Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математический анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения. Учебно-методическое пособ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 88

Продифференцируем полученную функцию:

yч.н Ae x ( 1)x Ae x Axe x Ae x ;

yч.н Ae x Axe x Ae x Axe x 2Ae x .

Подставим yч.н , yч.н , yч.н в исходное уравнение и определим значение коэффициента A:

Axe x 2Ae x Ae x Axe x e x Ae x e x A 1, yч.н xe x .

3. Тогда общее решение уравнения

yo.н С1 С2e x xe x .

Пример. Найти общее решение уравнения y 9y cosx .

Дано ЛНДУ с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида, следовательно, yо.н yо.о yч.н.

1. Решаем соответствующее линейное однородное дифференциальное уравнения (ЛОДУ): y 9y 0.

Составим и решим характеристическое уравнение:

k2 9 0 k			3i.
		1,2
Корни характеристического уравнения комплексные, поэтому фун-
даментальная система решений		состоит из функций		y1 cos3x,
y2 sin3x . Общее решение ЛОДУ:		yо.о С1cos3x С2 sin3x.
2. Запишем правую часть	f (x) cosx в виде: f (x) 1 cosx 0 sinx .
При cosx и sinx стоят	многочлены нулевой степени P0(x) 1,
Q0(x) 0 , а характеристика	правой части i 0 3i			не является

корнем характеристического уравнения (r 0), тогда частное решение с неопределенными коэффициентами имеет вид (см. таблицу)

yч.н (Acosx Bsinx)xr Acosx Bsinx ,

где А и В – многочлены нулевой степени с неопределенными коэффициентами. Итак,

yч.н Acosx Bsinx,

yч.н Asinx Bcosx,

yч.н Acosx Bsinx.

Подставим yч.н , yч.н в данное уравнение:

Acosx Bsinx 9Acosx 9Bsinx 1 cosx 0 sinx.

Получим тождество. Приравнивая коэффициенты при cosx и sin x, получим систему уравнений:

cosx	A 9A 1	A	1	, B 0,	yч.н	1cosx.

sinx	B 9B 0		8			8

3. Тогда общее решение уравнения примет вид yо.н c1 cos3x c2 sin3x 18cosx .

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Найти общее решение дифференциального уравнения:

20)	y	4y 4y x2 ;				21)	y 3y 2y (x2 x)e3x ;
22)	y	2y 4ex (sinx cosx) ;				23)	y 8y 8x;
24)	y	4y 3y 9e 3x ;				25)	y 4y 4y 8e 2x ;
26)	y	2y 4ex (sinx cosx) .
Найти частное решение дифференциального уравнения:
				2		4		1
27)	y		9y x		x 3, y(0) 3			27 ;
		6y					, y (0)

28)y 9y 6e3x , y(0) y (0) 0;

29)y y 2cosx , y(0) 1; y (0) 0.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Полный курс. – М.: Айрис-пресс, 2004. – 608 с.: ил.

2.Математический анализ в примерах и задачах / С.Н. Веричев, Г.Б. Корабельникова, В.Н. Максименко и др.; под ред. В.Н. Максименко: учеб. пособие. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2002. – 140 с.

3.Ларин А.А. Курс высшей математики, 2001, mailto: aalar@cityline.ru

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение...................................................................................................................	3
Основные обозначения............................................................................................	4
§ 1. Функции нескольких действительных переменных.
Дифференциальное исчисление функции нескольких
действительных переменных ..............................................................................	5
1.1. Понятие функции нескольких действительных переменных...................	5
1.2. Частные производные функции двух переменных....................................	7
1.2.1. Частные производные первого порядка..................................................	7
1.2.2. Частные производные высших порядков................................................	9
1.3. Полный дифференциал функции................................................................	11
1.4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности....................................	14
1.5. Экстремум функции нескольких переменных .........................................	16
1.6. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области....	18
§ 2. Кратные и криволинейные интегралы....................................................	21
2.1. Двойные интегралы.....................................................................................	21
2.1.1. Понятие двойного интеграла................................................................	21
2.1.2. Вычисление двойного интеграла в декартовой
системе координат...........................................................................................	22
2.1.3. Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат....	25
2.1.4. Геометрические и физические приложения двойных интегралов....	28
2.2. Криволинейные интегралы первого рода..................................................	32
2.2.1. Вычисление криволинейного интеграла первого рода.......................	33
2.2.2. Некоторые приложения криволинейного интеграла первого рода....	34
74

2.3. Криволинейные интегралы второго рода..................................................	36
2.3.1. Вычисление криволинейного интеграла второго рода.......................	36
2.3.2. Формула Грина.......................................................................................	38
2.3.3. Некоторые приложения криволинейного интеграла
второго рода ...........................................................................................	40
§ 3. Дифференциальные уравнения первого порядка..................................	42
3.1. Основные понятия .......................................................................................	42
3.2. Типы дифференциальных уравнений первого порядка............................	43
3.2.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися
переменными..........................................................................................	43
3.2.2. Однородные дифференциальные уравнения.......................................	46
3.2.3. Линейные дифференциальные уравнения...........................................	47
3.2.4. Уравнения Бернулли..............................................................................	49
3.2.5. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах ..............	51
§ 4. Дифференциальные уравнения высших порядков................................	55
4.1. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие
понижение порядка.............................................................................................	55
4.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения
второго порядка ..................................................................................................	58
4.3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
второго порядка. Метод вариации произвольных постоянных......................	63
4.4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью
специального вида..............................................................................................	66
Библиографический список..................................................................................	73

Рощенко Ольга Евгеньевна Лебедева Елена Анатольевна

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Учебно-методическое пособие

Редактор И.Л. Кескевич

Выпускающий редактор И.П. Брованова

Корректор И.Е. Семенова

Дизайн обложки А.В. Ладыжская Компьютерная верстка Л.А. Веселовская

Налоговая льгота – Общероссийский классификатор продукции Издание соответствует коду 95 3000 ОК 005-93 (ОКП)

___________________________________________________________________________________

Подписано в печать 17.07.2019. Формат 60 × 84 1/16. Бумага офсетная. Тираж 50 экз. Уч.-изд. л. 4,41. Печ. л. 4,75. Изд. № 53. Заказ № 1110. Цена договорная

___________________________________________________________________________________

Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета

630073, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 88

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]