Математический анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения. Учебно-методическое пособ

динат и пересекающие область, начинаются в

y

точке О( 0 ) и выходят из области на линии

2аcos

3

,

т. е. область D описывается си-

О

D

2a

,

стемой

неравенств

0

2

Таким

Рис. 2.5

2a cos

3

.

образом,

0

2a cos3

S 2

/2

2a cos3

/2 2

/2

d

d 2

2

0

d 4a2

cos6 d

0

0

0

0

4a

2

/2

1 cos2 3

2

d

0

a

2

/2

(1 3cos2 3cos2 2 cos3 2 )d

2

0

a2

/2

/2

/21 cos4

d

/2

d 3

cos2 d

3

cos2 2 cos2 d

2

2

0

0

0

0

a2

3

/2

/21 cos4

d

1

/2

(1 sin

2

2

sin2

3

2

2

2 2 )d(sin2 )

0

0

0

a2

3a2

sin4

/2

a2

sin3

2

/2

4

4

4

4

sin2

3

0

0

a

2

3 a2

5 a2

4

8

8

.

Пример.

Вычислить

объем,

ограниченный

поверхностями:

x2 y2 1; x + y + z =3 и плоскостью ХОY.

2 1

2

3 2

cos sin

3

1

V

d (3 cos sin ) d

2

3

d

0

0

0

0

2

3

sin cos

1

3

2 3 .

2

3

2

0

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Вычислить площадь, ограниченную линиями:

20)

y 2x,

y 3 x, y 0 ; 21) y x2

3,

y 5 x2 ;

22) x2 y2

4y,

y 0,y x ;

23)

x2 y2

9,

x2 y2 16,

y 3x,

x 0.

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

24)

z x 2, y x, y 2x,

z 0;

25) z x2 y2,

y x2, y 1,

z 0.

сведено к вычислению определенного интеграла.

1. Кривая задана явно

Если кривая L задана уравнением

y (x) , x [a;b], где

(x) –

непрерывно дифференцируемая функция, то

b

2

f (x;y)ds f (x; (x))

dx .

1 (x)

L

a

y y(t),

t [ ; ], где

x(t), y(t) –

непрерывно

дифференцируемые

функции параметра t, то

2

2

f (x;y)ds f (x(t), y(t))

dt .

x (t)

y (t)

L

2

2

2

dt .

f (x;y; z)ds f (x(t),y(t), z(t))

x (t)

y (t)

z (t)

L

2

2

d .

f (x;y)ds

f ( ( )cos ; ( )sin )

( ) ( )

L

(x2

2

y2

z2)ds (cos2 t sin2 t t2)

( sint)2 cos2 t 1dt

AB

0

2

2

(1 t2)dt 2 2

4 2

1

.

3

0

dS

2

dx

1 (1/2)

2

dx

5 2dx;

1 (x)

dS

4

5 2

dx

5

4

2dx

5ln(x 4)

04

5ln2.

x y

x 2 2

2

S

0 x

0 x 4

Пример. Найти массу четверти лемнискаты

2

a2 cos2 , если

плотность выражается формулой (x; y) =

k

x2 y2

k .

Используем формулу для вычисления дифференциала дуги кривой,

заданной параметрически: ds

2

2

d .

( )

Найдем a cos2 ,

sin2

, получим

a

cos2

/4

a cos2

a2 cos2 a

2

sin

2

2 d

m k ds k

L

0

cos2

/4

a cos2

a2 cos2 2 a2 sin2 2

d

k

cos2

0

/4

a

2

/4

1

2

k a

cos2

d ka

0

4 ka

.

0

cos2

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Вычислить следующие криволинейные интегралы:

26)

(x 3y)ds , где L:

y 2x,

x [1;2];

L

27)

y2ds ,

где

L

–

первая

арка

циклоиды

x 3(t sint),

L

y 3(1 cost) ;

28)

(x y)ds , где L – левый лепесток лемнискаты 2 cos3 .

L

отрезка с плотностью

1

.

x2 y2 4

а) если кривая AB задана уравнением у (х)

и при перемещении

из точки А в точку В х меняется от а до b , то

b

Рdx Qdy P(x; (x)) Q(x; (x)) (x) dx ;

АВ

a

б) если кривая AB задана параметрическими уравнениями х х(t),

у у(t)

и при перемещении из точки А в точку В параметр t меняет-

ся от до , то

Рdx

Qdy P(x(t), y(t))x (t) Q(x(t),

y(t))y (t) dt .

АВ

Аналогично определяется криволинейный интеграл от непрерыв-

ных в

некоторой пространственной области функций Р(х, у, z) и

Q(x, y,

z) по

координатам вдоль дуги пространственной кусочно-

гладкой кривой L , расположенной в этой области:

Если кривая

L

задана параметрическими уравнениями х х(t),

у у(t), z z(t)

(

– параметр, соответствующий начальной точке

Пример. Вычислить (х2 2xy)dx (у2

2xy)dy , где L – дуга пара-

L

болы y x2 , пробегаемая от точки А( 1; 1)

до точки В(1; 1) (рис. 2.6).

Так как при движении из точки

А в точку

В

x

меняется от 1

до 1, то имеем

1

(x2 2xy)dx (y2

2xy)dy

(x2 2x x2) (x2)2

2x x

2 (x2) dx

L

1

1

2

3

5

4

х3

х4

х6

4x

5

1

(x

2x

2x

4x

)dx

3

2

3

5

1

1

а D – ограниченная этим контуром область.

ТЕОРЕМА. Если функции Р(х; у) и Q(x;y)

непрерывны в обла-

сти D и имеют в этой области непрерывные

частные производные, то справедлива формула

дQ

дР

P(x,y)dx Q(x,y)dy .

dxdy

D

дх

ду

L

Эта формула называется формулой Грина.

Пример. С помощью формулы Грина вы-

числить криволинейный интеграл

Рис. 2.7

2(х2 у2)dx (x y)2dy ,

L

где L – контур треугольника с вершинами в точках А(1; 1) ,

В(2;2) и

С(1; 3) (рис. 2.7).

Применим

формулу Грина.

В

данном

случае Р 2(x2 у2),

Q (x y)2 ,

поэтому

дQ

2(х у) ,

дР 4у ,

область D {(х;у):

дх

ду

1 х 2, х у 4 x}. Тогда получаем

2(x2 y2)dx (x y)2dy [2(x y) 4y]dxdy

L

D

2

4 x

2

4 xdx 4(x 2)3

2

4 .

2 dx (x y)dy (x y)2

1

x

1

x

3

1

3

Определение. Плоская область D называется односвязной, если

для любого замкнутого контура

L , лежащего в этой области, ограни-

дР дQ .

(*)

ду

дх

1. Если выполнено условие (*) и L – замкнутый контур, то

P(x; y)dx Q(x; y)dy 0.

L

2. Если выполнено условие (*), то выражение

P dx Q dy является

L

полным дифференциалом некоторой функции, определенной в области D:

Р(х;у)dx Q(x;y)dy dU (x;y).

Пример. Вычислить интеграл

x dx

y dy

,

где L – окружность

2

2

L

x

y

(х 1)2 (у 1)2 1.

Здесь P

x

, Q

y

. Получаем

x2 y2

x2 y2

дР

дQ

2ху

.

ду

2

2

2

дх

(х

у

)

S 1

xdy ydx ,

2

L

где направление обхода контура L выбрано так,

что область D все

время слева от пути интегрирования.

2. Работа силы

F P(x; y)i Q(x; y)j

Работа, совершаемая переменной

силой

вдоль кривой L , находится по формуле

А P(x;y)dx Q(x;y)dy .

L

Пример. Вычислить работу силы

F xy i (x y)j

при переме-

щении материальной точки по прямой

y x

из точки О(0;0) в точку

M (1;1).

Используем формулу для вычисления работы,

здесь

P(x,y) xy,

Q(x,y) (x y), получим

1

2 x x)dx

А хуdx (x y)dy (x

ОМ

0

1

3

1

1

4 .

(x2 2x)dx

x

x2

1

0

3

0

3

3