Математический анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения. Учебно-методическое пособ

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Найти общее решение дифференциального уравнения:

Найти частное решение дифференциального уравнения, соответствующее заданным начальным условиям:

24)2(xy y) xy2 , y(1) 2.

3.2.5.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ВПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка вида

P(x;y)dx Q(x;y)dy 0 называется уравнением в полных дифферен-

циалах, если Q P . В этом случае левая часть уравнения представ-

x y

ляет собой полный дифференциал неизвестной функции u u(x;y) и уравнение можно рассматривать как du(x;y) 0. Тогда общий интеграл дифференциального уравнения имеет вид u(x;y) c .

Метод решения: Решение уравнения сводится к восстановлению функции по полному дифференциалу.

Первый способ восстановления функции по полному дифференциалу можно называть методом частного интегрирования, так как он основан

переменных. Решение уравнения этим способом приводится ниже. Пример. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

(2xy 1)dx (x2 3y2)dy 0.

Обозначим:

P(x; y) 2xy 1, Q(x; y) x2 3y2 .

51

Окончательно получаем функцию u(x; y): u(x; y) x2y x y3 C и общий интеграл дифференциального уравнения x2y x y3 C .

Второй способ восстановления функции u(x; y) по полному диф-

ференциалу основан на теории криволинейного интеграла второго рода (КИ-2). В теории криволинейного интеграла второго рода (КИ-2)

решение задачи о восстановлении функции u(x, y) по ее полному дифференциалу P(x; y)dx Q(x; y)dy дается явной формулой

A(x0; y0)

52

u Q(x; y). Причем точка A(x0; y0) фиксирована (хотя и произволь-

y

на), а B(x; y) – переменная точка. Путь AB, по которому ведется инте-

грирование в формуле, – произвольная кривая (КИ-2 не зависит от пути интегрирования).

Точку (x0; y0) выбирают так, чтобы легче было вычислять инте-

гралы, а путь интегрирования выбирают параллельно координатным осям.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Найти общее решение дифференциального уравнения:

27)xy2 dx xyx 1dy 0;

28)2x 1 xy2 dx 2y 1x dy 0 ;

29)3x2 2 cos 2x dx 2x cos 2x dy 0.

y y y2 y

Определить тип уравнения и найти общее решение:

32)y 2xy (3x2 2x 1)e x2 ;

33)sin2x 2cos(x y) dx 2cos(x y)dy 0;

53

54

Метод решения: используем подстановку y p(x), y p dpdx .

Применив эту подстановку к данному уравнению, получим уравнение первого порядка.

Пример. Найти решение уравнения, соответствующее заданным начальным условиям xy y 3, y(1) 0, y (1) 1.

Это уравнение имеет вид F(x; y ;y ) 0, т. е. не содержит явно у,

следовательно, можно понизить порядок этого уравнения, сделав подстановку:

y p(x), y p .

ренциальное уравнение, находим общее решение исходного дифференциального уравнения (ДУ):

Значит, общее решение дифференциального уравнения имеет вид y C1 x22 3x C2 .

Определим частное решение, соответствующее заданным начальным условиям. Для этого продифференцируем общее решение:

y C1 x22 3x C2 C1x 3.

56

dpdy p p p . Применив эту подстановку к данному уравнению, полу-

чим уравнение первого порядка.

Пример. Найти решение уравнения, соответствующее заданным начальным условиям 2yy (y )2 y2 0, y(0) 1, y (0) 1.

Это уравнение имеет вид F(y; y ; y ) 0, т. е. не содержит явно x , следовательно, можно понизить порядок этого уравнения, сделав подста-

уравнение будет уравнением первого порядка относительно неизвестной функции p p(y) аргумента y . Это однородное уравнение, и с помо-

щью подстановки p uy оно сводится к уравнению с разделяющимися переменными:

57

ных условий y(0) 1 составим равенство для определения константы C2 : ln1 0 C2 C2 0. Запишем частное решение, соответствую-

щее заданным начальным условиям ln y x yч ex .

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Найти общее решение дифференциального уравнения:

линейнымоднороднымдифференциальным уравнением второгопорядка.

Определение. Непрерывные функции a1(x),a2(x) называют коэф-

фициентами уравнения.

58

Решения этого уравнения обладают следующим свойством.

Если функции y1 y1(x) и y2 y2(x) являются частными решени-

ями уравнения y a1(x)y a2(x)y 0, то функция y с1y1(x) с2y2(x), где с1,с2 – произвольные постоянные, также является решением этого

уравнения.

это равенство выполняется при условии, что хотя бы одно из чисел 1 или 2 отлично от нуля, то функции y1 y1(x) и y2 y2(x) называ-

ются линейно зависимыми на (a;b).

Средством изучения линейной зависимости системы функций является определитель Вронского. Для двух дифференцируемых функ-

если дифференцируемые функции y1 y1(x) и y2 y2(x) линейно зависимы на (a;b), то определитель Вронского на этом интервале тождественно равен нулю;

если функции y1 y1(x) и y2 y2(x) – линейно независимые

решения уравнения y a1(x)y a2(x)y 0 на (a;b), то определитель

Вронского на этом интервале нигде не обращается в ноль. Совокупность любых двух линейно независимых частных решений

y1 y1(x) и y2 y2(x) линейного однородного дифференциального

уравнения второго порядка определяет фундаментальную систему решений (ФСР) этого уравнения. В этом случае общее решение yо.о это-

го уравнения имеет вид

yо.о с1y1(x) с2y2(x),

где с1, с2 – произвольные постоянные.

59

Частным случаем линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка являются уравнения с постоянными коэффициентами. Такое уравнение имеет вид

y py qy 0.

Коэффициенты уравнения p и q постоянны. Частным решением

дифференциального уравнения будет функция вида y ekx , где k – некоторое число. Решение дифференциального уравнения в этом случае сводится к решению алгебраического уравнения k2 pk q 0, которое называется характеристическим и получается заменой y , y

и y соответственно на k2,k и k0 .

При решении характеристического уравнения возможны три случая:дискриминант характеристического уравнения D 0. Тогда характеристическое уравнение имеет два действительных различных корня k1 k2 . Фундаментальная система решений состоит из двух

функций: y1 ek1x и y2 ek2x . Следовательно, общее решение диффе-

ренциального уравнения yо.о с1ek1x с2ek2x ;

дискриминант характеристического уравнения D 0. Тогда характеристическое уравнение имеет два действительных совпадающих корня k1 k2 . Фундаментальная система решений состоит из двух

функций: y1 ek1x и y2 xek1x . Следовательно, общее решение диффе-

ренциального уравнения yо.о с1ek1x с2xek1x ;

дискриминант характеристического уравнения D 0. Тогда характеристическое уравнение имеет два комплексных корня k1,2 i .

Фундаментальная система решений состоит из двух функций: y1 e x cos x и y2 e x sin x . Следовательно, общее решение дифференциального уравнения yо.о с1e x cos x с2e x sin x .

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения y 5y 6y 0.

60