Математический взгляд на актуальные проблемы методики обучения математике в начальной школе. Монография

ГЛАВА 2. ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ: ВЛИЯНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ

как «цена 1 кг помидоров» или «цена 1 л молока», так как единица количества товара уже включена в саму структуру единицы цены. Поэтому, описывая покупаемый (или продаваемый) товар, следует употреблять не количественные характеристики, а характеристики, отличающие его от другого товара (наименование, вид, сорт, артикул, указание производителя, указание продавца и т. д.). Например, вме- сто фразы «цена 1 кг яблок» будет правильным сказать «цена яблок» или «цена яблок сорта “антоновка”» или «цена яблок у данного про- давца» ит. п.

2.5.Величины «скорость» и «расстояние»

вначальном курсе математики

Внастоящем параграфе мы хотим продолжить обсуждение вопро- са о величинах, изучаемых в начальном курсе математики, который мы начали обсуждать в предыдущем параграфе, затронув величины «цена» и «стоимость». Теперь мы предлагаем подробнее рассмот- реть величины, с которыми учителя и ученики сталкиваются при ре- шении задач на движение. Точнее, нас будет интересовать, главным образом, только две величины из хорошо известной триады вели- чин «расстояние – скорость – время», которая является величинной основой задач на движение. Этими величинами являются величины «скорость» и«расстояние» («длинапройденногопути»), очеммыиза- явили в названии настоящего параграфа. Исключив на данном этапе из рассмотрения величину «время», мы никоим образом не хотим сказать, чтоэтавеличинанезаслуживаетвнимания. Скорее, наоборот. Величина «время» настолько значима в общеобразовательном плане, что требует специального и подробного обсуждения. Есть и еще одна причина сделанного нами выбора. Она заключается в том, что мы хо- тим не только рассмотреть различные теоретические и методические аспектыизученияуказанныхвеличинвначальномкурсематематики, но провести аналогию с величинами «цена» и «стоимость», рассмо- тренными ранее. Дело втом, что обозначенная аналогия являетсятой принципиальной идеей, которая была использована нами при разра- ботке методического подхода в вопросе обучения учащихся началь- ной школы решению задач с пропорциональными величинами [74]. Подробнее об этом речь пойдет в следующем параграфе.

Начнем с рассмотрения величины «расстояние». Термин «расстоя- ние» в математике носитгеометрический характер, так как напрямую

31

А. Л. ЧЕКИН. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВЗГЛЯД НА АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

связан с одной из так называемых геометрических величин, а имен- но: с величиной «длина». Но трактовка этого термина в задачах на движение (а именно о таких задачах мы и будем вести речь) от- личается от той трактовки, которую имеет этот термин в геометри- ческих задачах (расстояние между точками, расстояние от точки до прямой, расстояние между параллельными прямыми и т. д.). Когда

взадачах на движение мы говорим о расстоянии, которое, например, преодолел пешеход за определенное время и с определенной ско- ростью, то мы имеем в виду длину пройденного пути как длину от- резка кривой линии, повторяющей траекторию движения пешехода. Естественно, очень часто бывает затруднительно измерить эту дли- ну, поэтому мы должны идти по пути упрощения: либо оперировать уже известной длиной пройденного пути, либо вычислять эту длину по известной формуле на основе знания двух других величин этой триады. Если же все-таки требуется провести измерение, то мы вы- нуждены рассматривать прямолинейную траекторию движения даже

втех случаях, когда это нетак. Например, когда мы проводим измере- ние расстояния между интересующими нас объектами по плану мест- ности (в определенном масштабе). Этим фактом исчерпывается пере- чень проблем, которые могут возникать перед учениками и учителем

всвязисрассмотрениемданнойвеличинывпроцессеобученияреше- нию задач на движение в начальной школе.

Перейдем теперь к рассмотрению величины «скорость», обращая особое внимание на трактовку этой величины в начальном курсе ма- тематики. Прежде всего, отметим, что понятие «скорость» (в физи- ческом смысле) очень многогранно. Есть скорость «средняя», а есть – «мгновенная», есть скорость «линейная», а есть– «угловая». Какую же скорость мы имеем в виду, когда говорим о скорости на уроках мате- матики в начальной школе? Судя по определению, которое исполь- зуется в том или ином виде практически всеми авторами действу- ющих учебников, речь идет о средней скорости, т. е. об отношении длины пройденного пути к затраченному на это времени. Средняя скорость – это действительно та разновидность скорости, о которой можно и нужно вести речь в начальной школе: определение вполне доступно младшим школьникам для понимания, возможна хорошая иллюстрация примерами из реальной жизни, позволяет решать зада- чи явно выраженной практической направленности. Но не следуетза- бывать, что понятие средней скорости несет в себе и ряд проблемных моментов, связанных с правильным употреблением этого понятия.

32

ГЛАВА 2. ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ: ВЛИЯНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ

Так, например, зная длину пройденного пути и затраченное на это время, мы можем вычислить среднюю скоростьдвижения некоторого объекта, но не можем установить, сколько времени потребуется это- му объекту для преодоления части пути. Этот факт означает, что не- корректно, например, спрашивать о том, за сколько секунд сприн- тер пробежит 50 м, если дистанцию 100 м он пробегает за 10 секунд. Такого типа вопросы возможны только при наличии соответствую- щего дополнительного условия, которое может звучать так: спринтер всю дистанцию бежит с постоянной скоростью, или средняя скорость на новом участке дистанции остаетсятой же самой, что и на первона- чальном. Но такие условия авторы задач на движение для начальной школы практически никогда не формулируют, а если и формулиру- ют, то эти условия превращают задачу с реальным сюжетом в зада- чу явно не из жизни, а надуманную. В этом случае не очень просто перестроить сюжет, чтобы в задачу опять вернулась «реальность». В роли объекта, движущегося с постоянной скоростью, можно, напри- мер, использовать поезд, который осуществляетдвижение на некото- ром прямолинейном перегоне. Ситуация, когда на разных участках пути сохраняется одна и та же средняя скорость, возможна не часто, но при движении с постоянной скоростью оно, очевидно, будет вы- полнено. Приведем пример задачи на движение в той формулировке, которая, на наш взгляд, отвечаеттребованию корректности. Это будет задача №288 из учебника математики для 4 класса: «За 3 ч, которые был в пути скорый поезд, он преодолел расстояние 240 км. Сколько километров преодолеет этот поезд за 5 ч, если будет двигаться с той же средней скоростью?» [82, с. 85].

После того как мы разъяснили нашу позицию по вопросу мате- матически грамотного использования понятий «расстояние» и «ско- рость» на уроках математики в начальной школе, настало время дать некоторые методические рекомендации учителям началь- ных классов, которые призваны помочь им организовать изучение данного вопроса более эффективно. Основная методическая идея в этом случае заключается в том, что задачи на движение следует рассматривать в сопоставлении с задачами на процесс купли-про- дажи, усматривая полную аналогию в характере зависимости между величинами: «стоимость – цена – количество» и «длина пути – ско- рость– время». Вдальнейшем эта аналогиядолжна бытьраспростра- нена и на триаду величин «объем выполненной работы – произво- дительность – время». Таким образом, величины «цена», «скорость»

33

А. Л. ЧЕКИН. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВЗГЛЯД НА АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

и«производительность» с математической точки зрения устроены одинаково и оперировать с ними нужно, следуя методу аналогии, тем более, что согласно программе начального курса математики они, как правило, не разведены по времени [47].

Перейдем теперь к рассмотрению вопроса о методике обучения решению задач на совместное одновременное движение двух объек- тов. Разные авторы предлагают разную классификацию таких задач

иразнуюпоследовательностьихизучения. Вотдельныйклассвыделя- ют задачи «на встречное движение», в другой – задачи «на движение в одном направлении», как отдельные классы предлагается рассмат- ривать задачи «на движение вдогонку» и «на движение с отставани- ем». Кто-то считаетнужным отдельно рассматриватьзадачи «на сбли- жение» и«наудаление» ит. д. Какхорошовидно, вэтомвопросеимеет место изрядная путаница, которая создает проблемы учителям, ког- да необходимо дать соответствующее объяснение, а также ученикам в плане понимания этого материала. Эта путаница возникает из-за использования не очень удачной, а то и просто ошибочной классифи- кации таких задач. Так, например, задачи «на сближение» возника- ют и при встречном движении и при движении в одном направлении, но решаются они по-разному: в первом случае на основе сложения скоростей отдельных объектов, а во втором – на основе вычитания из большей скорости меньшей. Поэтому выделять в отдельный класс задачи «на сближение» методически ошибочно. Как же тогда следует поступать?

Мы считаем, что наиболее разумным в этом случае будет следую- щий подход. Сначала все такие задачи нужно разделить на два клас- са, а именно: задачи на движение в противоположных направлени- ях и задачи на движение в одном направлении. Так как в начальном курсе математики любая задача на одновременное совместное дви- жение двух объектов предполагает (явно или неявно) движение по прямой, то указанные два класса исчерпывают все такие задачи. При этом при движении в противоположных направлениях результи- рующаяскоростьнаходитсякаксуммаскоростейотдельныхобъектов,

апри движении в одном и том же направлении – как их разность (из большей скорости нужно вычесть меньшую).

Послеэтоговкаждомклассезадачследуетрассмотретьзадачиста- кими сюжетами, которые приводят и к сближению объектов, и к их удалению, но нужнодовестидо понимания учащихся, что на решении это последнее отличие никакого принципиального значения не ока-

34

ГЛАВА 2. ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ: ВЛИЯНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ

зывает. Так, например, при движении двух объектов навстречу друг другу эти объекты сначала сближаются, а после момента встречи на- чинают удаляться друг от друга, но и скорость сближения этих объек- тов, и скорость их удаления будет являться суммой индивидуальных скоростей этих объектов, так как в обоих случаях движение происхо- дит в противоположных направлениях. Более подробно с предложен- ной методикой можно познакомиться, проанализировав соответству- ющие темы из учебника математики для учащихся 4 класса проекта «Перспективнаяначальнаяшкола» [82, 83] инашимметодическимре- комендациям для учителя к этому учебнику [74].

В заключение мы хотим остановиться на рассмотрении задач на движение двух объектов с временным гандикапом, т. е. таких за- дач, в которых первый объект начинает движение раньше, чем вто- рой. На первый взгляд может показаться, что это особый класс за- дач, и подходить к решению таких задач нужно с новыми идеями. На самом деле это не так. Достаточно сначала перевести времен- ной гандикап в расстояние между объектами, которое будет иметь место на момент вступления в процесс движения второго объекта, и мы получим знакомую нам задачу на одновременное совместное движение двух объектов с определенными начальными условиями. Эти начальные условия должны отражать «начальное» расстояние между объектами и направления их движения. Все остальные дан- ные должны касаться соответствующих величин из триады «рассто- яние – скорость – время», которые следует взять из первоначальной формулировки задачи.

2.6. Аналогия при обучении младших школьников решению задач с пропорциональными величинами

Аналогия традиционно играет важную роль при изучении цело- го ряда вопросов, входящих в программу начального курса матема- тики любого действующего учебно-методического комплекта. Так, например, без аналогии трудно себе представить изучение вопро- сов устной и письменной нумерации многозначных чисел, переход от случая сложения или вычитания двузначных чисел «столбиком» кслучаювыполнениясоответствующегоалгоритмадлятрехзначных, четырехзначных и т. д. чисел, рассмотрение действий над числами и соответствующих действий над величинами. Но возможности ис- пользования аналогии в процессе обучения этими традиционными

35

А. Л. ЧЕКИН. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВЗГЛЯД НА АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

примерами далеко не исчерпываются. В настоящей статье мы хо- тим показать, как удачно и эффективно можно применить анало- гию в вопросах обучения младших школьников решению задач с пропорциональными величинами, т. е. задач «на движение», «на работу», «на куплю-продажу». Мы не случайно указали эти три сюжетных класса задач с пропорциональными величина, так как именно они традиционно занимают очень важное место в про- граммном содержании начального курса математики на протяже- нии уже очень длительного периода времени. При этом каждый из названных классов рассматривался обычно авторами действую- щих учебников как самостоятельный, а аналогия не привлекалась как инструмент, позволяющий повысить эффективность и качество обучения в этой области. Наш опыт показывает, что эту традицию можно и нужно нарушить: аналогия очень хорошо работает как ме- тодический инструмент в вопросах обучения младших школьников решению задач с пропорциональными величинами. Но чтобы это понять, нужно соответствующим образом выстроить и объяснить возникающую аналогию.

Начнем с анализа величин, которые фигурируют в каждом из названных выше сюжетном классе задач. В задачах «надвижение» мы имеем дело с триадой величин «длина пути – скорость – время». В задачах «на работу» – с триадой величин «объем работы – произ- водительность – время». В задачах «на куплю-продажу» – с триадой величин «стоимость – цена – количество». Наличие соответствую- щих величинных триад уже наводит на мысль об аналогии, но если при сопоставлении первых двух триад аналогия почти очевидна (производительность с полным правом можно называть скоростью выполнения работы), то третья триада вроде бы не вписывается в эту аналогию. Особенно необычно здесь обстоит дело с величиной «цена». Если посмотреть на те единицы, в которых многие авторы учебников математики для начальной школы предлагают выражать цену (имеется в виду рубли, копейки, иногда евро идоллары), то уви- деть аналогию со скоростью или производительностью практически невозможно, так как единицы этих величин устроены по другому (как отношение соответствующих единиц двух разнородных вели- чин: длины и времени, массы и времени и т. п.). Но ведь и цена яв- ляется отношением двух разнородных величин – стоимости и ко- личества. При этом количество может быть представлено разными величинами, в том числе и временем.

36

ГЛАВА 2. ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ: ВЛИЯНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ

Для «цены» увидеть это можно было бы по соответствующим еди- ницам, но, как мы уже сказали, многие годы было принято выражать «цену» в единицах стоимости, что ошибочно. Когда, по нашему насто- янию, в учебниках математики для начальной школы стали исполь- зовать единицы руб./кг (дол./кв. м и т. д.), то ситуация стала менять- ся: теперь уже не получается завуалировать характер этой величины. Есть еще ряд величин, которые устроены точно так же. Например, «плотность», «урожайность», «расход материала» и т. д. Некоторые из них встречаются в задачах начального курса математики, но ос- новная роль отводится именно скорости, производительности и цене. Указанные три величины являются, как было сказано выше, величи- нами из наиболее задействованных в начальном курсе математики величинных триад: «длина пути – скорость – время», «объем рабо- ты – производительность – время», «стоимость – цена – количество». При этом если указанная величина в соответствующей триаде посто- янна, то две другие величины связаны прямой пропорциональной за- висимостью. Такая математическая «одинаковость» данных величин дает возможность использовать при их изучении метод аналогии. Применение аналогии может быть реализовано в разных аспектах: во-первых, перечень тем и вопросов для изучения можно сделать со- вершенно аналогичным, во-вторых, рассматривая задачу с одной ве- личиной, можно для сопоставления предлагать аналогичную задачу с другой величиной. Как это реализуется на практике, можно узнать, ознакомившись с предложенной нами методикой работы с задачами «на движение», «на работу», «на процесс купли-продажи» [74].

Перейдем теперь к рассмотрению более сложных задач с про- порциональными величинами: мы будем анализировать соответст- вующие задачи на совместное взаимодействие двух объектов. При решении задач на совместное движение возникает необходимость складывать (движение в противоположных направлениях) или вы- читать (движение в одном направлении) скорости. При решении за- дач на совместную работу возникаетнеобходимость складывать (при одинаковом типе работы) или вычитать (при противоположном типе работы) производительности. Мы явно видим возможность про- должения методической линии на аналогию. Как же в этом случае быть с ценой? Можно ли аналогично складывать и вычитать цены? Оказывается, что можно, но только в том случае, когда количество представлено величиной «время». В других случаях цена-сумма на- прямую не связана с исходными ценами-слагаемыми по смыслу [83].

37

А. Л. ЧЕКИН. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВЗГЛЯД НА АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

Пример сложения цен: цена аренды одной комнаты плюс цена аренды другой комнаты дают цену аренды этой двухкомнатной квартиры.

Пример вычитания цен: цена аренды двухкомнатной квартиры минус цена сдачи в наем своей однокомнатной квартиры дают цену улучшения жилищных условий для данной семьи. Таким образом, мы смогли для специального случая цены (когда в структуру цены включена величина «время») провести аналогию со скоростью и про- изводительностью.

Имеется еще один непростой момент, который, на первый взгляд, разрушает аналогию в соответствующих задачах с двумя объектами. Какможнообъяснитьякобыимеющеесянарушениеаналогииприрас- смотрении задач на совместное движение по сравнению с задачами на совместную работу и совместную покупку: одинаковая работа при- водит к сложению производительностей, одинаковая деятельность при «купле-продаже» приводит к сложению цен, а движение в одном направлении приводит к вычитанию скоростей? Устранить эту проб- лему можно следующим образом. При движении в одном направле- нии объекты совершают противоположные действия: один убегает, а другой догоняет. Этим обстоятельством и можно объяснить необхо- димость вычитания скоростей. Если же движение идет в противопо- ложных направлениях, то объекты совершают одинаковые действия: либо оба сближаются, либо оба удаляются. Поэтому в данном случае имеет место сложение скоростей. Таким образом, аналогия наблюда- ется и в этом случае, что еще раз подтверждает возможность исполь- зования указанного методического подхода при обучении решению задач «на движение», «на работу», «на куплю-продажу».

В заключение мы хотим обратить внимание на один интересный факт, который также будет работать на подтверждение целесообраз- ности использования аналогии при обучении младших школьников решению задач «на движение», «на работу» и «на куплю-продажу». Как мы показали выше, ключевым моментом в установлении ана- логии для этих классов задач является одинаковое «математическое устройство» таких величин, как скорость, производительность и цена. При этом аналогия между скоростью и производительностью может быть выражена с помощью использования другого названия произ- водительности, а именно: производительность можно называть ско- ростью выполнения работы. Если попробоватьпродолжитьэту анало- гию на процесс «купли-продажи», то «повременную» цену (т. е. цену

38

ГЛАВА 2. ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ: ВЛИЯНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ

как стоимость в единицу времени) можно также называть скоростью, только это будет скорость пополнения ваших денежных средств, если вы что-то продаете, или скорость расходования ваших средств, если вы что-то покупаете.

2.7.Действия над величинами, изучаемыми

вначальной школе

Вопросы, связанные с изучением величин (длины, массы, време- ни, площади, стоимости и т. д.), традиционно включаются в содержа- ние начального курса математики, и им всегда уделяется достаточно большое внимание. Но эти вопросытаятв себе оченьсерьезные проб- лемы математического и методического характера, которые не лежат на поверхности, и их не всегда удается рассмотретьи понять, если нет на то конкретных указаний. В настоящем параграфе мы хотим про- должить разговор об этих проблемах, который был начат в парагра- фах 2.4 и 2.5, а также в соответствующих статьях, опубликованных нами в журнале «Начальная школа» соответственно в 2011 и 2016 го- дах [69, 84]. Но если в указанных статьях речь, главным образом, шла об особенностях этих величин с точки зрения их трактовки для млад- ших школьников и их правильного понимания в целом, то сейчас нам бы хотелось поговорить о том, какими особенностями обладают опе- рации (действия) над величинами, изучаемыми на уроках матема- тики в начальной школе, и как эти особенности должны учитываться при их изучении. Начнем с двух самых доступных и понятных опера- ций, а именно: со сложения и вычитания величин.

Когда начинается разговор о сложении и вычитании величин, точасто можноуслышатьвозражение, чтооб этомнетособогосмысла говорить, так как сложение и вычитание величин практически ничем не отличается от сложения и вычитания чисел. Понятно, на чем ба- зируется эта точка зрения. Во-первых, действительно, эти операции над числами и соответственно над величинами имеют много обще- го. Поэтому очень часто для того, чтобы выполнить сложение (вы- читание) величин, достаточно уметь складывать (вычитать) числа. Например, 5 м + 3 м = 8 м или 23 кг – 15 кг = 8 кг. Во-вторых, такой взгляд на проблему во многом сформировался под влиянием при- нятого в последнее время структурирования программ по матема- тике для 1–4 классов. Так, в примерной программе к действующему ФГОСНОО, имеютсяразделы«Числаивеличины» и«Арифметические

39

А. Л. ЧЕКИН. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВЗГЛЯД НА АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

действия»,вкоторыходействияхнадвеличинамиречьвообщенеидет. Хотим мы того или нет, тем самым у многих создается иллюзия от- сутствия принципиальных отличий между числами и величинами

вэтом вопросе [46]. На наш взгляд, такая ситуация должна быть изме- нена. Сделать это можно следующим образом: включить в программу по математике для начальной школы (наряду с другими) два разде- ла: «Числа и действия над ними» и «Величины и действия над ними». При этом первый раздел будет служить основой арифметической со- держательной линии курса, а второй– содержательной линии по изу- чению величин. Пример такой программы имеется, и он представлен

вМинобрнауки РФ в качестве возможного варианта примерной про- граммы по математике для 1–4 классов.

Если мы обратимся к опыту не очень далекого прошлого, то дей- ствия над величинами рассматривались как действия над именован- ными числами, и такой подход формировал четкое понимание того, что действия над величинами требуют особого внимания и не могут быть полностью «растворены» в вопросах, связанных с изучением действий над числами. Отказавшисьотиспользованиятермина «име- нованноечисло», мыпочему-товомногомотказалисьиоттогополез- ного, что давало нам изучение именованных чисел.

Начнем с рассмотрения величин, которые выражены числом

икакой-то единицей данной величины (в прежней терминологии речь пойдет о простых именованных числах). Прежде чем говорить об отличиях, сопровождающих действия над величинами в сравне- нии с действиями над числами, сформулируем условие, при выпол- нении которого эти отличия фактически отсутствуют, если речь идет о сложении и вычитании. Формулируется оно очень просто: величи- ны, над которыми производится действие, должны быть выражены в одинаковых единицах соответствующей величины. Это очень про- стое условие обязательно должно быть доведено до понимания со стороны учащихся. При его соблюдении все вычисления (сложение

ивычитание) с величинами могут проводиться с привлечением всех известных учащимся на данный момент способов и приемов выпол- нения соответствующих действий над числами. Знание этого просто- го факта подсказывает нам и дальнейший путь, по которому можно двигаться в процессе изучения сложения и вычитания величин. Если величины, над которыми нужно выполнить сложение (вычитание), представлены в разных единицах величины, то одну из них нужно преобразовать так, чтобы они после этого выражались в одной и той

40