Математический анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения. Учебно-методическое пособ

f (x;y)dxdy g(x; y)dxdy .

DD

2.1.2.ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА В ДЕКАРТОВОЙ

СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

Вычисление двойного интеграла сводится к вычислению двух определенных интегралов, что основано на последовательном интегрировании по каждой из переменных в отдельности.

ТЕОРЕМА. Если функция f(x; y) непрерывна в замкнутой области D, ограниченной линиями х = a, x = b, (a < b), y = (x), y = (x), где и – непрерывные функции и x [a;b] (х) (х), тогда

Правую часть равенства называют повторным интегралом от функции f(x; y) по области D (рис. 2.1). При этом

(x)

f (x;y)dy .

(x)

называется внутренним интегралом.

Для вычисления двойного интеграла сначала берем внутренний интеграл, считая, что x – постоянная, затем берем внешний интеграл, т. е. результат первого интегрирования интегрируем по x в пределах от a до b.

22

y = (x)

Рис. 2.1

ТЕОРЕМА. Если функция f (x; y) непрерывна в замкнутой области D, ограниченной линиями y = c, y = d (c < d), x = (y), x = (y) ( (y)

(y)), y [c;d], то

Замечание 1. Внешние пределы интегрирования всегда постоянны и определяются при проектировании области D на соответствующую ось.

Замечание 2. Чтобы правильно расставить внутренние пределы интегрирования, нужно провести через область прямые в направлении оси, имеющей такое же название, как и переменная интегрирования внутреннего интеграла. Причем точки входа в область находятся на линии, соответствующей нижнему пределу интегрирования, а точки выхода – на линии, соответствующей верхнему пределу интегрирования (рис. 2.1).

Замечание 3. Если область D проектируется на ось Ox, то из уравнений линий входа и выхода выражают у, если же она проектируется на ось Oy, то выражают x.

Замечание 4. Если для линии входа или выхода не существует единого аналитического задания (т. е. линия состоит из нескольких кривых, определяемых разными законами), следует область D разбить на части прямыми, параллельными осям координат и проходящими через те точки линий входа или выхода, в которых меняется их аналитическое задание. Тогда интеграл по области D будет равен сумме интегралов по составляющим ее областям.

23

Пример. Вычислить двойной интеграл x22 dxdy по области D,

D y

ограниченной линиями y x , yx 1, x 2 .

Начинаем вычисление повторного интеграла с внутреннего, считая переменную внешнего интегрирования константой во внутреннем интеграле, получаем

1y

24

Изменить порядок интегрирования:

2.1.3.ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА

ВПОЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

Внекоторых случаях вычислить двойной интеграл в полярных координатах легче, чем в декартовых.

Замечание. Переход к полярным координатам целесообразен, когда:

область D – круг, кольцо или их части;

подынтегральная функция имеет вид f (x2 y2 ) .

Используя формулы, связывающие полярные и декартовые коор-

x cos ,

динаты

y sin ,

грала в полярных координатах:

В этом случае подынтегральная функция будет зависеть от полярных координат и : f (x; y) f ( cos ; sin ) F( , ) . Точкам об-

ласти D R2 (x; y) соответствуют точки области D R2 ( ; ) ,

а dxdy d d .

25

Для расстановки пределов интегрирования из полюса проводят ограничивающие лучи и , записывают уравнения ли-

00

Информация об области D содержится в пределах интегрирования данного повторного интеграла. Очевидно, что неравенства 0 x R ,

0 y R2 x2 , соответствующие этим пределам, задают четверть

круга x2 y2 R2 , лежащего в первой координатной четверти. С помощью полярных координат область D можно описать следующими

неравенствами: 0 2 , 0 R . Тогда

d f ( cos , sin ) d .

00

26

Отметим, что при переходе к полярным координатам упростились (стали постоянными) все пределы интегрирования.

Построим область D (рис. 2.3). Запишем границы области D в по-

лярных координатах:

y

x2 y2 1 ( cos )2 ( sin )2 1 1,

полярных координатах: arctg xy arctg cossin arctg(tg ) .

В итоге будем иметь

27

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Перейти от двойного интеграла к повторному в полярных координатах, если задана область D:

(x; y) вычисляется по формуле

m (x;y)dxdy .

D

28

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y2 4x 4; x + y – 2 = 0.

Построим графики заданных функций.

y

0 x

Рис. 2.4

Линии пересекаются в двух точках (0; 2) и (8; –6). Таким образом, область интегрирования ограничена по оси Ох графиками кривых от

Пример. Вычислить площадь плоской области D, ограниченной кривой (x2 y2)2 2ax3 (a 0).

29

Перейдем в полярную систему координат. Чтобы перейти от уравнения заданной кривой (x2 y2)2 2ax3 в декартовых координатах к

ее полярному уравнению, нужно подставить в это уравнение вместо x, y их выражения из формул, связывающих полярные и декартовы координаты. Тогда полярное уравнение кривой примет вид

( 2 cos2 2 sin2 )2 2a 3 cos3

Поскольку – величина положительная, угол может изменяться только в тех пределах, для которых cos 0, т. е. 2 2 . Постро-

им эту линию по точкам, задавая углу некоторые значения из этого промежутка. Для вычисления значений составим таблицу.

Чтобы построить кривую, проводим из полюса лучи, соответству-

ющие выбранным значениям , и на каждом луче откладываем отрезки, равные вычисленным значениям полярного радиуса. Полученные точки соединяем плавной кривой. Область D симметрична относительно полярной оси (рис. 2.5), поэтому достаточно вычислить площадь верхней половины области D и результат удвоить.

Чтобы найти пределы интегрирования по переменной , проводим координатные -линии, т. е. линии, вдоль которых меняется только координата , а остается постоянной. Верхняя половина области D

ограничена лучами 1 0 и 2 2. Лучи, выходящие из начала коор-

30