Математический взгляд на актуальные проблемы методики обучения математике в начальной школе. Монография

СОДЕРЖАНИЕ

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

ГЛАВА 1. Методика обучения математике как интегративная наука

1.1. Интегративные составляющие методики обучения математике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Возможность и целесообразность создания интегративного математико-методического курса для профессиональной подготовки будущих учителей начальных классов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3. Соотношение математической и методической составляющих в современном учебнике математики для начальной школы. . . . . . . . . . 14

ГЛАВА 2. Избранные вопросы методики обучения математике в начальной школе: влияние математической составляющей

2.1. Особенности формирования понятий «число» и «цифра» у младших школьников. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2. Вычислительная составляющая процесса обучения математике в начальной школе. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3. Алгоритмическая содержательная линия начального курса математики. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4. Величины«цена» и«стоимость» вначальномкурсематематики . . . . . .27

2.5. Величины «скорость» и «расстояние» в начальном курсе математики. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.6. Аналогия при обучении младших школьников решению задач с пропорциональными величинами . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.7. Действия над величинами, изучаемыми в начальной школе. . . . . . . 39

2.8. Моделирование как средство обучения математике младших школьников. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.9. Формирование математических понятий у младших школьников с опорой на остенсивные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.10. Понимание как основа образовательной стратегии обучения математике в начальной школе. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Заключение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3

Введение

Автор настоящей монографии начинал свою научную и педаго- гическую деятельность как математик. Итогом этой деятельности стала защита в 1987 году кандидатской диссертации по специаль- ности 01.01.06 – математическая логика, алгебра и теория чисел. Поворотным пунктом в нашей профессиональной деятельности стало полученное в 1990 году приглашение от выдающегося оте- чественного педагога Ш. А. Амонашвили к работе в его лаборатории гуманно-личностного подхода при Центре педагогических иннова- ций, которым в то время руководил Э. Д. Днепров. С этого време- ни проблемы обучения математике младших школьников для нас становятся приоритетными. Исследования и наработки в этой об- ласти в конечном итоге вылились в написание комплекта учебни- ков по математике для начальной школы в рамках образовательного проекта «Перспективная начальная школа». Этот учебно-методиче- ский комплектстал официально использоваться в школьной практи- ке начиная с 2002 года. За последующие годы автором было написа- нодостаточнобольшоеколичествостатейпоактуальнымпроблемам методики обучения математике в начальной школе. Учитывая, что все эти статьи разбросаны во времени и по журналам, которые имеют разную степень доступности для учителей начальной школы, мы решили собрать эти материалы вместе, чтобы ими было удобно пользоваться. Так и появилась мысль написать настоящую моногра- фию. При этом в названии мы специально хотели подчеркнуть тот факт, что на рассматриваемые методические проблемы предлагает- сявзглянутьглазамиматематика. Этоможетбытьнесовсемпривыч- но для многих специалистов в данной области, но совершенноточно имеет право на существование.

4

ГЛАВА 1. Методика обучения математике как интегративная наука

1.1. Интегративные составляющие методики обучения математике

Федеральныйгосударственныйобразовательныйстандартначаль- ного общего образования «устанавливает требования к результатам обучающихся, освоивших основную образовательную программу на- чального общего образования:

Личностным, включающим готовность и способность обучаю- щихся к саморазвитию, сформированность мотивации к обучению и познанию, ценностно-смысловые установки обучающихся, отража- ющие их индивидуально-личностные позиции, социальные компе- тенции, личностные качества; сформированность основ гражданской идентичности.

Метапредметным, включающим освоенные обучающимися уни- версальные учебные действия (познавательные, регулятивные и ком- муникативные), обеспечивающие овладение ключевыми компетен- циями, составляющими основу умения учиться, и межпредметными понятиями.

Предметным, включающим освоенный обучающимися в ходе изучения учебного предмета опыт специфической для данной пред- метной области деятельности по получению нового знания, его пре- образованию и применению, а также систему основополагающих элементов научного знания, лежащих в основе современной научной картины мира» [1, с. 5].

При этом обучение математике в начальной школе традиционно должно выполнять три основные функции: развивающую, образо- вательную и воспитательную. Аналогичные функции должны быть реализованы и в процессе обучения математике в основной школе. Каждая из перечисленных функций является предметом изучения самостоятельной науки: проблемами развития личности занимается психология; образовательная функция – предмет изучения дидакти- ки; вопросами воспитания ведает теория воспитания. При этом сама математика, об обучении которой и идет речь, является достаточ- но сложной системой знаний, объединяющей в себе самые разнооб- разные теории и направления. В процессе обучения математике все

5

А. Л. ЧЕКИН. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВЗГЛЯД НА АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

перечисленные системы знаний тесно взаимодействуют между со- бой, порождая новую систему знаний, которая может быть названа методикой обучения математике. Тем самым очевиден интегратив- ный характер методики обучения математике. Понятно, что эта новая система знаний при своем построении будет активно использовать понятия, факты, законы интегрирующихся наук, но делать это она уже будетв несколько измененной (адаптированной для своих целей) форме. В то же время вполне правомерно утверждать, что указанные составляющие могут рассматриваться и как естественные структур- ные компоненты методики обучения математике.

Таким образом, мы приходим к определению методики обуче- ния математике как науки о развитии, образовании и воспитании учащихся в процессе изучения математики. Учитывая, что методи- ка обучения математике появилась на стыке математики, педаго- гики и психологии, мы с полным основанием можем рассматривать ее как пример междисциплинарной интеграции на самом высо- ком уровне – системном. А все перечисленные науки входят в эту новую систему на правах структурных компонентов, хотя и с опре- деленными адаптационными изменениями, связанными с особен- ностями субъектов образовательной математической деятельности. Само определение методики обучения математике как интегратив- ной науки требует интегративного подхода к предмету ее изучения. Определенную связующую и обобщающую роль для всех составляю- щих методики обучения математике выполняет философия как на- ука о всеобщих законах развития общества и человека во всех воз- можных проявлениях.

Методика обучения математике как наука призвана дать от- вет на два важнейших вопроса образовательной деятельности: чему учить? как этому учить? Существует точка зрения, согласно которой методика обучения математике должна отвечать еще и на вопрос: для чего учить? С нашей точки зрения, ответ на этот последний во- просдолжнадаватьнеметодикаобученияматематикекакнаука(хотя полностью дистанцироваться от этого вопроса она, конечно, не мо- жет), а та государственная структура, которая отвечает за разработку политики в области образования. Поэтому мы сосредоточимся на рас- смотрении двух первых из перечисленных выше вопросов. Эти во- просы порождаютряд проблем, которыедолжны решаться методикой обучения математике с учетом взаимодействия трех основных функ- ций обучения. Ктаким проблемам можно отнести следующие:

6

ГЛАВА 1. МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ КАК ИНТЕГРАТИВНАЯ НАУКА

•постановка целей и задач процесса обучения математике соот- ветствующей категории учащихся;

•определение содержания курса математики в соответствии с по- ставленными целями и задачами;

•разработка методов, средств и форм обучения, которые соответ- ствовали бы выбранному содержанию и были направлены на ре- шение поставленных целей;

•изучение процесса обучения математике с позиции деятельно- сти учителя;

•изучение процесса обучения математике с позиции деятельно- сти учащихся;

•оценка результатов обучения как продвижение в развитии уча- щихся.

Для обоснования интегративного характера методики обучения математике исследуем ее взаимоотношение с областями знаний, ко- торые выступают в роли ее составляющих, что позволит установить характерные особенности самой методики обучения математике. Наиболеетеснаясвязьметодикинаблюдаетсясдидактикой. Методику даже иногда называют частной дидактикой. Исследуем более подроб- но их взаимосвязь. Для этого обратимся еще раз к вопросу о том, ка- кие функции практического характера должна выполнять методика. По мнению М. Р. Львова [38], с которым мы вполне согласны, мето- дика, во-первых, определяет цели и задачи обучения своему предме- ту, вписывая его в целостную модель образования, определяет объем изучаемого материала в соответствии с социальным заказом обще- ства, изучает степень доступности этого материала возрасту учащих- ся, распределение материала по классам, его структуру и дозировку потемамиурокам, устанавливаетмежпредметныесвязи, задаетсоот- ношениетеоретического и практического материала ит. д. Не следует забывать и о том, что методика определяет критерии и нормы оцен- ки знаний и умений учащихся. Практическим результатом всей этой работы является создание учебно-методических комплектов по дан- ному предмету для данной возрастной категории учащихся. Такой комплект, какправило, включаетвсебяпрограммупопредмету, учеб- ники, учебные пособия, методические пособия для учителя, различ- ную дополнительную литературу справочного характера ит. д.

Во-вторых, методика дает учителю рекомендации о том, как по- строить процесс обучения данному предмету, чтобы реализовать по- ставленные цели, а учащимся– как организовать свой познавательный

7

А. Л. ЧЕКИН. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВЗГЛЯД НА АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

труд. Методика разрабатывает и предлагает методы и приемы обуче- ния в зависимости отспецифики изучаемого материала.

В-третьих, методика занимается выяснением эффективности ука- занных методов и приемов, что позволяет дать рекомендации по их выбору, разработкой и сравнительным исследованием вариативных методик, их результативности, исследованием трудностей, встре- чающихся при обучении данному предмету, изучением ошибок, их диагностикой и прогнозированием, поиском путей устранения этих трудностей и ошибок; экспериментальной проверкой новых учебно- методических комплектов.

В силу того, что методика возникла из практики обучения, она из- начальнотяготела ктой науке, преподаванием которой и занималась. В дальнейшем же методика вошла в систему педагогических наук, со- хранив свой прикладной характер и развив свою собственную фунда- ментальную часть, которая занимается вопросами усвоения учебного материала учащимися, формированием специфических умений и на- выков. Теснейшаясвязьметодикиидидактикипроявляетсявналичии общей стратегической цели – осуществить обеспечение учебно-вос- питательного процесса в школе. И дидактика и методика исследуют закономерности этого процесса, только дидактика определяет общую закономерность, которая не ограничена областью одного предмета, а методика, наоборот, сосредотачивает свое внимание на специфиче- ских закономерностях в процессе обучения данному предмету. Связь методики и дидактики проявляется и в том, что обе науки имеют общую систему основных понятий (обучение – обучение математи- ке, умения учащихся – вычислительные и другие умения учащихся, урок – урок математики и т. п.), а любая методическая система опи- раетсяна основныедидактическиепринципы, которыеадаптируются к этой системе. Так, дидактический принцип наглядности можетбыть на уроках математики трансформирован в принцип графической и схематической наглядности.

Не менее важное значение для методики имеет и ее интеграция с психологией. При этом мы имеем в виду не только то, что лежит на поверхности, а именно: вопросы развития в процессе обучения. Все эти вопросы напрямую связаны с психологическими исследова- ниями и достижениями в области психологии. Совсем не случайно, что видные отечественные психологи, занимающиеся исследова- нием соответствующих проблем, пришли к созданию собственных методических систем, разработанных на базе созданных ими пси-

8

ГЛАВА 1. МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ КАК ИНТЕГРАТИВНАЯ НАУКА

хологических теорий. В качестве примера можно привести систему Д. Б. Эльконина – В. В. Давыдова и систему Л. В. Занкова. Именно эти две системы были очень основательно разработаны и стали очень по- пулярными в практике начального обучения в целом, и начального обучения математике в частности. Кратко эти системы можно охарак- теризовать следующим образом.

В основе развивающего обучения школьников по системе Д. Б. Эльконина– В. В. Давыдовалежиттеория формирования учебной деятельности и ее субъекта в процессе усвоения теоретических зна- ний посредством анализа, планирования и рефлексии [21, 86]. В соот- ветствии с этим для формирования учебной деятельности у младших школьников необходимо, чтобы они систематически решали учеб- ные задачи. При этом они находят общий способ подхода ко многим частным задачам, которые в последующем выполняются без особых усилий на основе этого общего подхода. Это означает, что обучение в данной системе строится по дедуктивному принципу: от общего к частному. Так, начальный курс математики в этой системе постро- ен не на числовой, а на величинной основе: сначала с использовани- ем буквенной символики изучаются величины и их свойства, а уже потом вводится число как результат измерения величины, а изучен- ные свойства величин автоматически переносятся на числа. Усвоение теоретических знаний посредством соответствующих действий тре- бует ориентации на существенные отношения изучаемых объектов, предполагающей анализ, планирование и рефлексию содержатель- ного характера. Таким образом, при усвоении теоретических зна- ний возникают условия для развития названных мыслительных дей- ствий как важных компонентов теоретического мышления. Младший школьник в роли субъекта выполняет учебную деятельность снача- ла вместе с другими учащимися и с помощью учителя. Постепенно он переходитна самостоятельное выполнениеразличных видов учеб- ной деятельности. Можно констатировать, что концепция развиваю- щего обучения Д. Б. Эльконина– В. В. Давыдова нацелена, прежде все- го, на развитиетворчества как основы личности.

Несколько иную задачу поставил и решал в своих исследованиях Л. В. Занков [26]. Его исследовательскаядеятельностьбыла направле- на на построение такой системы начального обучения, при которой достигалось бы гораздо более высокое развитие младших школьни- ков, чем при обучении по сложившейся традиционной системе. Эта система создавалась на основе экспериментальных исследований,

9

А. Л. ЧЕКИН. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВЗГЛЯД НА АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

проведение которых должно было демонстрировать эффектив- ность использования особых программ и методов. Так, начальный курс математики в этой системе был построен на теоретико-множе- ственной основе, что придавало ему высокий уровеньтеоретизации. Отличительными чертами системы Л. В. Занкова являются:

•высокий уровеньтрудности, на котором ведется обучение;

•быстрыйтемп прохождения учебного материала;

•значительное повышение удельного весатеоретических знаний;

•осознание школьниками процесса учения;

•направленность на высокое общее развитие всех школьников (это основная характеристика системы).

Все перечисленные выше положения в системе развивающего обучения Л. В. Занкова являются основными дидактическими прин- ципами, суть которых кратко можно выразить следующим образом. Принцип обучения на высоком уровне трудности означает не столь- ко то, что обучение превышает некоторую «среднюю норму» трудно- сти, сколько то, что оно раскрывает духовные силы ребенка, дает им простор и направление, а усвоение определенных знаний становится

иодновременно достоянием школьника, и средством, обеспечиваю- щим переход на более высокую ступень развития.

Спервымпринципоморганичносвязанивторойпринцип– обуче- ние быстрым темпом. Согласно этому принципу, при изучении учеб- ного материала нужно продвигаться вперед быстрым темпом, отка- зываясь от однообразного повторения пройденного. При этом очень важно, чтобы на каждом уроке учащиеся пополняли свой багаж зна- ний, а необходимое повторение нужно осуществлять с обязательным продвижением вперед. Действенным средством, позволяющим всем учащимся двигаться вперед быстрым темпом, является применение дифференцированнойметодики, сутькоторойсостоитвтом, чтоодин

итотжевопросможетизучатьсясразнойстепеньюглубиныпостиже- ния этого вопроса.

Третийпринципданнойсистемыговоритоведущейролитеорети- ческих знаний. Он не отрицаеттой значительной роли, которую игра- ют образные представления младших школьников, но говорит о том, что абстрактный характер мышления для учащихся этого возраста не есть что-то недостижимое, а совсем наоборот, этот вид мышления можно и нужно развивать в первую очередь.

Четвертый принцип системы говорит о необходимости осознания учащимися процесса учения. Для успешности обучения очень важно,

10