Математический взгляд на актуальные проблемы методики обучения математике в начальной школе. Монография

ГЛАВА 2. ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ: ВЛИЯНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ

же единице. После этого мы приходим к ситуации, которую уже об- судили выше. Например, 5 кг + 50 г = 5000 г + 50 г = 5050 г. Этот спо- собявляетсяуниверсальным, нодалеконевсегдасамымудобным(его нерациональностьв отдельных случаях будетхорошо видна, когда мы перейдемкрассмотрениювеличин, выраженныхспомощьюнесколь- ких чисел и нескольких единиц данной величины). Чтобы его успеш- но применять, учащиеся должны хорошо овладеть умением преоб- разования величин от одних единиц к другим. Но эта цель является не только вспомогательной, но и одной из основных при изучении величин. Поэтому данным вопросом обязательно нужно занимать- ся. А значит, рассмотренный выше способ сложения и вычитания ве- личин обязательно заработает. При этом следует обратить внимание на то, что результат выполнения соответствующего действия не тре- бует обязательного преобразования к другому виду, если в формули- ровке задания об этом ничего не сказано.

Перейдем теперь к рассмотрению величин, которые выражены с помощью нескольких единиц соответствующей величины (в преж- ней терминологии речь пойдет о составных именованных числах). Для удобства изложения материала мы в дальнейшем будем иногда использовать прежнюю терминологию, что должно облегчить пони- мание основных положений нашей позиции.

Итак, как должен действовать учащийся, если перед ним стоит за- дача сложения (вычитания) составных именованных чисел? Один путь решения практически очевиден: преобразуем составные именован- ные числа к простым, причем выраженным в одной и той же единице, а дальше применяем хорошо знакомый прием. Например, 3 м 15 см – –7 дм 2 см = 315 см– 72 см = 243 см. Это универсальный способ. Онлег- коможетбытьпрописанввидеалгоритма. Еслиучащиесяимовладели, то задачу сложения (вычитания) величин они всегда решитьсмогут.

Теперь, когда мы построили прочный фундамент, обеспечиваю- щий решение задачи сложения (вычитания) величин, можно заняться «изящным строительством» рациональных приемов этих действий. Рассмотрим, например, такой случай: нужно сложить 2 ч 15 мин и 5 мин 10 с. Применять здесь универсальный способ не имеет смыс- ла: мы потратим много времени и сил. В этом случае рационально пойти по пути сложения по отдельным единицам (аналог поразряд- ного сложения), что может быть обосновано следующим образом:

2 ч15 мин+ 5 мин10 с= (2 ч+ 15 мин) + (5 мин+ 10 с) = 2 ч+ (15 мин+ + 5 мин) + 10 с = 2 ч 20 мин 10 с.

41

А. Л. ЧЕКИН. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВЗГЛЯД НА АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

При этом, в отличие от поразрядного сложения чисел, сложение ве- личин по отдельным единицам может быть выполнено изолированно (совсем не требуется обязательно осуществлять переход между едини- цамивтомслучае, когдаонвозможен, т. е., например, запись2 ч70 мин считается допустимой, и совсем не обязательно писать 3 ч 10 мин). Сложнее обстоитдело с вычитанием. Для этой операции прием изоля- ции единиц не подходит. Конечно, когда не нужно производить заим- ствование(вуменьшаемом),томыможемдействоватьврамкахкаждой отдельной единицы. Например, 5 т 2 ц 55 кг 200 г– 2 т 1 ц 20 кг 115 г = = (5 т– 2 т) + (2 ц– 1 ц) + (55 кг– 20 кг) + (200 г– 115 г) = 3 т1 ц 35 кг85 г.

Если же без заимствования не обойтись, то сначала нужно его про- извести, начиная с наименьшей единицы, а уже потом выполнять вы- читание. Например, 8 м 3 дм 5 см – 2 м 4 дм 8 см = 8 м 2 дм 15 см –

–2 м 4 дм 8 см = 7 м 12 дм 15 см – 2 м 4 дм 8 см = (7 м – 2 м) + (12 дм –

– 4 дм) + (15 см – 8 см) = 5 м 8 дм 7 см. При этом особое внимание следует уделить величине «время», так как соотношение между ее единицами не носит десятичного характера и принципиально от- личается от соотношения между единицами других величин, изу- чаемых в начальной школе. Покажем это на следующем примере: 3 ч 15 мин 30 с – 1 ч 25 мин 40 с = 3 ч 14 мин 90 с – 1 ч 25 мин 40 с = = 2 ч74 мин90 с– 1 ч25 мин40 с= (2 ч– 1 ч) + (74 мин– 25 мин) + (90 с–

–40 с) = 1 ч49 мин50 с. Трудностимогутвозникнутьиприработеспло- щадью и вместимостью (объемом). Но в этих случаях хотя бы имеется десятичная основа соотношения между единицами.

Когда действие уже выполнено (результат получен), можно поуп- ражняться в приведении составного именованного числа к стандарт- ному («каноническому») виду. Это означает, что нужно перейти к та- кой записи величины, когда в ней сначала представлена максимально возможная единица данной величины максимально возможным чис- лом, адалеедля оставшейся части этой величины применяется это же правило. Процесспродолжаетсядотехпор, покаоставшаясячастьеще положительна. Например, 380 кг 1500 г = 3 ц 81 кг 500 г.

Как мы уже говорили выше, сложение и вычитание являютсятаки- миоперациями, которыена множествечисел ина множествевеличин имеют очень много общего, чего нельзя сказать об операциях умно- жения и деления.

Завершая разговор о сложении и вычитании величин, обратим внимание еще на одно принципиальное отличие вычитания величин отвычитаниячисел. Так, изчисла5 можновычестьчисло6. Получится,

42

ГЛАВА 2. ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ: ВЛИЯНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ

правда, отрицательное число-1, которое не знакомо младшим школь- никам. Но я не могу исключитьварианта, когда в обозримом будущем отрицательныечисла«проникнут» вначальнуюшколу. Еслижемыза- хотим из 5 м вычесть 6 м, то этого в принципе сделать нельзя! Более того, намножествевеличин(положительныхскалярных) мынеможем из 5 м вычесть 5 м. Нельзя написать, что 5 м – 5 м = 0 м. А для чи- сел аналогичная запись знакома и понятна младшим школьникам (5 – 5 = 0). Воттак непросто обстоит дело даже с вычитанием. Если же рассматривать умножение и деление, то возникает ситуация еще бо- лее сложная и запутанная.

Начнем с операции умножения. Наиболее простой случай умноже- ния – это умножение величины а на натуральное число n. Если нату- ральное число n > 1, то такое умножение представляет собой сложение одинаковых слагаемых, где в роли слагаемого выступает величина а. При этом натуральное число n показывает, сколько раз в сумме повто- ряется это слагаемое. Как мы видим, этот случай совершенно аналоги- ченсоответствующемуслучаюумножениячиселкакпоиспользуемому определению, так и по способу вычисления. Если же нам нужно нату- ральноечислоn умножитьнавеличинуа, товэтомслучаемывсеравно имеем дело со сложением одинаковых слагаемых, где в роли слагаемо- го, как и раньше, выступаетвеличина а, а число слагаемых задаетнату- ральное число n. Другими словами, не зависимо оттого на каком месте в произведении стоит величина а, она всегда играет роль слагаемого, а натуральное число n показывает, сколько таких слагаемых в сумме. Этотфактпринципиальноотличаетумножениевеличинынанатураль- ное число отумножения натуральных чисел.

Примечание. Указанное только что отличие случая умножения ве- личины на натуральное число от случая умножения натуральных чи- сел влияет на построение правильной записи умножения при реше- нии текстовых задач. Так, если в задаче, например, требуется узнать, сколько килограммов картофеля находится в 3 мешках, если в каж- доммешке– 40 кг, торешениетакойзадачиможетбытьзаписанодву- мя способами: а) 40 кг • 3 и б) 3 • 40 кг. Оба эти способа будут пра- вильными, так как каждый из них означает, что мы находим сумму 40 кг + 40 кг + 40 кг, а это и есть арифметическая модель данной про- стой текстовой задачи. Если же в задаче требуется найти число тетра- дейв3 пачкахприусловии, чтовкаждойпачкепо40 тетрадей, топра- вильным следует признать только то решение, которое имеет вид 40 • 3. Именноэтотслучайозначает, чтомынаходимсумму40 + 40 + 40,

43

А. Л. ЧЕКИН. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВЗГЛЯД НА АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

котораяиявляетсяарифметическоймодельюрешаемойтекстовойза- дачи. О произведении 3 • 40 такого уже не скажешь.

Теперь рассмотрим случай умножения однородных величин. В на- чальнойшколерассматриваетсяединственныйтакойслучай, который связансвычислениемплощади. Хорошоизвестно, чтоформулавычис- ления площади прямоугольника имеетвид: S = a • b, где a и b – длины смежных сторон прямоугольника. Таким образом, согласно формуле, нам нужно длину умножить на длину. В результате получается другая величина (она называется площадью и измеряется в квадратных сан- тиметрах, если стороны измерены в сантиметрах).

Случай умножения разнородных величин гораздо более часто встречается в начальном курсе математики. Учащимся приходится умножать скорость на время, производительность на время, цену то- вара на количество товара и т. д. Все эти случаи аналогичны. Для пра- вильного выполнения умножения сначала нужно сделать так, чтобы единицы первого и второго множителей были согласованы (напри- мер, км/ч и ч или руб./кг и кг). После этого достаточно перемножить имеющиеся числа и записать соответствующее наименование (в на- шем примере км или руб.).

Перейдем теперь к рассмотрению операции деления. Сначала рас- смотрим деление величины на натуральное число (со случаем деле- ния натурального числа на величину учащиеся начальной школы дела не имеют). Эта операция является обратной по отношению к операции умножения величины на натуральное число. Именно этотфакти опре- деляетто, какнужновыполнятьданнуюоперацию. Посути, такоеделе- ние означает разбиение величины на соответствующее число равных частейэтойвеличины. Поэтомусвычислительнойсторонымынестал- киваемсянискакойновойзадачейпосравнениюсзадачейделенияна- турального числа на натуральное число. В итоговом результате нужно только не забытьнаписатьнаименование исходной величины.

Теперь рассмотрим деление однородных величин. Такое деление означает не что иное, как измерение величины, представляющей де- лимое в единицах величины, представляющей делитель. Результатом такого деления будет число (в начальной школе это натуральное чис- ло), которое показывает, сколько раз делитель содержится в делимом. Чтобы свести этот случай деления технически к делению чисел, нуж- но, чтобы обе величины были представлены в одних и тех же едини- цах. Если этого нет, то предварительно нужно совершить необходи- мый перевод из одной единицы данной величины в другую.

44

ГЛАВА 2. ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ: ВЛИЯНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ

Примечание. В методике начального обучения математике та- кой случай деления носит название «деление по содержанию». Особенность этого случая деления при решении задач заключается в том, что наименование частного, которое показывает, сколько раз делитель содержится в делимом, никак не связано с наименованием делимого и делителя и выражается такими «мерками», как ящик, ко- робка, связка, пучок, упаковка ит. д.

Наконец, нам остается рассмотреть случай деления разнородных ве- личин, и все случаи арифметическихдействий над величинами, изучае- мымивначальнойшколе, будутпредставлены. Итак, разнородныевели- чины можноделить одну надругую. При этом практически нетникаких ограниченийнацелесообразностьтакогоделения.Всемхорошоизвестно, что еслидлину разделитьна время, то получится скорость. Если количе- ствовыполненнойработы(этавеличинаможетбытьмассой, можетбыть длиной, может быть площадью и т. д.) разделить на время, то получится производительность. Еслистоимостьтовараразделитьнаегоколичество (количествоможетбытьмассой, можетбытьдлиной, можетбытьплоща- дью, может быть объемом и т. д.), то получится цена. Из курса физики нам хорошо известно, что если массу разделить на объем, то получится плотность. Саму плотностьв начальной школе не изучают, но аналогич- ные величины встречаются. Так, например, «урожайность» или «расход материала» устроеныаналогичноплотности. Приэтомнужнонаучиться переводить такие величины из одних единиц в другие. Например, км/ч переводитьвм/силируб./ч– вкоп./мин.

2.8. Моделирование как средство обучения математике младших школьников

Метод моделирования является достаточно универсальным и на- ходит широкое применение как в науке, так и в образовании. Трудно себе представить современное исследование в любой сфере без по- строениятех или иных моделей, особенно математических. А исполь- зование компьютера для этих целей считается признаком не только хорошего тона, но и грамотного использования имеющихся возмож- ностей, которые предоставляют современные информационно-ком- муникационные технологии. В настоящей статье предлагается рас- смотреть вопросы, которые относятся к проблеме использования разнообразных моделей, прежде всего графических, в процессе обу- чения математике младших школьников.

45

А. Л. ЧЕКИН. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВЗГЛЯД НА АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

Мы будем исходить из следующего определения понятия мо- дели. Модель – это условный образ объекта, предмета или явления. При характеристике модели очень важно указать, какую предметную областьмы моделируем, атакже назватьсредства построения модели. Например, термин «экономико-математическая модель» означает, что мы моделируем экономические объекты или явления математи- ческими средствами, а «физико-арифметическая модель» – это моде- лирование физических явлений (например, движения) арифметиче- скими (числовыми) средствами.

В процессе обучения математике моделирование применя- ется достаточно давно и очень широко. При этом моделируют- ся как арифметические объекты и закономерности, так и гео- метрические, а основными средствами моделирования являются графические средства (цифры, схемы, чертежи, рисунки, диаграм- мы, графики и т. д.). Таким образом, интересующие нас модели можно отнести, прежде всего, к математико-графическим. И даже когда модель предлагается строить из реальных предметов окру- жающей действительности, то, чаще всего, учащимся приходится иметь дело с их изображениями, т. е. с графическим моделиро- ванием. Для начальной школы в силу определенной специфики мышления обучающихся моделирование является даже более важ- ным дидактическим инструментом, чем для учащихся более стар- шего возраста.

Учитывая, что многие вопросы построения и применения графи- ческих моделей в процессе обучения младших школьников матема- тике достаточно хорошо изучены и освещены в литературе, мы по- зволим себе лишь о них упомянуть. А вот на тех вопросах, которые до настоящего времени практически не обсуждались, мы остановим- ся подробнее.

Так, хорошо известно, что без использования предметных (фи- зических) и графических моделей натурального числа как количе- ственной характеристики конечного множества элементов невоз- можно обойтись на первых этапах формирования этого важнейшего математического понятия. Нет необходимости доказывать огром- ную пользу и даже незаменимость предметных и графических моде- лейдлядостижения понимания учащимися смысла арифметических действий над целыми неотрицательными числами. Эти же модели помогают на первых порах усвоить соответствующие вычислитель- ные приемы.

46

ГЛАВА 2. ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ: ВЛИЯНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ

Еслимыкоснемсяпроблемыобучениямладшихшкольниковреше- ниютекстовыхарифметическихзадач, тоиздесьтрудносебепредста- вить, что можно обойтись без использования моделирования, преж- де всего графического. Как эффективно использовать моделирование

вэтих вопросах – это отдельный и обстоятельный разговор, который

врамках настоящей статьи не предусмотрен, но которому посвяще- но достаточно большое количество исследований многих авторов. Упомянем, например, работу А. В. Белошистой [8].

Теперьпоговоримобизучениигеометрическихпонятий,т. е. обизу- чении того раздела математики, который связан с моделированием даже глубже и тоньше, чем это обычно себе представляют не только учителя начальной школы, но и некоторые авторы учебников.

Прежде всего, поговорим о базовых геометрических понятиях. Таковыми являются «точка», «прямая», «плоскость». С рассмотрения этих понятий начинается изучение геометрического материала в на- чальном курсе математики, так как введение других геометрических понятийпроисходитсопоройнаэтиисходныепонятия. Таковалогика построения геометрии со времен Евклида. При этом нужно помнить, что эти базовые понятия являются неопределяемыми (явное опре- деление для каждого из них в современной науке отсутствует, хотя Евклидтакие определения формулировал). Это первая серьезная пре- града, которую нужно преодолеть, чтобы начать процесс правильного формирования этих понятий у младших школьников. Другая, не ме- нее трудная, преграда состоит в том, что в окружающей нас действи- тельности нет ни точек, ни прямых, ни плоскостей в строгом матема- тическомсмысле. Впрочем, этапреградаявляетсяуниверсальной: она касается всех геометрических понятий. Поэтому к ней мы еще будем обращаться.

Как же объяснить детям суть указанных исходных понятий? Ответ на этот вопрос может быть только один: через рассмотрение со- ответствующей модели. Так, мелкие манные крупинки можно ис- пользовать в качестве модели точек, туго натянутую нить – модели прямой, спокойную гладь озера– модели плоскости. Обратим внима- ние на то, что сейчас мы говорим о физических моделях. При этом идею бесконечности для двух последних объектов мы моделируем умозрительно с помощью бесконечно продолжающихся процессов. Аналогичнообстоитделоиспонятиемлуча. Адлямоделированияпо- нятия отрезка лучше всего подходят туго натянутая нить или линия

сотмеченными концами, проведенная по линейке [70].

47

А. Л. ЧЕКИН. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВЗГЛЯД НА АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

Когда же мы переходим к рассмотрению плоских геометрических фигур, то у нас появляется возможность вырезать (или сделать) их модели из бумаги, картона, пластика и т. п. С этими моделями мож- но совершать различные манипуляции, что является очень положи- тельным фактом в плане обучения младших школьников. Поэтому данные модели имеют очень широкое применение. Но работая с такими моделями, нужно помнить одну простую, но очень важ- ную мысль: модель и оригинал – это не одно и то же. Каждая мо- дель в чем-то лучше, а в чем-то хуже, чем другая модель, изобража- ет оригинал. Например, из чего лучше сделать модель треугольника: из тонкого листа бумаги или из толстого листа картона. Тонкий лист бумаги хорошо передаетмысльоб отсутствиитолщины у плоской ге- ометрической фигуры, но практически не позволяет передать мысль о ее «плоскостной» сущности, так как очень подвержен различным пространственным деформациям (изгибанию, скручиванию и т. д.). Толстый картон– наоборот, хорошо моделирует «плоскостную» сущ- ность, но создает ложное представление о наличии толщины у пло- ских фигур. Как бы то ни было, но вырезать из бумаги или друго- го материала можно модель геометрической фигуры, но не ее саму! Поэтому формулировки заданий типа «Вырежи квадрат» лучше не предлагать. Вместо такой формулировки следует использовать другую: «Вырежи модель квадрата».

Еще интереснее обстоит дело с цветом. Хорошо известно, что гео- метрические фигуры не обладают таким свойством, как иметь цвет: они все «бесцветны». Как же тогда относиться к заданиям, в которых, например, предлагается раскрасить треугольник. Понятно, что бук- вально его выполнить нельзя. Но ведь модели обладают цветом, по- этому их можно раскрашивать. Вот это и нужно предлагать детям. Таким образом, раскрашивать можно модели геометрических фигур,

втом числе и графические.

Аможно ли начертитьтреугольник или какую-нибудь другую пло- скую фигуру? Да, можно! Начертить – это значит изобразить, а изо- бражение– этографическаямодель. Изображение(какмодель) можно и раскрасить, и вырезать. Задания с такими формулировками можно и нужно предлагать учащимся.

48

ГЛАВА 2. ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ: ВЛИЯНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ

2.9.Формирование математических понятий

умладших школьников

сопорой на остенсивные определения

Проблеме формирования математических понятий на уроках математики в начальной школе традиционно уделяется достаточ- но большое внимание. Без ее решения невозможно говорить о до- стижении необходимого уровня математического развития детей младшего школьного возраста. Но уже на этапе ознакомления с тем или иным понятием возникает необходимость в его определении. Различных способов определения понятий существует достаточно много, но далеко не все они могут быть использованы в начальном курсе математики. Естественно, сначала всегда хочется обратить- ся к наиболее распространенному способу определения математи- ческих понятий, который принято называть «через род и видовое отличие», так как именно с помощью таких определений вводится большинство математических понятий (особенно геометрических), хорошо знакомых всем нам из школы. При этом данный способ определения понятий относится к явным способам, что означает,

вчастности, наличие возможности отвечать на вопрос типа «Что такое квадрат?» словами определения: «Квадрат – это прямоуголь- ник, у которого все стороны равны». Кроме этого, явное определе- ние предлагает вполне понятный алгоритм распознавания объек- тов, относящихся (не относящихся) к данному понятию. И все было бы хорошо, если бы не одно «но»: существуют понятия, которые,

впринципе, невозможно определить явным образом. Например, такие исходные геометрические понятия, как «точка», «прямая», «плоскость» в этом смысле являются неопределяемыми. А ведь мы должны уже в начальной школе заниматься формированием этих понятий. Без этого невозможно представить процесс обучения математике младших школьников. Есть и другое «но»: существу- ют понятия, которые можно явно определить, но эти определения нельзя предложить младшим школьникам в силу невозможности адаптации соответствующих формулировок к возрастным особен- ностям обучающихся. Примером тому может служить определение понятия «круг». Эту геометрическую фигуру изучают в начальной школе, но явного определения ей не дают, хотя оно и существу- ет. Методическое решение этой проблемы известно давно: можно и нужно воспользоваться неявными способами определения таких понятий, прежде всего, остенсивным способом.

49

А. Л. ЧЕКИН. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВЗГЛЯД НА АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

Остенсивный способ определения понятий – это определение через показ [29]. Он очень активно применяется в начальном кур- се математики. Объяснить это достаточно просто: этот способ опре- деления легко применим в самых сложных ситуациях, он позволяет сделать доступным для младших школьников тот материал, который по-другому был бы им непонятен. Наконец, давать понятиям остен- сивные определения, конечно, лучше, чем не давать никаких.

Итак, остенсивный способ определения – это наглядно, доступно, понятно. Но показ показу рознь. А вот на это часто внимание совсем не обращается. Чтобы пояснить, о чем мы хотим сказать, приведем несколько примеров. Когда мы ребенку указываем на березу, расту- щую под окном, и говорим, что это «береза», то в сознании ребенка начинает формироваться понятие «береза», причем с самого нача- ла это формирование происходит адекватно. Теперь другой пример. Пусть на доске мы написали цифру «1» и, показывая на нее, говорим учащимся, что «это – цифра один». В этом случае мы говорим прав- ду, итакое остенсивное определение не вызываетвопросов. Ситуация принципиально меняется, когда речь заходит о числах. Как нам, на- пример, показать число 3. Так как число – это абстракция, то остен- сивное определение в этой ситуации напрямую не работает. Если мы будем показывать на цифру 3 и говорить, что «это – число три», то мы будем обманыватьдетей: цифра и соответствующее число– это не одно и то же. Именно эти соображения заставили нас с самого на- чала изучения чисел предложить первоклассникам, например, такие формулировки тем: «Число и цифра 1», «Число и цифра 2» и т. п. Уже самой формулировкой мы хотели акцентировать внимание на том, что «число» и «цифра» – это не синонимы [76]. Но можно ли исполь- зовать показ для того, чтобы у младших школьников стало формиро- ваться количественное понимание конкретного натурального числа? Конечно, можно. Например, если предложить учащимся для анали- за ситуацию, когда они сразу видят 2 яблока, 3 яблока и 3 апельсина ипроизводятсопоставленияэтихпредметныхмножествмеждусобой, то количественная сущность числа 3 обязательно будет ими воспри- нята. Когда ученики сопоставляют«2 яблока» и «3 яблока», то они сра- зу видят, что здесь общего (яблоки), и в чем различие (разное количе- ство). Когда же для сопоставления берутся «3 яблока» и «3 апельсина», то общим уже является количество (число три), а различие заключа- ется в природе элементов (яблоки и апельсины). Выполнение анало- гичных заданий обязательно приведетктому, что в сознании ребенка

50