Математический анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения. Учебно-методическое пособ

Это уравнение является линейным однородным с постоянными коэффициентами. Составим и решим соответствующее характеристическое уравнение:

k2 5k 6 0 k1 2, k2 3.

Корни характеристического уравнения – действительные различные, поэтому фундаментальная система решений образована функци-

ями y1 e2x и y2 e3x . Следовательно, общее решение такого уравнения имеет вид

yо.о C1e2x C2e3x .

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения y 4y 4y 0 .

Это уравнение является линейным однородным с постоянными коэффициентами. Составим и решим соответствующее характеристическое уравнение:

k2 4k 4 0 k1 k2 2.

Корни характеристического уравнения – действительные равные, поэтому фундаментальная система решений образована функциями

y1 e2x и y2 xe2x . Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид

yо.о C1e2x C2xe2x .

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения y 4y 13y 0.

Это уравнение является линейным однородным с постоянными коэффициентами. Составим и решим соответствующее характеристическое уравнение:

k2 4k 13 0 k1,2 2 3i, 2, 3.

Корни характеристического уравнения комплексные k1,2 i , поэтому фундаментальная система решений образована функциями

61

y1 e 2x cos3x и y2 e 2x sin3x . Следовательно, общее решение данного уравнения:

yо.о C1e 2x cos3x C2e 2x sin3x .

Пример. Найти частное решение дифференциального уравнения, соответствующее заданным начальным условиям:

y y 0 y(0) 2, y (0) 1.

Это уравнение является линейным однородным с постоянными коэффициентами. Сначала найдем общее решение. Для этого составим и решим соответствующее характеристическое уравнение:

k2 k 0 k1 0, k2 1.

Корни характеристического уравнения – действительные различные, поэтому фундаментальная система решений образована функци-

ями y1 e0x 1 и y2 e x . Следовательно, общее решение данного уравнения:

yо.о C1 C2e x .

Чтобы найти значение констант C1 и C2 , продифференцируем по-

лученную функцию: y C1 C2e x y C2e x . Используя начальные условия, составим и решим систему

Тогда частное решение yч.о , соответствующее заданным начальным условиям, примет вид yч.о 3 e x .

62

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Найти общее решение дифференциального уравнения:

4.3. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

МЕТОД ВАРИАЦИИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОСТОЯННЫХ

Определение. Уравнение вида y a1(x)y a2(x)y f (x) называ-

ется линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка, где a1(x), a2(x) – непрерывные на (a;b) функции. Уравне-

ние y a1(x)y a2(x)y 0 – соответствующее однородное уравнение.Общим решением уравнения y a1(x)y a2(x)y f (x) является сумма его произвольного частного решения yч.н и общего решения

соответствующего однородного уравнения yо.о :

yо.н yч.н yо.о.

Если известно общее решение однородного уравнения y a1(x)y a2(x)y 0, то частное решение yч.н неоднородного урав-

нения можно найти методом вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа).

Пусть yо.о C1y1 C2y2 – общее решение однородного уравнения. Заменим в общем решении константы C1,C2 неизвестными функциями

63

Для этого функции C1(x),C2(x) должны удовлетворять системе уравнений

C (x)y C (x)y 0,

1 1 2 2

C1(x)y1 C2 (x)y2 f (x).

литель Вронского для фундаментальной системы решений y1(x), y2(x)

соответствующего однородного уравнения. Значит, данная система имеет единственное решение C1(x) 1(x),C2(x) 2(x). Интегрируя

эти функции, находим C1(x),C2(x) и составляем частное решение неоднородного уравнения yч.н C1(x)y1 C2(x)y2 .

Пример. Найти общее решение уравнения y y cos1 x .

Это уравнение – линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка. Решение будем искать в виде yо.н yо.о yч.н ,

где yо.о – общее решение соответствующего однородного уравнения, а yч.н – частное решение неоднородного уравнения.

1. Решим соответствующее однородное уравнение y y 0. Это уравнение с постоянными коэффициентами. Для решения составим

характеристическое уравнение k2 1 0. Характеристическое уравнение имеет комплексные корни k1,2 i . Фундаментальная система ре-

шений состоит из двух функций: y1 cosx и y2 sinx . Общее решение однородного уравнения yо.о C1cosx C2 sinx .

2. Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде

64

Запишем эту систему для данной задачи: y1 cosx, y1 sinx ; y2 sinx, y2 cosx .

Для решения этой системы умножим первое уравнение на sinx ,

3. В соответствии с формулой yо.н yо.о yч.н запишем общее решение неоднородного уравнения:

yо.н C1cosx C2 sinx ln cosx cosx xsinx .

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Найти общее решение дифференциального уравнения:

65

Найти частное решение дифференциального уравнения:

4.4. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА

Определение. Дифференциальное уравнение вида

y py qy e x Pn (x)cos x Qm (x)sin x ,

где p, q R, а Pn (x) и Qm (x) – многочлены степени n и m соответ-

ственно, называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка (ЛНДУ-2) с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.

Замечание. В общем случае решение уравнения может быть выполнено методом вариации произвольных постоянных. Однако для правой части специального вида частное решение находится проще, так называемым методом подбора.

Общим решением этого уравнения является сумма его произвольного частного решения yч.н и общего решения соответствующего од-

нородного уравнения yо.о :

yо.н yч.н yо.о.

Поэтому решение ЛНДУ включает два этапа: 1) нахождение общего решения соответствующего однородного уравнения; 2) нахождение частного решения ЛНДУ на основе анализа правой части уравнения.

Числа i называются характеристикой правой части. Решение yч.н имеет структуру, аналогичную правой части уравнения

yч.н e x Ns (x)cos x M s (x)sin x xr ,

66

где r – кратность корня характеристического уравнения, совпадающего с характеристикой правой части, а Ns (x) и Ms (x) – многочлены

степени s max(n;m) с неизвестными коэффициентами.

Для вычисления коэффициентов подставляем решение yч.н и его

производные в исходное ЛНДУ. Приравнивая коэффициенты подобных членов слева и справа, получаем систему линейных алгебраических уравнений для вычисления значений этих неизвестных коэффициентов.

Общую запись правой части специального вида можно разделить на частные случаи (см. таблицу).

Пример. Найти частное решение дифференциального уравнения y 4y 4y 9x2 12x 2 ,

соответствующее начальным условиям: y(0) 1, y (0) 3.

Это уравнение является ЛНДУ с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида. Общее решение имеет вид

yо.н yо.о yч.н .

1. Решаем соответствующее линейное однородное дифференциальное уравнения (ЛОДУ):

y 4y 4y 0 .

Характеристическое уравнение k2 4k 4 0 имеет корни k1 k2 2.

Фундаментальная система решений состоит из функций y1 e2x , y2 xe2x . Общее решение ЛОДУ:

yо.о С1e2x С2xe2x .

2. Правая часть этого уравнения является многочленом второй степе-

67

Характеристика правой части не совпадает с корнями характеристического уравнения, т. е. r 0. Следовательно, частное решение с неопределенными коэффициентами имеет вид (см. таблицу)

yч.н Q2(x) Ax2 Bx C .

Для нахождения неизвестных коэффициентов подставим yч.н и его производные в исходное ЛНДУ:

yч.н 2Ax B ; yч.н 2A.

Подставим в ЛНДУ yч.н , yч.н , yч.н :

2A 4(2Ax B) 4(Ax2 Bx C) 4x2 12x 6,

x2(4A) x( 8A 4B) (2A 4B 4C) 4x2 12x 6.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x слева и справа в последнем уравнении, получим систему уравнений

Решая систему, находим A 1, B 1, C 3. Найденные коэффи-

циенты подставим в частное решение: yч.н x2 x 3. 3. Общее решение ЛНДУ:

yо.н C1e2x C2xe2x x2 x 3.

4. Чтобы найти частное решение исходного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y(0) 1, y (0) 3, продифференцируем

найденное общее решение:

yо.н 2C1e2x C2e2x 2C2xe2x 2x 1.

69

Используя данные начальные условия, составим систему уравнений для определения C1 и C2 :

Значит, частное решение, соответствующее заданным начальным условиям, имеет вид yч.н 2e2x 6xe2x x2 x 3.

Пример. Найти общее решение уравнения y y e x .

Дано ЛНДУ с постоянными коэффициентами и со специальной правой частью, следовательно, yо.н yо.о yч.н.

1. Решаем соответствующее линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ): y y 0.

Составим и решим характеристическое уравнение: k2 k 0 k(k 1) 0 k1 0, k2 1.

Корни характеристического уравнения действительные различные, поэтому фундаментальная система решений состоит из функций

многочлена нулевой степени P0(x) 1 и e x , где 1. Следовательно, будем искать yч.н в виде произведения многочлена нулевой степе-

ни с неопределенным коэффициентом (A) и e x xr . Так как характеристика правой части i 1 является корнем характеристического уравнения кратности 1 (r 1) , частное решение с неопределенными коэффициентами имеет вид (см. таблицу)

yч.н Ae x x .

70