Математический взгляд на актуальные проблемы методики обучения математике в начальной школе. Монография

ГЛАВА 1. МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ КАК ИНТЕГРАТИВНАЯ НАУКА

чтобы учащийся понимал, с какой целью предлагается для изучения тот или иной материал, как этот материал будет в дальнейшем рабо- тать, какоепрактическоеприменениеемуможнонайти. Другимисло- вами, учащийсядолженосознаватьсмыслтого, чтоонделаетнауроке.

Пятый принцип занимает особое положение в данной системе. Речь идет о целенаправленной и систематической работе по разви- тию всех учащихся, даже слабоуспевающих. Опыт Л. В. Занкова пока- зал, что для слабоуспевающих учащихся специально организованная систематическая работа очень важна, но она совсем не должна состо- ять из большого количества однообразных тренировочных заданий. Нужны задания другого характера – творческие, интересные, но по- сильные. В этом случае положительная динамика в развитии слабо- успевающих учащихся очевидна. Что же касается других категорий учащихся, то и для них нужно организовывать работу либо группово- го, либо индивидуального характера.

Отличительной чертой системы Л. В. Занкова является богатство ее содержания. В этой системе общая картина мира преподносится учащимся на основе наук, литературы, искусства. В ней нет главных

ивторостепенных предметов. Содержанием обучения должна стать гармония красок, звуков, человеческих отношений. Методам этой системы свойственна многогранность, обращенность к пробуждению ума, чувства, положительных эмоций. Дидактическим стержнем уро- ка является деятельность самих учащихся.

Однако не только описанные выше системы развивающего обуче- ния являются убедительными примерами взаимодействия психоло- гии и методики. Не менее важную роль втаком доказательстве играет

ита психологическая база, на основе которой разрабатывается кон- кретная методическая система. Такой «психологический фундамент» призвана создавать соответствующая психологическая теория усвое- ния знаний, дающая возможность задействовать в процессе обучения определенные психические механизмы. Примером такой теории мо- жетслужитьтеория поэтапного формирования умственныхдействий, созданная в середине прошлого века П. Я. Гальпериным [17]. В основе этой теории лежит учение об интериоризации, т. е. учение о процессе преобразования внешней предметной деятельности во внутреннюю психическую деятельность, о формировании внутренних умствен- ных структур психики посредством усвоения внешней социальной действительности. Из этого следует, что учебно-воспитательный про- цесс можно рассматривать как процесс интериоризации. Проблема

11

А. Л. ЧЕКИН. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВЗГЛЯД НА АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

состоит в том, как научиться управлять этим процессом для дости- жения поставленных целей. Теория П. Я. Гальперина дает свой от- вет на этот вопрос. Согласно этой теории формирование умственных действий проходит по следующим этапам. Первый этап – этап пред- варительного ознакомления с целью обучения, создания мотивации обучаемого. Второй этап заключается в составлении схемы ориенти- ровочной основы действий (ООД). На третьем этапе осуществляется выполнение действий в материальном или материализованном виде. Четвертый этап – это этап формирования внешнеречевого действия (в устной речи или письменном виде) без опоры на материальные средства. Пятый этап состоит в формировании действия во внутрен- ней речи «про себя», т. е. любое действие сопровождается его прого- вариванием про себя. Наконец, шестой, заключительный этап – это выполнение действия в умственном плане.

Значение данной теории состоит в том, что она указывает учите- лю, как надо строитьобучение, чтобы эффективно формироватьзна- ния и действия с помощью главного дидактического средства – ори- ентировочной основыдействий, а следовательно, и управлятьсамим процессом учения. Однако, несмотря на всю привлекательностьэтой теории, коэффициент ее практического применения достаточно ни- зок, что объясняется, скорее всего, сложностями технологического характера.

Завершая разговор об интегративном характере методики обу- чения математике, мы хотим подчеркнуть, что такая естественная интеграция создает синергетический эффект, когда суммарное воз- действие на объект превосходит сумму воздействий отдельных со- ставляющих системы.

1.2. Возможность и целесообразность создания интегративного математико-методического курса для профессиональной подготовки будущих учителей начальных классов

Разговор о возможности и целесообразности создания интегра- тивного математико-методического курса мы начнем с того, что объ- ясним смысл не совсем привычного сочетания терминов «математи- ческий» и «методический» в названии данного курса. Мы специально употребляем термин «математико-методический», а не «методико- математический», стараясь тем самым подчеркнуть, что речь идет

12

ГЛАВА 1. МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ КАК ИНТЕГРАТИВНАЯ НАУКА

об интеграции курса математики и курса методики обучения мате- матике. Использование термина «методико-математический» может, на наш взгляд, ввести всех в заблуждение, так как этот термин при- нято соотноситьтолько с методикой преподавания математики, а ма- тематическая составляющая здесь просто теряется. Для нас же очень важно показать даже в названии, что мы ведем речь об интеграции математики и методики как областей знаний, как сфер профессио- нальной подготовки учителя. Вот поэтому использование в назва- нии интегративного курса термина «математико-методический» нам представляется нетолько разумным, но и обязательным.

Что же касается установления предпосылок, определяющих целе- сообразностьсоздания интегративного курса математики и методики ее преподавания в начальной школе, то, прежде всего, имеет смысл обратить внимание на основные цели курса математики и курса ме- тодики преподавания математики на факультетах подготовки учите- лей начальных классов. Эти цели находятся втесном межпредметном взаимодействии. С одной стороны, овладение программными мате- матическими знаниями важно не только, и даже не столько для фор- мирования определенного уровня математической культуры, сколько для понимания логики используемых в начальном курсе математики методических подходов. С другой стороны, методика изучения любо- го вопроса начального курса математики не может быть качественно освоена без детального рассмотрения математической стороны дела.

Винтегративном курсе появляется возможность сформулировать об- щую цель математической и методико-математической подготовки студентов, в которой на первый план выходит проблема овладения педагогической деятельностью по обучению младших школьников.

Еще одной важной предпосылкой создания интегративного курса является предпосылка мотивационного характера. Хорошо известно, что качество усвоения любого изучаемого материала напрямую зави- сит от уровня мотивации. Если курс математики читается изолиро- ванно, то необходимость изучения многих вопросов остается для сту- дентов без должного обоснования и соответствующей мотивации.

Винтегративном курсе такая проблема отсутствует, так как весь ма- тематический материал имеет смысл изучать хотя бы по той простой причине, что он явно «работает» на методику.

Следующую предпосылку можно отнести к предпосылкам ме- тодологического характера. Мы уже подробно говорили о том, что процесс обучения в начальной школе носит явно выраженный

13

А. Л. ЧЕКИН. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВЗГЛЯД НА АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

интегративный характер. В первую очередь это касается содержа- тельной стороны дела, но и организационная сторона так же не ли- шена интеграционных проявлений, которые связаны с традиционно сложившейся интеграционной ролью учителя начальных классов. Для того чтобы грамотно и качественно выполнять интеграционную рольв процессе становленияличности ребенка, учитель, прежде все- го, должен четко ее понимать и быть подготовлен к ее реализации в профессиональном плане. Этому во многом может поспособство- вать интегративный курс математики и методики ее преподавания, так как именно втаком курсе идея интеграции находит реальное во- площение, а сама постановка вопроса заставляет будущего учителя начальных классов посмотреть на начальный курс математики с по- зиции интегративного подхода.

Наконец, еще одна предпосылка, о которой нельзя не упомянуть, может быть отнесена к предпосылкам интенсификационного харак- тера. Интегративный курс позволяет уложить материал изолирован- ных курсов в меньший объем отведенных часов либо зато же учебное время рассмотреть больший объем математического и методико-ма- тематического материала. В первом случае появляется возможность не сокращать программный материал при сокращении аудиторных учебных часов (речь идет о заочной и очно-заочной формах обуче- ния), а во втором случае появляется возможность включить в про- грамму целый ряд очень важных и нужных вопросов, в частности ме- тодологического и мировоззренческого характера.

1.3. Соотношение математической и методической составляющих в современном учебнике математики для начальной школы

Как мы уже показали выше, методика обучения математике яв- ляется в полном смысле интегративной наукой. При этом очевидно, что математическая составляющая этой науки играет важнейшую роль в формировании различных методических подходов.

Для доказательства определяющего влияния математической со- ставляющейнаоценкукачестваучебниковпоматематикедляначаль- ной школы мы предлагаем проанализировать следующую ситуацию. Допустим, чтомыразделиливсеинтересующиенасучебникиматема- тики на четыре группы, используя двойное дихотомическое деление: сначала присвоили каждому учебнику оценку «плюс» или «минус»

14

ГЛАВА 1. МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ КАК ИНТЕГРАТИВНАЯ НАУКА

взависимости от того, как мы оцениваем математическую состав- ляющую этого учебника, а потом – оценку «плюс» или «минус» в за- висимости от того, как мы оцениваем методическую составляющую этогоучебника. Послеэтоговпервуюгруппуотнесемучебники«плюс- плюс», во вторую – «плюс-минус», в третью – «минус-плюс», наконец,

вчетвертую – «минус-минус». Понятно, что такое деление является очень «грубым» и не учитывает тот факт, что на практике не бывает «чистых минусов» и «чистых плюсов», но именно такое деление по- зволяет очень четко показать роль математической и методической составляющих в оценке той пользы, которую может принести дан- ный учебник. Итак, проведем ранжирование четырех типов учеб- ников в порядке убывания их вклада в процесс освоения учащими- ся программных вопросов начального курса математики. Очевидно, что на первое место нужно поставитьучебники, получившие характе- ристику «плюс-плюс». Эта позиция вряд ли кем-то может быть оспо- рена. Что касается второго места, то здесьнетоднозначного решения: одни считают, что второе место нужно отдать учебникам из класса «минус-плюс» (практика многолетнего общения с учительской ауди- торией показывает, что изначальнотакихлюдей большинство), а дру- гие, и их тоже не мало, на второе место ставят учебники из класса «плюс-минус». Четвертое место все безоговорочно отдают учебникам из класса «минус-минус». Вот такую картину нам приходится наблю- дать много лет в разных по составу аудиториях (действующие учите- ля начальных классов, методисты начального математического обра- зования, представители администрации школ, студенты факультета подготовки учителей начальных классов). Теперь самое время сфор- мулировать свою точку зрения и нашему читателю. Если это сделано, то можно сравнить ее с нашей точкой зрения, к изложению которой мы сейчас и переходим.

Первое место мы отдаем учебникам из класса «плюс-плюс», и это никого не должно удивлять. Доказывать здесь что-то также не имеет смысла. А вот второе место, по нашему мнению, нужно отдать учеб- никам из класса «плюс-минус». Так как этот факт многими ставится под сомнение, то мы объясним свой выбор. Дело в том, что в учеб- никах этого класса грамотно представлен математический материал (что, к сожалению, бывает далеко не всегда), а вот методическая сто- ронаделатребуетдоработки. Учителю начальных классов, в силу про- фессиональной подготовки, провести «доработку» учебника в плане методики обучения вполне реально, чего нельзя сказать о возможной

15

А. Л. ЧЕКИН. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВЗГЛЯД НА АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

«доработке» математического материала. Исправить математические погрешности (а иногда и просто ошибки) учителю начальных классов врядли под силу. Воти гуляютпо пространству начального математи- ческого образования формулировки типа: «Квадратный сантиметр – это квадратсо стороной 1 см» или «Чтобы число умножить на 10, нуж- нокэтомучислусправаприписать0». Еслиавторыучебниковневидят ничего плохого втаких формулировках, то как на этодолжен реагиро- вать учитель начальных классов? Понятно, что это, как правило, при- нимается учителем «за истину в последней инстанции» и транслиру- ется учащимся.

Что касается третьего места, то его мы отдаем учебникам катего- рии «минус-минус». Сторонников такой точки зрения первоначаль- но практически не существует, поэтому она требует серьезного обо- снования. К такой точке зрения нас привело следующее соображение. Есливсвоихоценкахотталкиватьсянеоттого, какуюпользуприносит данный учебник, а посмотреть с другой стороны, т. е. со стороны при- несения возможного вреда для дальнейшего изучения математики, тонашапозициястанетпонятна. Учебниктипа«минус-плюс» наносит гораздо больший вред, чем учебник типа «минус-минус». Дело в том, что хорошая методическая составляющая учебника типа «минус- плюс» приведет к тому, что не очень качественные (часто, ошибоч- ные) математические знания будут прочно усвоены, и на то, чтобы потом переучить учащихся, нужно будет затратить очень много сил и времени. Этого не скажешь об учебнике типа «минус-минус»: плохо усвоенные ошибочные знания без особого труда могут быть в даль- нейшем скорректированы. Без сомнения, будет жалко потраченного времени на работу по такому учебнику, но оценку нужно выносить с учетом перспективы обучения. Поэтому учебник типа «минус-ми- нус» мы ставим на третье место, а вот учебнику типа «минус-плюс» остается последнее четвертое место.

Таким образом, мы однозначно приходим к не совсем очевидно- му выводу, что математическая составляющая учебника математики для начальной школы является не только очень важной, но и более важной, чем его методическая составляющая. Именно с опорой ната- кую позицию создавалисьучебники математикидля 1–4 классов про- екта «Перспективная начальная школа», которые используются в про- цессе обучения в современной начальной школе [70].

16

ГЛАВА 2. Избранные вопросы методики обучения математике в начальной школе: влияние математической составляющей

2.1.Особенности формирования понятий «число»

и«цифра» у младших школьников

Проблема правильного формирования понятий «число» и «цифра» является насколько традиционной, настолько и актуальной. При изу- чении чисел первого десятка мы ведем разговор с первоклассниками какободнозначныхчислах, которыеявляютсяколичественнойхарак- теристикой соответствующего класса равночисленных множеств, так и о графических знаках, с помощью которых эти числа записываются, т. е. о цифрах. С самого начала мы сталкиваемся с серьезными труд- ностями при формировании этих понятий, которые обусловлены ря- домпричин. Самаяглавнаяпричинасостоитвтом, чтоиоднозначные числа, и соответствующие им цифры терминологически не различа- ются: есть число «один», но есть и цифра «один»; есть число «два», но есть и цифра «два» и т. д. Эта особенность терминологии неминуе- мо приводит к тому, что для многих учащихся эти два понятия («чис- ло» и «цифра») отождествляются. Причем этот процесс происходит тем интенсивнее, чемдальше мы уходим по времени отпервого клас- са. Если первоклассники, после изучения соответствующей темы, еще смогут правильно ответить на вопрос о том, что мы сравниваем (чис- лаилицифры), когдапишем: 5 > 2, тодлявзрослыхлюдейэто, какпра- вило, одно и то же. Не случайно с экранов телевизоров мы постоян- но слышим, что в отчетном году цифры тех или иных экономических показателей возросли. Аналогичное использование термина «цифра» имеет место и в периодической печати. Естественно возникает во- прос: «Так может не стоит обращать на это внимание и в начальной школе?» Снашейточкизрения,даннуюработувначальнойшколепро- водить нужно, и делать это следует очень серьезно. При этом данная работа не заканчивается с завершением изучения чисел первого де- сятка. Хотяприизучениимногозначныхчиселмыуженикогданеска- жем, что у нас есть, например, цифра «пятнадцать» или «стотридцать семь», но обозначенная проблема отэтого не исчезает. Онатрансфор- мируется в проблему необходимости различать число и запись чис- ла. Именно небрежное отношение к использованию терминологии

17

А. Л. ЧЕКИН. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВЗГЛЯД НА АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

приводитк ошибочным формулировкамтипа: «Что произойдетс чис- лом, если справа к нему приписать 0?» На наш взгляд, таких форму- лировок в учебниках быть не должно. Эта формулировка безграмотна по ряду позиций. Во-первых, ни с каким числом ничего произойти не может (числа не превращаются из одного в другое). Во-вторых, к числу нельзя что-то приписывать (числа можно сравнивать, скла- дывать, умножатьит. д.). Приписатьчто-томожнокзаписичисла. Вот здесь мы и сталкиваемся стой же самой проблемой– отождествлени- ем числа и его записи, о которой мы говорили применительно к изу- чению однозначных чисел. Действительно, к записи некоторого числа мы можем справа приписать цифру 0. В результате получится запись «нового» числа, которое в 10 раз больше «старого». Учитывая все эти обстоятельства, и нужно грамотно формулировать аналогичные зада- ния. Это не очень простая методическая задача, но она решаема, если правильно понимать, в чем состоит проблема.

С необходимостью правильного употребления термина «цифра» мы сталкиваемся и при ответе на следующий вопрос: «Сколько цифр используется для записи числа 333?» Если сказать, что одна циф- ра (цифра 3), то мы совершенно запутаемся с тем, какие числа у нас относятся к классу трехзначных. А это очень важно знать при реше- нии целого ряда задач. Если сказать, что три цифры, то мы не смо- жем их назвать, так как речь будет идти об одной и той же цифре 3. Чтобы найти выход из этого затруднительного положения, мы еще в 1991 году в нашей совместной статье с Н. Ф. Вапняр предложили от- вечать на поставленный вопрос так: «Для записи числа 333 использу- ются три одинаковые цифры». Если же, например, говорить о числе 557, то для его записи используются три цифры, две из которых оди- наковые. Длязаписичисла123 используютсятриразныецифры, кото- рые в записи не повторяются [14]. Для других случаев ответы следует строить по предложенной схеме.

Завершая разговор о правильном употреблении терминов «чис- ло» и «цифра», мы хотим обратить внимание учителей и методистов на то, как можно с помощью возможностей русского языка четко раз- вести эти два термина: непосредственно писать можно только циф- ры, а с их помощью мы записываем числа. Если учитель возьмет себе за правило с термином «цифра» употреблять глагол «писать», а с тер- мином «число» – глагол «записывать», то процесс правильного фор- мирования рассматриваемых двух понятий будет происходить гораз- до более эффективно.

18

ГЛАВА 2. ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ: ВЛИЯНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ

2.2. Вычислительная составляющая процесса обучения математике в начальной школе

Другой важной арифметической проблемой начального курса ма- тематики является проблема формирования вычислительных уме- ний. При этом в современной начальной школе речьидетотрех видах вычислений: письменных, устных и с помощью калькулятора.

Включение в программу начального курса математики вопросов, ориентированных на формирование умений и навыков выполнения арифметических действий, является традиционным, и традиции этой не одна сотня лет. Конечно, содержание этой части программы начального обучения математике менялось за этотбольшой времен- ной промежуток, но и сегодня любой учитель начальной школы ска- жет, что формирование вычислительных умений и навыков является одной из важнейших задач изучения начального курса математики. Объясняется это не только тем очевидным фактом, что вычисления являются необходимой составляющей при рассмотрении практиче- ски всех основных вопросов указанного курса, но и тем, что в вы- числительных умениях заложен большой развивающий потенциал. Не подвергая сомнению значимость вычислительных умений и на- выков для освоения школьного курса математики в целом и началь- ного курса математики в частности, полагаем важным расставить акценты в этом вопросе таким образом, чтобы были учтены реалии сегодняшнего дня.

Мы имеем в виду массовое распространение калькуляторов (в раз- ных видах), которые стали в последнее время таким привычным атрибутом бытия, что трудно себе представить человека, который бы никогда не пользовался их возможностями для проведения не- обходимых вычислений. Эта ситуация, на наш взгляд, уже не может не учитываться школьной математикой и, в частности, начальным ее курсом в вопросах, напрямую касающихся умения производить простейшие арифметические вычисления. Из современных про- грамм практически исчезло упоминание о навыках письменных вы- числений (речь идет о соответствующих умениях), и в них появилось упоминание о вычислениях с помощью калькулятора. Современные учебники математикидля начальной школытакжедолжны адекватно отражатьявно наметившуюсятенденцию. Мы имеем в виду нетолько и не столько нововведения, которые касаются рассмотрения в началь- ном курсе математики вопросов, связанных с обучением выполне- нию вычислений с помощью калькулятора (что является совершенно

19

А. Л. ЧЕКИН. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВЗГЛЯД НА АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

естественным ответом на возникающие требования повседневной практики), сколько сокращение учебного времени, которое тради- ционно тратилось в начальной школе на письменные вычисления. К сожалению, сигнал, исходящий от авторов программ и учебников, в которых не требуется отработки навыков письменных вычислений, не был в достаточной степени принят учителями начальных классов

иметодистами начального обучения математике. Овладение умени- ями выполнять письменные вычисления на уровне навыка остается одним из критериев, по которому часто традиционно оцениваются успешность усвоения учащимися начального курса математики и ка- чество работы самого учителя.

Полагаем, изменить эту ситуацию можно и нужно. И сделать это, на наш взгляд, не так уж сложно. Было бы только достигнуто пони- мание со стороны всех заинтересованных лиц. Для этого достаточно на соответствующем уровне принять решение о том, чтобы разре- шить учащимся при проведении всевозможных проверочных и кон- трольных испытаний вплоть до ЕГЭ и дополнительных вступитель- ных испытаний в вузы пользоваться простейшими калькуляторами. Пока этого сделано не будет, трудно ожидать каких-либо существен- ных перемен в решении обсуждаемой проблемы. Но, если такое раз- решение будет действовать при проведении ЕГЭ и ДВИ, оно авто- матически распространится и на все проверочные работы в период школьного обучения.

Подчеркнем, что уменьшение практической значимости навыков письменных вычислений совсем не означает, что вычислительные умения не нужно формироватьв школе, втом числе начальной. Учить этому нужно и уделять этому вопросу следует достаточно много вни- мания, особенно овладению соответствующими умениями и пони- манию сути соответствующих алгоритмов. Не следует только ставить цельдостижения всеми учащимися высокого уровня сформированно- сти умения выполнять письменные вычисления (на уровне навыка). Более того, нет никаких оснований считать, что успешность овладе- ния учащимися письменными вычислениями является объективным критерием успешности усвоения ими начального курса математики

итем более успешности работы учителя по обучению математике. Нет сомнения, выпускник начальной школы должен владеть опре-

деленными вычислительными умениями, обладать в достаточной степени вычислительной культурой, но проявляться она должна, прежде всего, не в умении быстро выполнять вычисления «столби-

20