Математический взгляд на актуальные проблемы методики обучения математике в начальной школе. Монография

ГЛАВА 2. ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ: ВЛИЯНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ

начнет формироваться интересующее нас понятие – понятие кон- кретного натурального числа.

Похожим образом обстоит дело при ознакомлении младших школьников с геометрическими понятиями. В силу того, что гео- метрические понятия являются абстрактными, мы не можем непо- средственно показать их детям. Что же тогда мы показываем, когда говорим: «Этоквадрат» или«Это круг»? Ответбудеттаким: «Мыпока- зываем изображение данных геометрических фигур или их модели». Но изображение (модель) геометрической фигуры – это не сама гео- метрическая фигура! Это ее условный образ. Получается, что таким показом мы формируем ошибочные геометрические представления. После того как детям показали модель круга, сделанную из красного картона, и сказали, что это круг, они именно так и будут это воспри- нимать. Большее, что мы можем добиться на этом пути, – это разно- образитьмодели(иззеленогокартона, избелойбумагиит. д.), атакже предъявить различные изображения, в том числе на клетчатой бума- ге. В этом случае можно рассчитывать на то, что в сознании учащих- ся произойдет абстрагирование от конкретных моделей и изображе- ний, а останетсятолько понимание соответствующей геометрической формы, которая не обладаетни цветом, ни запахом, нидругими мате- риальными признаками. А именно это итребуется.

Своеобразным катализатором процесса правильного формирова- ния геометрических понятий у младших школьников могут служить формулировкизаданий, построенныесоответствующимобразом. Так, было бы желательно исключить из употребления (на данном этапе) формулировки типа «Вырежи из бумаги квадрат» или «Раскрась крас- ным карандашом круг», заменив их соответственно формулировка- ми «Вырежи из бумаги модель квадрата» и «Раскрась красным каран- дашом изображение круга». При этом формулировки типа «Начерти квадрат» или «Изобрази круг» являются абсолютно адекватными и их употреблению ничто не препятствует.

В заключение отметим следующее. Когда понятие в достаточной степени сформировано, то вольность математической речи вокруг этого понятия вполне допустима, а иногда просто необходима. Так, например, при формулировке признака делимости на 3 мы привыч- но говорим о сумме цифр данного числа, которая должна делиться на 3. Но, в строгом смысле, суммы цифр быть не может (цифра – это графический знак). Однако если попробовать сформулировать этот признак, строго придерживаясь соответствующей терминологии,

51

А. Л. ЧЕКИН. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВЗГЛЯД НА АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

то формулировка получится такая громоздкая, что пользоваться ей будетнельзя. Поэтомумыииспользуемтакие«вольные» формулиров- ки. Но это оправданно лишь тогда, когда все участники процесса по- нимают, вчемзаключаетсяэта«вольность». Длямладшихшкольников такой подход очень нежелателен. На начальном этапе формирования понятий нужно очень бережно и точно относиться к использованию терминологии и построению соответствующих формулировок. В про- тивном случае ошибок в этом вопросе не избежать.

2.10. Понимание как основа образовательной стратегии обучения математике в начальной школе

Внастоящем параграфе мы обосновываем позицию, согласно кото- рой стратегия обучения математике в начальной школе должна быть ориентирована не столько на знание различных формулировок (фор- мулировок определений, правил, алгоритмов и т. д.), сколько на пони- маниеобщихпринциповизакономерностей,лежащихвосновеизучае- мого материала. Еще не так давно вся дидактическая и методическая работа нашей школы строилась в соответствии с известной триадой ЗУН («знания– умения– навыки»). Реформы последнихлетв сфере об- разованияпривеликтому, чтоизэтойтриадымысначалапрактически потеряли последнюю составляющую – навыки, сосредоточив основное внимание на знаниях и умениях. Введение в действие Федерального государственного образовательного стандарта начального общего об- разования затронуло вторую составляющую триады (умения), выдви- нув на первый план универсальные учебные действия (УУД). И только первуюсоставляющуютриады(знания) процессреформированияпока никак не затронул. На наш взгляд, пришло время пересмотреть отно- шение и к этой составляющей процесса обучения.

Вдавнем споре о том, чему следует учить в первую очередь: зна- нию или пониманию, мы стоим на стороне тех, кто во главу угла ста- витпонимание. Нанашвзгляд, приизучениимногихматематических вопросов (и не только математических) опора на знание без соответ- ствующегопониманияведеткизлишнеформальномуосвоениюмате- риала. Приэтоммынепротивопоставляемпониманиезнанию, алишь расставляем приоритеты: там, где это возможно, мы не хотим оста- навливаться на достижении знания, а предлагаем выйти на уровень понимания, который для процесса обучения является более важным. Возможны случаи, когда вопрос о понимании ставить бессмысленно,

52

ГЛАВА 2. ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ: ВЛИЯНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ

а можно говорить лишь о знании. Возможны и другие случаи, в кото- рых некоторые знания вообще можно не формулировать, а строить всю работу на понимании. Примеры таких ситуаций будут приведе- ны ниже. Конечно, такая позиция более обоснованна, если мы гово- рим о среднем и даже высшем образовании (применительно к выс- шему образованию эту позицию убедительно обосновывал профессор С. П. Капица в своих публичных выступлениях), но и начальная школа не должна от этого оставаться в стороне.

При создании учебников математики в рамках проекта «Перспективная начальная школа» мы руководствовались следующей формулой: «Черезрассмотрениечастногокпониманиюобщегодляре- шениячастного» [47]. Этаформулавыражаетосновнуюдидактическую идею нашего курса, в которой есть четкое указание на то, что опреде- ляющим для нас является не знание, а понимание неких общих зако- номерностей и фактов.

Проиллюстрируем нашу точку зрения на примере. Рассмотрим ал- горитм сложения столбиком. При изучении этого вопроса совершен- ноне следуетдобиваться отучащихся знания формулировки этогоал- горитма. Вполне достаточно того, чтобы ученик понимал то, как этот алгоритм устроен и умел пользоваться этим алгоритмом. На страни- цах учебника мы не жалеем места на то, чтобы объяснить учащим- ся устройство алгоритма: поразрядный способ сложения, возмож- ность перехода через разряд, преимущества записи в столбик и т. д. И на уроках на это не нужно жалеть времени. Когда же речь заходит о формулировке алгоритма, то мы предполагаем лишь знакомство с ней без обязательного ее запоминания и воспроизведения учащи- мися. Совершенно аналогичная ситуация имеет место и для других трех алгоритмов письменных вычислений.

В качестве второго подтверждающего примера рассмотрим во- прос обучения младших школьников решению текстовых задач. При работе с конкретной задачей нельзя ограничиваться лишь зна- нием того, как эта задача решается. Очень важно и даже обязатель- но выйти на уровень понимания того, что точно такое же или ана- логичное (в смысле выбора действий) решение будет справедливо для целого класса задач, которые могут отличаться от данной либо сюжетом, либо числовыми данными, либо тем и другим вместе. Обеспечить такой подход в обучении решению задач нам помогает предложенная нами алгоритмическая трактовка понятия «решение задачи», котораяформулируетсяследующимобразом: подрешением

53

А. Л. ЧЕКИН. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВЗГЛЯД НА АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

задачи понимается алгоритм, выполнив который мы получаем ответ на требование задачи. Такая точка зрения позволяет нам не только четко развести (в плане обучения и в плане оценивания) два важ- нейших математических умения – умение решать задачи и умение вычислять, но и придать найденному решению каждой конкретной задачи свойство «массовости», что характерно именно для понятия алгоритма. Например, учащиеся (в идеале), рассматривая задачу о числе яблок вдвух корзинах, должны понимать, что решениетакой задачи формулируется так: к числу яблок в первой корзине нужно прибавить число яблок во второй корзине.

Есть несколько очень важных арифметических вопросов, для ко- торых формально требуется лишь их знание (умножение на 0, умно- жение на 1, невозможность деления на 0), так как речь идет о соот- ветствующих определениях. Но мы считаем обязательным выйти науровеньпониманияивэтихслучаях. Очевидно, чтоприрассмотре- нии определений мы не можем говорить о доказательстве, но мы мо- жем и обязаны говорить о разумности принимаемых определений. И ответы на эти очень непростые вопросы ученики и учителя должны найти на страницах учебников, как бы ни старались некоторые авто- ры уйти оттакого обсуждения.

Еще одним убедительным примером, подтверждающим разум- ность нашей позиции, служит вопрос о нумерации чисел (письмен- ной и устной). Начнем с письменной нумерации. То, как пишутся цифры и что они обозначают, нужно учащимся лишь знать, а во- прос о понимании, почему они так пишутся и почему они это обо- значают, не имеет смысла. Но если мы ведем речь о десятичном позиционном принципе записи чисел, то его учащиеся в итоге должны понимать на том уровне, чтобы уметь записать по данно- му числу следующее число и предыдущее число (о знании соответ- ствующих формулировок речь даже не идет), а также уметь пере- ходить от краткой записи к подробной и наоборот. Вопрос устной нумерации представляется более сложным: при его изучении тре- буется сочетание знания и понимания. Так, существует целый ряд чисел, названия которых следует знать (просто запомнить), не пы- таясь искать в этих названиях смысловую основу для их понимания и запоминания. К таким числам относятся все однозначные числа,

а также числа 10, 40, 90, 100, 1000, 1 000 000, 1 000 000 000. Есть чис-

ла, названия которых, в первую очередь, нужно знать, но при этом, в каждом таком названии можно и нужно искать смысловую осно-

54

ГЛАВА 2. ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ: ВЛИЯНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ

ву для понимания. Это числа второго десятка, а также числа 20, 30, 50, 60, 70, 80, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900. Устная нумерация остальных чисел подчиняется некоторым общим правилам (трех- разрядный принцип устной нумерации), понимание которых по- зволяет назвать любое записанное число, если известны названия соответствующих классов. Что касается названия классов (в реаль- ных пределах использования), то их можно отнести к первой кате- гории терминов, если не выходить за границу русского языка. Если же иметь возможность перевода с греческого языка, то смысл не- которых названий нам становится понятен, и мы имеем возмож- ность самостоятельно сконструировать название следующего клас- са (миллион, биллион, триллион, квадриллион и т. д.).

Еще один интересный пример связан с использованием названий и обозначений единиц различных величин. Приоритетность понима- ния над знанием заставляет нас не только знакомить учащихся с та- кими терминами, как сантиметр, миллиметр, километр, килограмм, ноиработатьсэтимитерминаминауровнепониманиясоставляющих их частей. Следование этому принципу («приоритетности понимания над знанием») подсказало нам и решение вопроса об использовании таких обозначений, как «кв. м» (квадратный метр), «куб. см» (кубиче- ский сантиметр) и т. п. Обозначения м2 , см3 для учащихся остаются за гранью понимания, поэтому они их плохо запоминают, не всегда правильно записывают, чего не скажешь об используемом нами ва- рианте обозначений. Поэтому основная работа ведется с обозначени- ями типа «кв. см», а с обозначениями типа «см2» учащихся мы только знакомим.

В процессе обучения знания обычно передают. Это означает, что знания можно получать в готовом виде. Поэтому, как правило, припередачезнанийотучащихсятребуется, преждевсего, ихзапоми- нание, а критерием успешного приобретения знаний служит их пра- вильное воспроизведение. Понимание жетребует обязательной логи- ческой и творческой работы ума. Критерием достижения понимания закономерностей является успешное их применение к решению част- ных вопросов, с которыми учащимся еще не приходилосьсталкивать- ся. А это во всех отношениях более важно и перспективно. Понятно, что и процесс получения знаний можно сделать творческим, а не ме- ханическим, но выход на уровень понимания предоставляет учителю гораздобольшевозможностейвпланеразвитиякреативностиивари- ативности мышления учащихся.

55

Заключение

Мы рассмотрели только некоторые вопросы методики обучения математике в начальной школе, но все эти вопросы, без сомнения, от- носятсяккатегорииактуальных. Болеетого, опираясьнаинформацию, котораяпоступаетотучителейначальныхклассов, можноутверждать, что эти вопросы входят в перечень топ-актуальных. При этом среди рассмотренных вопросов есть вопросы как концептуального харак- тера (приоритетность понимания над знанием изучаемого матери- ала, использование принципа аналогии в обучении, моделирование как средство обучения математике младших школьников, особенно- сти использования остенсивных определений в процессе формирова- ния математических понятий, алгоритмический подход к трактовке понятия «решение текстовой задачи»), так и прикладного характера (изучение величин «стоимость» и «цена», «длина пути» и «скорость», формирование понятий «число» и «цифра», формирование вычисли- тельных умений).

Подводя итог вышесказанному, мы еще раз хотим подчеркнуть, что наш взгляд на методические проблемы можно охарактеризовать как «математический». Это означает, что ответы на методические во- просы мы пытаемся найти и находим в соответствующих матема- тических теориях. Для этого лишь нужно хорошо ориентироваться в этих теориях, причем не в формальном их изложении, а в их сути. Именно такой подход мы и считаем самым эффективным. Например, знание того, как устроена величина «цена» с математической точки зрения, подсказало нам обратить особое внимание на единицы этой величины, которые должны быть устроены так же, как и единицы ве- личины «скорость» или единицы величины «производительность». Поэтому и появились в наших учебниках единицы цены «руб./кг» (рубли за килограмм), «руб./л» (рубли за литр), «коп./мин» (копейки за минуту) и т. п. При этом величину «производительность» с полным правом можно назвать «скорость выполнения работы». Если рассмат- ривается «повременная» цена (как в последнем примере), то ее так же можно трактовать как скорость, например, как «скорость расходо- вания (пополнения) денежных средств». А такое понимание, в свою очередь, подсказывает нам, что обучать младших школьников реше- нию задач надвижение, на работу, на процесс купли-продажи целесо- образно с опорой на имеющуюся аналогию. Вот так математический взгляд на проблему помогает найти ее методическое решение!

56

Литература

1.Федеральный государственный образовательный стандарт на- чального общего образования (ФГОС НОО). URL: https://мин- обрнауки.рф/документы/922/файл/748/ФГОС_НОО.pdf (датаоб-

ращения: 07.08.2018).

2.АлександроваЭ. И. Программа«Математика» (системаД. Б. Элько- нина– В. В. Давыдова) // Начальнаяшкола.– 2001.– №8.– С. 14–17.

3.Алан Р., Вилльямс М. Математика на 5: Пособие для начальной школы. (Пер. с англ.). – М.: АСТ-ПРЕСС, 1998.

4.АносовВ. Д. Проблемымодернизациишкольногокурсаматема- тики // Математика в школе. – 2000. – № 1. – С. 2–6.

5.Артемов А. К. Развивающее обучение математике в начальных классах: Учеб. пособиедляучителейистудентовфакультетапе- дагогики и методики начального обучения. – Самара: Изд-во Самарского ГПУ, 1995.

6.Артемов А. К. Теоретические основы методики обучения мате- матике в начальных классах / Под ред. Н. Б. Истоминой. – М.; Воронеж: Институт практической психологии, 1996.

7.Бабанский Ю. К. Методы обучения в современной общеобразо- вательной школе. – М.: Просвещение, 1985.

8.Белошистая А. В. Методика обучения математике в начальной школе. – М.: Владос, 2016.

9.Белошистая А. В. Почему школьникамтактрудно дается геоме- трия? // Математика в школе. – 1999. – № 6. – С. 14–19.

10.БеспалькоВ. П. Слагаемыепедагогическойтехнологии. – М.: Пе- дагогика, 1989.

11.Беспалько В. П., Татур Ю. Г. Системно-методическое обеспече- ние учебно-воспитательного процесса подготовки специали- стов: Учебно-методическое пособие. – М.: Высшая школа, 1989.

12.Борисова Е. В., Олейникова М. А. Интеграция как дидактиче-

ский принцип современного учебно-методического комплек- та для начальной школы // Начальная школа: проблемы и пер- спективы: Материалы Всероссийской научно-практической конференции. Йошкар-Ола: МГПИ им. Н. К. Крупской / Под ред. А. В. Коноваловой. – Йошкар-Ола, 2006. – С. 23–26.

57

А. Л. ЧЕКИН. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВЗГЛЯД НА АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

13.Борисова Е. В., Чекин А. Л. Использование учебно-методическо- го комплекта по математике «Перспективная начальная шко- ла» в процессе профессиональной подготовки современного учителя начальных классов // Подготовка учителя начальных классовктворческойпедагогическойдеятельностивсовремен- ных условиях: Сб. статей / Под ред. А. Е. Дмитриева. – М.: Про-

метей, 2008. – С. 7–20.

14.Вапняр Н. Ф., Чекин А. Л. Числоицифра(квопросуотерминоло-

гии) // Начальная школа. – 1991. – № 8. – С. 77–80.

15.Вейль Г. Математическое мышление. – М.: Мир, 1998.

16.Волович М. Б. Не мучить, а учить // О пользе педагогической психологии. – М.: Изд-во Российского открытого ун-та, 1992.

17.Гальперин П. Я. К теории программированного обучения. – М.: Знание, 1967.

18.Гнеденко Б. В. Математика и математическое образование в со- временном мире. – М.: Просвещение, 1985.

19.Грабарь М. И., Краснянская К. А. Применение математической статистики в педагогических исследованиях. Непараметриче- ские методы. – М.: Педагогика, 1977.

20.Груденов Я. И. Совершенствование методики работы учителя математики: Кн. для учителя. – М.: Просвещение, 1990.

21.Давыдов В. В. Виды обобщения в обучении (логико-психологи- ческие проблемы построения учебных предметов). – М.: Педа- гогика, 1972.

22.Двухступенчатая подготовка учителя начальных классов: Вза- имосвязанные программыдля педагогического колледжа и фа- культета подготовки учителей начальных классов в вузе / Сост. Н. Б. Истомина. – М.: Линка-Пресс, 1995.

23.ДобротворскийА. С., КовригинаЛ. П., ОрдынкинаИ. С., ЧекинА. Л.

Справочник учителя начальной школы. Математика. – М.: Дро-

фа, 2007.

24.Загвязинский В. И. Методология и методика дидактического ис- следования. – М., 1982.

25.Зайцев В. В. Математика для младших школьников. – М.: Вла-

дос, 2001.

26.Занков Л. В. Избранные педагогические труды. – М.: Педагоги-

ка, 1990.

58

ЛИТЕРАТУРА

27.Истомина Н. Б. Методика обучения математике в началь- ной школе: развивающее обучение. – Смоленск: Ассоциация

XXI век, 2005.

28.Истомина Н. Б. Программа «Математика» // Начальная школа. – 2001. – № 8. – С. 11–12.

29.КондаковН. И. Логическийсловарь-справочник.– М.: Наука, 1975.

30.Краснянская К. А., Кузнецова Л. В. Оценка математической под-

готовки школьников по результатам международного тестиро- вания: Кн. для учителя. – М.: Просвещение, 1995.

31.Крутецкий В. А. Психология математических способностей школьников. – М.: Просвещение, 1968.

32.Кудрявцев Л. Д. Мысли о современной математике и ее изуче-

нии. – М.: Наука, 1977.

33.Лаврова Н. Н., Стойлова Л. П. Задачник-практикум по матема- тике. – М.: МГЗПИ, 1985.

34.Ланда Л. Н. Умение думать. Как ему учить? – М.: Знание, 1975.

35.Левитас Г. П. Нестандартные задачи на уроках математики в первом классе. – М.: Илекса, 2002.

36.Леонтьев А. Н. Проблемы развития психики. – 4-е изд. – М.: Изд-во МГУ, 1981.

37.ЛернерИ. Я. Дидактическиеосновыметодовобучения. – М.: Пе- дагогика, 1981.

38.Львов М. Р., Горецкий В. Г., Сосновская О. В. Методика преподава-

ния русского языка в начальных классах: Учеб. пособиедля сту- дентов высших педагогических учебных заведений. – М.: Ака-

демия, 2007.

39.Мадер В. В. Введение в методологию математики (Гносеологиче- ские, методологические и мировоззренческие аспекты матема- тики. Математика итеория познания). – М.: Интерпракс, 1995.

40.МанвеловС. Г. Конструированиесовременногоурокаматемати- ки. – М.: Просвещение, 2005.

41.Математика: Хрестоматия по истории, методологии, дидакти- ке / Сост. Г. Д. Глейзер. – М.: Изд-во УРАО, 2001.

42.Мерзон А. Е., Добротворский А. С., Чекин А. Л. Пособие по ма-

тематике для студентов факультетов начальных классов. – М.; Воронеж: Институт практической психологии, 1998.

59

А. Л. ЧЕКИН. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВЗГЛЯД НА АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

43.Основные результаты международного исследования каче- ства математического и естественно-научного образования TIMSS-2011: Аналитический отчет / М. Ю. Демидова и др.; Под науч. ред. Г. С. Ковалевой. – М.: МАКС Пресс, 2013.

44.Паболкова Н. Н. Интегративно-концентрический подход в изу- чении теории величин учителями начальных классов: Моно-

графия. – М., 2007.

45.Планируемые результаты начального общего образования / Л. Л. Алексеева идр.; Под ред. Г. С. Ковалевой, О. Б. Логиновой. – М.: Просвещение, 2010.

46.Примерные программы по учебным предметам. Начальная школа: В 2 ч. – Ч. 1. – М.: Просвещение, 2010.

47.Программы по учебным предметам. Базисный план внеуроч- ной деятельности. 1–4 класс: В 2 ч. Ч. 1: Русский язык, литера- турное чтение, математика, окружающий мир. – М.: Академ- книга; Учебник, 2011.

48.Программыпоучебнымпредметам. Примерныйучебныйплан: 1–4 кл.: В 3 ч. / Сост. Р. Г. Чуракова. – 2-е изд., испр. – Ч. 1. – М.: Академкнига; Учебник, 2013.

49.Развернутое тематическое планирование. 1 класс: УМК «Пер- спективная начальная школа» / Авт.-сост. Н. В. Лободина. – Вол- гоград: Учитель, 2010.

50.Развернутое тематическое планирование. 2 класс: УМК «Пер- спективная начальная школа» / Авт.-сост. Н. В. Лободина. – Вол- гоград: Учитель, 2010.

51.Развернутое тематическое планирование. 3 класс: УМК «Пер- спективная начальная школа» / Авт.-сост. Н. В. Лободина. – Вол- гоград: Учитель, 2010.

52.Развернутое тематическое планирование. 4 класс: УМК «Пер- спективная начальная школа» / Авт.-сост. Н. В. Лободина. – Вол- гоград: Учитель, 2010.

53.Талызина Н. Ф. Формирование познавательной деятельности младшихшкольников: Кн. дляучителя. – М.: Просвещение, 1988.

54.Управляемое формирование психических процессов / Под ред. П. Я. Гальперина. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1977.

55.Фридман Л. М. Психолого-педагогические основы обучения ма- тематике. – М.: Просвещение, 1983.

60