Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математический анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения. Учебно-методическое пособ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

1 / 81 2 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

О.Е. РОЩЕНКО, Е.А. ЛЕБЕДЕВА

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

АНАЛИЗ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Учебно-методическое пособие

НОВОСИБИРСК

2019

УДК 517(075.8) Р 815

Рецензенты:

канд. пед. наук, доцент Е.В. Подолян

ст. преп. Е.В. Исаева

Работа подготовлена на кафедре инженерной математики

иутверждена Редакционно-издательским советом университета

вкачестве учебно-методического пособия

Рощенко О.Е.

Р 815 Математический анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения: учебно-методическое пособие / О.Е. Рощенко, Е.А. Лебедева. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2019. – 76 с.

ISBN 978-5-7782-3944-9

Настоящее пособие является логическим продолжением учебного пособия «Математический анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной» и предназначено для студентов технического направления обучения.

	УДК 517(075.8)
ISBN 978-5-7782-3944-9	© Рощенко О.Е., Лебедева Е.А., 2019
	© Новосибирский государственный
	технический университет, 2019
	2

ВВЕДЕНИЕ

Представленные в пособии разделы являются основными при изучении математического анализа студентами первого курса, позволяют систематизировать получаемые знания. Пособие включает в себя комплекс теоретического материала и разнообразные задачи, поэтому работа по нему позволит студентам развивать навыки самостоятельной работы с учебной литературой.

Поскольку пособие содержит большое количество примеров и задач, оно может быть использовано студентами для самостоятельной подготовки по соответствующим разделам математического анализа.

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

– следует, влечет за собой

– равносильно, эквивалентно, тогда и только тогда, необходимо и достаточно

– существует (квантор существования)x – существует, найдется хотя бы один xx – существует единственный x

– любой, каждый, всякий

x – для любого x, для каждого x

:– такой, что

– и

– или

– пустое множество

– строго принадлежит, содержится (символ принадлежности элемента множеству)

, – принадлежит, содержится

– не принадлежит, не содержится

A B – множество А является подмножеством множества В

A \B – разность множеств

D( f ) – область определения функции f E( f ) – множество значений функции f

R ( ; ) – множество действительных чисел

R (0; ) – множество положительных действительных чисел

§ 1. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ

1.1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ

Пусть D Rn – произвольное множество точек n-мерного арифметического пространства.

Определение. Если задано правило f, по которому каждой точке M (x1; x2;..., xn ) D ставится в соответствие некоторое вполне опреде-

ленное действительное число u f (M ) f (x1; x2;..., xn ), то говорят,

что на множестве D задана числовая функция (или отображение) f от п переменных.

Обозначение. f :Rn R или u f (x1; x2;..., xn ).

Множество D называют областью определения, а множество

E u R :u f (M ), где M D – множеством значений функции

uf (x1; x2;..., xn ).

Вчастном случае при n 2 функцию двух переменных можно рас-

сматривать как функцию точек плоскости.

Определение. Если каждой паре независимых друг от друга чисел (х; у) из некоторого множества по какому-либо правилу ставится

в соответствие значение переменной z, то переменная z называется

функцией двух переменных.

Определение. Областью определения D(f) функции z называется совокупность пар (х, у), при которых функция z существует.

Обозначение. z f (x;y).

Частное значение функции при x x0, y y0 имеет вид

f (x0	; y0) f (M0) z	x x	z	M	0	.
f (x0	; y0) f (M0) z	x x	z	M		.
		0
		y y0

Функция f двух переменных х и у может быть задана аналитическим, табличным, графическим, программным (алгоритмом вычисления z по значениям х и у) и другими способами.

Функцию двух переменных z f (x; y) можно изобразить в трех-

мерном пространстве при выбранной декартовой системе координат Oxyz как множество точек (график функции)

L (x; y; z) R3 :z f (x; y) ,

которое, вообще говоря, есть некоторая поверхность в R3 . Проекцией этой поверхности на плоскость Оху является область определения D(f).

				Замечание. При нахождении области определе-
				ния D(f)	используем стандартные ограничения на
				аналитические формулы.
				Функцию трех и более переменных изобра-
				зить графически невозможно.
				Пример. z		4 x2 2y2 . Областью опреде-
				ления D(f) этой функции является множество всех
	Рис. 1.1			точек плоскости R2, для которых определено вы-
	Рис. 1.1			ражение	4 x2	2y2 , т. е.	4 x2 2y2 0
				ражение	4 x2	2y2 , т. е.	4 x2 2y2 0
x2		y2	1. Множество таких точек лежит внутри эллипса и на
4		2	1. Множество таких точек лежит внутри эллипса и на
4		2

нем с полуосями a 2, b 2 (на рис. 1.1 оно заштриховано). Множество значений E( f ) [0;2]. Графиком этой функции является верхняя часть эллипсоида.

		ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Найти область определения следующих функций:
1)	z	4 x2 y2 ;			2)	z ln(3x2 6y);		3) z 12x 3arcsin2y ;
4)	z	2		;	5)	z	x2 9 9 y2	; 6) z arcsin	x	.
		x	y						y

1.2. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

1.2.1. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Определение. Окрестностью точки М0(х0; у0) радиуса r называ-

ется совокупность всех точек (х; у), которые удовлетворяют условию

(x x0)2 (y y0)2 r .

Определение. Число А называется пределом функции f(x; y) при стремлении точки М(х; у) к точке М0(х0; у0), если для каждого числа

> 0 найдется такое число r > 0, что для любой точки М(х; у), для которой верно условие MM0 r , также верно и условие f (x; y) A .

Обозначение. lim f (x;y) A .

x x0 y y0

Определение. Пусть точка М0(х0; у0) принадлежит области определения функции f(x; y). Тогда функция z = f(x; y) называется непрерывной в точке М0(х0; у0), если

lim f (x; y) f (x0; y0) ,

(1)

x x0 y y0

причем точка М(х, у) стремится к точке М0(х0; у0) произвольным об-

разом.

Определение. Пусть в некоторой области задана функция z = = f(x; y). Возьмем произвольную точку М(х; у) и зададим приращение

х к переменной х.	Тогда величина x z f (x x;y)– f (x;y) будет
называться частным приращением функции по х.
Можно записать
	x z			f (x x; y) f (x;y)			.

		x				x
Если существует	lim		x z		, то он называется частной производной
	x 0		x
функции z = f(x; y) по переменной х.
Обозначение. z	; zx ;		f (x; y)			; fx (x; y).

x				x
Аналогично определяется частная производная функции по пере-
менной у:
	z	lim			f (x; y y) f (x; y)			.
y
		y 0				y

Таким образом, частная производная функции нескольких переменных определяется как функция одной из этих переменных при условии, что остальные переменные рассматриваются как постоянные. Для нахождения частных производных используют формулы и правила вычисления производных функции одной переменной.

Пример. Найти частные производные функции

z 3x2 yx

(x 2y) x (x 2y)

z 3x2y ln(x 2y) 5x .


ln(x 2y) 5x			x переменная		3y(x2)
ln(x 2y) 5x			x переменная		3y(x2)
	x		y постоянная
5(x)х 3y 2x		1		5 1 6xy		1
5(x)х 3y 2x	(x 2y)			5 1 6xy		(x 2y)
	(x 2y)					(x 2y)

3x2y ln(x 2y) 5x

y переменная

x постоянная

3x2(y)y

(x 2y)y

(5x)y

3x2

2y)

(x 2y)

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Найти пределы следующих функций:

7) lim(3x2

4y3)cos

;

8) lim 1

2xy

x 0

y 0

y 3

Найти частные производные следующих функций:

9) z x4 2y3 5xy 10;

10)

z arccos

x y

;

x y

11)

z ln3

2x y ;

12)

z 2xy ;

13)

z 5 7x3 5y4 ; 14)

z ecos2(xy 3y) .

1.2.2. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Если функция f(x; y) определена в некоторой области D, то ее част-

ные производные fx (x; y)

и fy (x; y)

также будут определены в той же

области или в ее части. Эти производные называют частными произ-

водными первого порядка.

Производные этих функций будут частными производными второ-

го порядка:
	2z			2z
	x2	fxx (x;y);		y2	fyy (x;y);
	x2			y2
	2z			2z
	x y		fxy (x;y);	y x		f yx (x;y).
	x y			y x

Продолжая дифференцировать полученные равенства, можем найти частные производные более высоких порядков.

Определение.

Частные

производные

вида

;

x y

y x

x y x

… называются смешаннымипроизводными.

x y y

ТЕОРЕМА.

Если функция f(x;

ее

частные

производные

, fy

, fxy , fyx определены и непрерывны в точке М(х; у) и ее окрестно-

сти, то верно соотношение

2 f

т. е.

частные производные

x y

y x

высших порядков не зависят от порядка дифференцирования.

Пример. Дана функция z arctg xy . Показать, что выполняется ра-

венство

x 2z

y y2

x y

Найдем частные производные:

arctg

;

x2 y2

2xy

;

)

;

arctg

x2 y2

(x2 y2)2

2xy

;

)

1(x

)

y 2y

x y

)

1 / 81 2 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]