Математическое моделирование в астрофизике. В 2 частях. Ч.1. Учебное пособие

Поскольку потенциал определен с точностью до константы, можно считать φn−1 = 0. Умножим первое уравнение на 1, второе – на 2, третье – на 3 и т. д. и просуммируем:

Из (3.22) находим φ0, далее вычисляем потенциалы в остальных ячейках по формулам:

φ1 = 4πGρ0 + 2φ0;

φj = 4πGρj−1 + 2φj−1 − φj−2.

Поскольку периодические граничные условия подразумевают бесконечную область, для получения периодичного потенциала средняя плотность должна быть равна нулю. Как рассматривалось ранее, вместо плотности используют ее отклонение от среднего.

Для двумерных и трехмерных задач этот метод не подходит. В этом случае полная система дискретных уравнений на сетке

может быть решена точно стандартными методами решения систем линейных уравнений. Однако в случае большого количества ячеек эти методы могут быть очень ресурсоемкими, несмотря на разреженность матрицы A (большое количество нулевых элементов). Можно упростить решение системы (3.23), представив матрицу A как сумму легко обратимой матрицы B

и остатка R. Тогда уравнение можно представить в виде

BΦ = (B − A)Φ + ρ

ивоспользоваться методом последовательных приближений, угадывая Φ0

ивычисляя Φ(t+1) = B−1(B −A)Φ(t) + B−1ρ. Итерации прекращаются, когда уравнение (3.23) начинает выполняться с заданной точностью.

31

Также для решения уравнения Пуассона часто используется дискретное преобразование Фурье, приводящее уравнение Пуассона к виду

где k – волновое число; φk – Фурье-образ потенциала; ρk – Фурье-образ плотности.

Из уравнения (3.24) Фурье-образ потенциала находится тривиально, а затем обратным преобразованием Фурье можно найти потенциал во всех

ячейках сетки. Поле находится дифференцированием потенциала.

Прямое дискретное преобразование Фурье осуществляется по формуле

Иногда используют другую нормировку (множитель перед суммой), но решение данной задачи от этого не зависит. Заметим, что из (3.24) следует

ρ0 = 0, т. е. средняя плотность снова должна быть нулевой.

Поскольку необходимо найти n значений Xk, трудоемкость преобразования Фурье пропорциональна O(n2). Это все равно значительно выгоднее, чем метод прямой суммы, так как n – это число ячеек, а не частиц. В каждой ячейке обычно находится не менее 5–10 частиц, поэтому скорость счета оказывается на порядок выше. Однако ее можно еще увеличить. Во всех математических пакетах применяется рекурсивный алгоритм под названием

быстрое преобразование Фурье (Fast Fourier Transform, FFT). Этот метод позволяет без потери точности выполнить преобразование Фурье с трудоемкостью O(n · log(n)).

Суть метода проще всего объяснить в случае, когда n является степенью

32

двойки. Тогда можно разбить (3.25) на суммы четных и нечетных элементов:

Обозначив сумму четных элементов Ek, а нечетных Ok, получим

−2πik

Xk = Ek + e n Ok.

Аналогичным образом можно получить

−2πik

Xk+n2 = Ek − e n Ok.

Таким образом, вычислив Ek и Ok, мы получаем амплитуды сразу двух гармоник. В свою очередь Ek и Ok имеют вид, аналогичный (3.25) (c n/2

вместо n) и тоже могут быть представлены в виде двух сумм. Таким образом, алгоритм работает рекурсивно, пока под знаком суммы не останется всего один элемент. В случае, если n не является степенью двойки, возможно разбивать на другое количество сумм.

Использование быстрого преобразования Фурье позволяет быстро и эффективно решать уравнение Пуассона на сетке. Многомерное преобразование Фурье является суперпозицией преобразований по всем направлениям. Благодаря линейности преобразований они могут выполняться в любом порядке.

Упражнения

1.Пусть на отрезке длиной 1 находятся 5 частиц с координатами 0,7; 0,27; 0,3; 0,9; 0,01. По алгоритму, приведенному на рис. 3.1, построить дерево, содержащее эти частицы.

2.Написать программу, задающую случайным образом положения 1000 частиц в одномерной области с периодическими граничными условиями, разбитой на 100 ячеек. Методами NGP, CIC, TSC посчитать плотности в ячейках (размер ячейки и массу частицы считать равными 1). Сравнить дисперсию результатов.

33

3.Написать процедуру решения методом прогонки одномерного электростатического уравнения Пуассона. Распределение плотности заряда должно быть задано в области длиной L с периодическими граничными условиями. Проверить работу программы для случаев ρc = sin(10πx/L) и ρc = sin(10πx/L) + 1 . Будет ли корректен результат решения задачи, если средняя плотность положительна?

4.Выполнить упражнение 3 методом быстрого преобразования Фурье (для нулевой средней плотности), сравнить результат.

4.МЕТОД РАЗМЕРНОСТЕЙ. АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ. САМОПОДОБНЫЕ МОДЕЛИ

СВЕРХНОВЫХ

4.1.Основы теории размерностей

Вэтой главе описаны метод размерностей и его использование в астрофизике. Этот метод представляет собой мощный инструмент не только для проверки физических формул, полученных другими методами, но

идля получения качественных зависимостей одних физических величин от других. Теория размерности строится на интуитивно понятном представлении, что складывать, вычитать и приравнивать можно только величины одинаковой размерности. Соответственно, выражение вида 1 кг = 5 см бессмысленно, и если в левой и правой части формулы получились величины разной размерности, то она ошибочна.

Размерными мы называем величины, численное значение которых зависит от системы единиц (длина, время, сила, ускорение и т. п.). Безразмерные величины одинаковы во всех системах единиц (например, число π

или постоянная тонкой структуры). Углы измеряются чаще всего в радианах, а также в градусах, но если остановиться на каком-то одном варианте, их можно отнести к условно безразмерным единицам. Поскольку диапазон углов ограничен, это не приведет к трудностям вычислительного характера в отличие от попытки, например, измерять массу протона в тоннах или диаметр галактики в микронах. Кроме того, метод связан с геометрическим подобием, при котором углы сохраняются.

34

Размерные величины можно разделить на основные (базовые) и производные (выражающиеся через основные). Для задания системы единиц достаточно задать три базовых величины. В рамках так называемой LTMфизики – это длина, время и масса (length, time, mass). Например, в СИ – метр, секунда, килограмм, а в СГС – сантиметр, секунда, грамм. Однако в качестве базовых можно выбрать и другую тройку величин. Примером может быть планковская система единиц, где за единицу принимаются , c,

G и KB (постоянная Больцмана). Четыре базовых размерности вместо трех возникают вследствие различия единиц температуры и энергии. Приравнивание к единице постоянной Больцмана переводит температуру в энергетические единицы. В LTM-физике подразумевается, что единицы измерения температуры и энергии изначально совпадали.

Если в качестве базовых взяты размерности LTM, то размерность любой величины выражается как

[a] = LlT tMm,

где l, t и m – вещественные числа.

Основой теории размерностей является Π-теорема: всякое физическое соотношение между размерными величинами можно сформулировать как соотношение между безразмерными величинами.

Доказательство Π-теоремы. Пусть есть величина a, зависящая от n параметров

из которых k имеют независимые размерности (мы уже знаем, что k не превышает 3). Размерности a, ak+1, ..., an можно выразить через базовые. Обозначим размерности базовых величин [ak] ≡ Ak. Тогда все остальные размерности будут выражаться следующим образом:

[a] = Am1 1 Am2 2 ... Amk k ; [ak+1] = Ap11 Ap22 ... Apkk ;

...

[an] = Aq11 Aq22 ... Aqkk .

35

Если мы изменим размерности величин a1, a2, ..., ak соответственно в α1, α2, ..., αk раз, то получим

a˜ = αm1 1 αm2 2 ...αmk k a = αm1 1 αm2 2 ...αmk k f(a1, a2, ..., an) = f(˜a1, a˜2, ..., a˜n) = (4.2) = f(α1a1, α2a2, ..., αkak, αp11 αp22 ...αpkk ak+1, ..., αq11 αq22 ...αqkk an),

где a˜ – значение a в новых единицах.

Мы доказали, что f однородна по α1, α2, ..., αk. Теперь выберем

α1, α2, ..., αk следующим образом:

Так мы нормируем все величины на первые k независимых параметров. Также обозначим

Таким образом мы привели соотношение (4.1) к безразмерному виду. Теорема доказана.

Частным случаем Π-теоремы является случай, когда k = n, т. е. все параметры имеют независимые размерности. Тогда из (4.3) следует, что

Π = const, т. е. a = constam1 1 am2 2 ...amk k . В этом случае зависимость a от параметров определяется с точностью до постоянного множителя из соображений размерности.

В качестве примера использования теории размерностей обычно приводят математический маятник. Угол его отклонения от вертикали φ в произвольный момент времени t может определяться начальным углом φ0, ускорением свободного падения g, массой груза m и длиной нити l. Имеем одну неизвестную величину и пять параметров, из которых три имеют независимую размерность. Согласно Π-теореме, у нас возникнет две безразмерные

36

комбинации параметров Π1 и Π2. Одной из комбинаций, является начальная фаза φ0, вторая должна быть выражена через m, g, t и l.

Выпишем в явном виде все размерности: [m] = M, [g] = LT −2, [t] = T,

[l] = L. Поскольку размерность массы появляется лишь однажды, она не может входить в безразмерную комбинацию. Из оставшихся величин получаем

r

g Π2 = t l .

Следовательно,

s

g

φ = φ φ0, t l .

Таким образом, благодаря теории размерности мы определили, что период колебаний математического маятника не зависит от массы груза, и вычислили его с точностью до множителя. Аналогичным образом можно оценить зависимость силы натяжения нити от времени:

r

g N = mgf φ0, t l .

4.2. Одномерные задачи газодинамики. Автомодельность

Система уравнений гидродинамики состоит из пяти дифференциальных уравнений в частных производных (уравнение неразрывности, три компоненты уравнения Эйлера и закон сохранения потока энергии). В некоторых случаях найти решение этой системы достаточно сложно, однако существует ряд решений, которые можно получить из теории размерностей.

Для газодинамических и гидродинамических задач искомыми параметрами обычно являются плотность ρ, скорость v и давление p, определяющими – время t, координата r, а также начальные и граничные условия. Поскольку в размерность плотности и давления входит размерность массы M,

среди определяющих параметров должен быть один, также ее включающий.

37

Обозначим его a и выпишем все размерности:

[ρ] = L−3M; [v] = LT −1;

[p] = L−1T −2M; [a] = LkT sM.

Удобно искать плотность, скорость и давление в безразмерном виде:

где R, V и P зависят только от безразмерных комбинаций параметров. Здесь и далее будем считать, что система сферически симметрична,

т. е. все величины зависят только от радиус-вектора. Если в системе нет параметров помимо t, r и a, то R, V и P постоянны и зависимость всех величин от времени в явном виде содержится в (4.4).

Что будет, если мы добавим еще один определяющий параметр b с независимой от a размерностью? Не умаляя общности, можно считать [b] =

LmT n. Тогда R, V , и P зависят от единственного безразмерного параметра

η = rb−m1 t−δ, где δ = −n/m. Такой тип решения называется автомодельным (самоподобным), поскольку зависимость всех безразмерных величин от координаты имеет один и тот же вид в разные моменты времени и различается только масштабом. Таким образом, система самоподобно расширяется или сжимается.

Если определяющих параметров с независимой от a и b размерностью более двух, то автомодельность пропадает. В случае автомодельного решения можно выразить все частные производные через производные по η и свести систему уравнений гидродинамики к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, которая решается сравнительно легко.

38

4.3. Самоподобные модели сверхновых

Типичный остаток сверхновой со временем проходит несколько стадий эволюции. Во время вспышки звезда сбрасывает оболочку, движущуюся со сверхзвуковой скоростью, в результате чего на внешней границе формируется головная ударная волна, нагревающая межзвездное вещество. Сразу после вспышки начинается стадия свободного разлета, в начале которой радиус оболочки растет линейно со временем. Однако оболочка сгребает все больше межзвездного вещества, и его масса начинает замедлять распространение головной ударной волны. Как следствие, формируется обратная ударная волна, распространяющаяся в выброшенное звездой вещество и нагревающая его.

Когда масса оболочки и сгребенного ей вещества приблизительно сравниваются, остаток сверхновой переходит в стадию адиабатического расширения, когда излучение в отличие от окружающей среды все еще не влияет на динамику остатка. К этому моменту обратная ударная волна достигает центра остатка и исчезает после нескольких колебаний. Далее следует «стадия снегоочистителя» (snow-plow), когда оболочка остатка сверхновой активно высвечивает энергию, чтобы впоследствии окончательно раствориться в пространстве. Однако мы рассмотрим только первые две стадии.

Когда масса сгребенного оболочкой вещества много больше массы оболочки, а обратная ударная волна успела исчезнуть, динамика остатка хорошо описывается автомодельным решением Седова. Обозначим параметры, которые могут определять эволюцию такой системы. Мы можем пренебречь массой оболочки, а также считать ничтожно малым начальное давление межзвездной среды. Таким образом, определяющими параметрами являются плотность межзвездной среды ρ0 с размерностью L−3M, энергия взрыва E0 с размерностью L2T −2M, координата и время, а также безразмерный адиабатический индекс газа γ. Помимо координаты и времени есть два независимых размерных параметра, что соответствует критерию автомодельности. Безразмерный параметр

1

ρ5 r η = 01 .

2

E05 t5

39

2

Таким образом, все расстояния растут как t5 , и можно по порядку величины оценить скорость фронта головной ударной волны на стадии Седова.

Однако на стадии свободного разлета пренебрегать массой оболочки некорректно. При этом достаточно скоро приближение постоянной скорости оболочки становится слишком грубым: наблюдения остатков сверхновых, а также аналитические и численные модели показывают, что замедление оболочки и формирование обратной ударной волны происходит почти сразу после взрыва. Для описания структуры обеих ударных волн с учетом свойств выброса звезды и окружающей среды в статье [10] была создана самоподобная модель. Модель основана на системе уравнений гидродинамики в сферической системе координат:

Структура остатка схематически показана на рис. 4.1, где R1 – радиус фронта головной ударной волны; R2 – радиус фронта обратной ударной волны. За фронтами этих ударных волн находятся области нагретого голов-

Головная УВ

ρ r−s

Обратная УВ

ρ r−n

R2 Rc R1

Контактный разрыв

Рис. 4.1. Схема остатка сверхновой

40