Математическое моделирование в астрофизике. В 2 частях. Ч.1. Учебное пособие

Рис. 5.4. Область зависимости линейной системы дифференциальных уравнений в частных производных в точке (x, t) (три красных точки на оси x)

Теперь найдем q(x, t), умножив v на R:

mm

Из (5.21) следует, что значение q в точке (x, t) зависит от начальных условий не во всей области, а в нескольких точках. На рис. 5.4 из них проведены характеристики в точку (x, t). Эти точки являются областью зависимости системы (5.19) в точке (x, t). Мы можем любым образом изменить начальные условия вне области зависимости, при этом решение в точке (x, t)

останется тем же. Для линейных систем область зависимости дискретна, но в общем случае может быть непрерывна. В физических задачах область зависимости ограничена принципом причинности (v < c).

Задача Римана для системы (5.19) решается похожим образом. Пусть q = qL при x < 0 и q = qR при x > 0, где qL, qR – столбцы чисел. Слева и справа от разрыва мы имеем задачу Коши с постоянными начальными условиями. Снова ищем решение в виде v = R−1q. Обозначим значения v

слева и справа от разрыва в начальный момент времени

61

Таким образом мы представили начальные условия qL, qR как линейную комбинацию собственных векторов матрицы A:

Все компоненты столбца v удовлетворяют уравнениям переноса со скоростями, равными соответствующим собственным числам. Из-за того, что все эти скорости разные, происходит распад разрыва, и при t > 0 разные компоненты v имеют разрыв в разных точках:

vp(x, t) =

vpL, x − λpt < 0,vpR, x − λpt > 0.

Наклон характеристик линейной системы не зависит от времени и координаты. Следовательно, скорость распространения также не меняется, и решение со временем расширяется самоподобно.

Зная v(x, t), находим q(x, t) = Rv(x, t). Оно будет кусочно-постоянным с границами вдоль характеристик. Распишем его покомпонентно. Допустим, размерность матрицы A равна 3×3. Тогда есть три собственных числа и три характеристики. Расположим собственные числа в порядке возрастания:

λ1 < λ2 < λ3. Пусть r1, r2, r3 – соответствующие собственные векторы. Три характеристики делят плоскость x−t на четыре области (рис. 5.5).

На область, находящуюся левее самой левой характеристики, еще не повлиял распад разрыва, поэтому решение в ней совпадает с начальным условием слева от разрыва qL. Данное утверждение верно и для самой правой области, где q = qR.

Рассмотрим область между характеристиками λ1 и λ2: она находится слева от характеристик λ2 и λ3, поэтому в ней v2 = v2L и v3 = v3L, но правее λ1, поэтому v1 = v2R.

Следовательно,

62

Основным принципом решателя Роу является линеаризация системы уравнений. Пусть имеется задача Римана вида (5.13), где q и f – столбцы и f зависит от q. Задача состоит в том, чтобы заменить нелинейную систему

ˆ

линейной вида qˆt + A(qL, qR)ˆqx = 0 и получить приближенное решение qˆ.

ˆ

Перечислим требования к матрице A.

ˆ

1. Условие гиперболичности: A – диагонализируема, с вещественными

собственными числами.

ˆ − −

2. Условие на разрыве: A(qL, qR)(qR qL) = f(qR) f(qL). Тогда если условия на разрыве подобраны согласно адиабате Гюгонио, разрыв не распадется, а будет просто перемещаться. Таким образом, приближенное решение совпадет с точным.

ˆ

3. Условие сходимости: A(qL, qR) стремится к матрице Якоби при уменьшении разницы qL и qR. Это гарантирует корректную аппроксимацию гладких решений.

Приведем пример построения такой матрицы для системы уравнений

В системе оставлена скорость и производные только вдоль x. Физически это соответствует динамике жидкости в тонкой трубе. Все уравнения выписаны в консервативной форме и представляют собой законы сохране-

64

Обозначим qR − qL ≡ ∆q, f(qR) − f(qL) ≡ ∆f и будем искать матрицу

ˆ ˆ −1

A(qL, qR) в виде A = CB . Согласно второму требованию нам необходимо

Теперь посчитаем ∆q и ∆f. Для этого введем правила «дифференцирования» суммы и произведения на разрыве. Если с суммой все просто (∆(a + b) = ∆a + ∆b), то скачок произведения можно представить в двух эквивалентных видах:

∆(ab) = aRbR − aLbL = aRbR − aRbL + aRbL − aLbL = aR∆b + bL∆a; ∆(ab) = aRbR − aLbL = aRbR − aLbR + aLbR − aLbL = bR∆a + aL∆b.

Взяв полусумму этих выражений, получим

65

Воспользовавшись правилами «дифференцирования», найдем из (5.27) и (5.28):

Тогда с учетом ∆q = B∆w и ∆f = C∆w можно получить матрицы B и C:

ˆ

а значит, и искомую матрицу A, для которой по построению будет выполнено

второе требование. Нетрудно убедиться, что и два других критерия будут удовлетворены. Таким образом, мы перешли от нелинейной задачи Римана к линейной, которую мы научились решать в прошлом подразделе.

Первый пункт алгоритма – нахождение собственных чисел и собствен-

где r˜ ≡ B−1r, X ≡ C − λB.

Собственные числа (скорости волн) находятся из условия det X = 0, которое сводится к кубическому уравнению

66

Сравнивая (5.30) c (5.26), легко понять, что λ0 имеет значение средней скорости потока, а λ± – скорости потока плюс/минус средняя скорость звука

p

γp/ρ. Таким образом, приближенный метод дал физически обоснованную оценку скорости распространения возмущений в среде: со скоростью движения плазмы либо со скоростью звука относительно потока. Далее можно подставить найденные собственные числа в (5.29) и найти r˜. Cобственные векторы линеаризованной системы равны r = Br˜.

В качестве примера приведем известную гидродинамическую задачу – задачу Сода. Она представляет собой задачу Римана в одномерной гидродинамике с ρL = 3, ρR = 1, vl = vR = 0, pL = 3, pR = 1 (т. е. раcпад разрыва на границе областей разной плотности и одинаковой температуры). Приближенное решение сравнивается с точным на рис. 5.6. На четырех панелях

67

представлены давление, скорость, плотность и характеристики задачи. Точное решение, показанное сплошными линиями, включает в себя волну разрежения, внутри которой параметры меняются плавно; контактный разрыв, где нет скачка давления; ударную волну. Приближенное решение, состоящее из трех ударных волн, тем не менее достаточно адекватно воспроизводит форму всех профилей и наклон характеристик. Точность приближенного решателя Роу достаточна для гидродинамических кодов.

5.6.Методы численного решения гиперболических систем

При реализации метода характеристик, рассмотренного ранее, пространство не разбивается на фиксированные ячейки, в которых считается приращение q. Точки, в которых постоянны определенные величины, движутся вдоль характеристик, т. е. на каждом шаге меняют свое положение. Однако эти методы могут быть сложны в реализации, особенно при возникновении разрывных решений или взаимодействии разрывов.

В общем случае гиперболические системы могут решаться при помощи разностных схем на фиксированной сетке. Для этого в самом начале моделирования осуществляется пространственная дискретизация и задание начальных условий. Для начала выясним, какими способами можно осуществить дискретизацию непрерывной величины q.

Различают два основных метода дискретизации – метод конечных разностей и метод конечных объемов. В первом случае за значение величины в ячейке принимается значение в центре ячейки Qni = q(xi, tn), а во втором – среднее по ячейке (рис. 5.7):

где xi±12 – координаты границ ячейки.

При дискретизации подразумевается, что размер ячейки много меньше характерных масштабов изменения всех величин, поэтому в большинстве случаев метод конечных разностей дает достаточно адекватные результаты.

68

Рис. 5.7. Методы пространственной дискретизации: метод конечных разностей (a) и метод конечных объемов (б )

Однако для лучшего выполнения законов сохранения предпочтительнее использовать метод конечных объемов. При этом гиперболические уравнения записываются в консервативной форме qt + f(q)x = 0, а потоки f(q) вычисляются на границах ячеек. Эти методы будут рассмотрены в разд. 5.8–5.9.

В этом разделе мы познакомимся с методами решения гиперболических уравнений и систем, основанными на методе конечных разностей. Самый простой из них – схему с разностями против потока (Upwind) – проще всего проиллюстрировать на примере уравнения переноса (5.14). Пространство разбивается на ячейки, в каждой из которых задается дискретная величина Qni . Этот метод зависит от знака скорости потока u:

69

Напомним, что верхние индексы обозначают номер шага по времени, а нижние – номер ячейки. Этот метод можно понять интуитивно: в случае если u > 0, на i-ю ячейку могут влиять только ячейки слева, в противоположном случае – только ячейки справа.

Метод Upwind имеет 1-й порядок точности по времени и координате. Он также применим к линейным системам, если все собственные числа в них одного знака. В случае нелинейных систем и уравнений вида (5.12) его можно применять только в случае, если характеристики во всей интересующей области наклонены в одну сторону:

К методам 2-го порядка точности по координате и времени относятся, например, метод перешагивания (Leapfrog) и метод Лакса–Вендроффа. Метод перешагивания для линейных систем вида (5.19) выглядит следующим образом:

Он требует знания Q на двух предыдущих шагах, поэтому первый шаг делается любым другим методом.

Метод Лакса–Вендроффа основан на разложении в ряд Тейлора:

q(x, t + k) = q(x, t) + kqt(x, t) + 12k2qtt(x, t) + ... .

70