормировка плотности заряда также увеличится: ρ0 = αwq0/x30. Из уравнения Пуассона (5.62) имеем выражение ρ0 = E0/(4πx0), а из уравнения движения (5.54) – выражение

E0 = v0m0/(t0q0). Объединяя эти три равенства, получаем

Если мы выбрали в качестве базовой размерности времени t0 обрат-

ную плазменную частоту электронов ωpe, то q02 = e2 = ω2peme/(4πne) = = m0/(4πnet20). Тогда можно из (5.75) найти коэффициент αw = nex30. В но-

вых единицах вес макрочастицы будет вычисляться по формуле

т. е. для электронов он будет равен нормированному объему ячейки, деленному на количество макрочастиц в ячейке. Также удобно в формулах (5.50)–(5.51) объединить коэффициент 1/h3 и αw. Тогда вес макрочастицы будет равен w˜s = (ns/ne))1/(x30ppc), т. е. станет размерной величиной.

5.16. Выбор шагов по времени и координате. Критерий Куранта

В процессе нормировки мы не фиксировали определенные h и k. Поскольку PIC-коды работают на электронных длинах и временах, выберем

в качестве таких масштабов электронную плазменную частоту (5.3) и инер-

˜ −1

ционную длину электрона (5.10). Тогда обозначим h = ale, k = aCωpe , что

˜

соответствует принятому ранее обозначению C = ck/h.

Для того чтобы PIC-код с явной схемой работал корректно, необходимо, чтобы размер ячейки не превышал дебаевский радиус (5.8). Есть PIC-коды

89

с неявной схемой, которые могут обойти это условие [15], но их мы не будем рассматривать в данном пособии. Таким образом, мы получим ограничение a < λD/le ≈ vth,e/c. Нарушение этого условия ведет к сильному искусственному нагреву плазмы, поскольку мелкомасштабные неустойчивости быстро диссипируют из-за грубой сетки. Это ограничение делает очень ресурсоемкими нерелятивистские расчеты и нередко заставляет исследователей искусственно завышать скорости и температуры в моделируемой плазме.

Как было указано ранее, в разд. 5.13, подход Лагранжа подразумевает, что частицы являются характеристиками уравнения Власова. Следовательно, критерий Куранта для частиц записывается в виде: |vmaxk/h < 1|. Закон Ампера (5.55)–(5.57) и закон Фарадея (5.58)–(5.60) имеют форму неодно-

˜ ˜

родного уравнения переноса, где E и B попеременно представляют собой

величину и ее поток. Скорость распространения волн равна c, и мы полу-

≡ ˜

чим критерий Куранта ck/h C < 1. Этот критерий ограничивает шаг

по времени, при этом является более сильным критерием, чем критерий Ку-

˜

ранта для частиц. Таким образом, постоянная C в выбранной нормировке имеет смысл не только нормированной скорости света, но и числа Куранта для системы уравнений Максвелла.

5.17. Решение уравнений Максвелла

Уравнения Максвелла – гиперболические, они представляют собой неоднородные уравнения переноса, которые можно решать, основываясь на методе конечных объемов, т. е. прибавляя к искомой величине потоки через границы ячеек. При этом необходимо некоторые величины задавать в центрах ячеек, а некоторые – на границах.

Заметим, что в уравнениях (5.55)–(5.57) в роли потока выступает магнитное поле, а в уравнениях (5.58)–(5.60) – электрическое, т. е. границы и центры ячеек меняются ролями. Это проще реализовать в одномерном случае, когда центры ячеек и их границы представляют собой просто точки на прямой, следовательно, различия между ними минимальны. Тогда разностная схема для уравнений Максвелла может выглядеть так:

90