Математический анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения. Учебно-методическое пособ

Проверим выполнение равенства из условия задачи:

1.3. ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

Для дифференцируемой функции f (x; y) в точке (х; у) полное приращение имеет вид

Определение. Полным дифференциалом дифференцируемой в точ-

ке M(x; y) функции z = f(x; y) называется главная часть полного приращения f, линейная относительно приращений х и у независимых переменных:

dz fx (x;y) x fy (x;y) y .

Для независимых переменных имеем x dx; y dy , тогда получим

dz fx (x; y)dx fy (x;y)dy .

11

Определение полного дифференциала легко обобщается на случай функции любого числа переменных. Например, для функции трех переменных u f (x; y; z) имеем

du ux dx uy dy uz dz .

Пример. Найти полный дифференциал функции z x2 y y2 .

При малых приращениях независимых переменных вычисление приращения функции заменяют вычислением ее дифференциала. Из определения дифференциала функции нескольких переменных следует, что

z f (x; y) => f (x;y) df (x;y) => f (x0; y0) df (x0; y0), u f (x; y; z) => f (x0; y0; z0) df (x0; y0; z0).

Эти соотношения позволяют получить формулы для приближенного вычисления значений функции:

f (x0 x; y0 y) f (x0; y0) df (x0;y0),

т. е. f (x0 x;y0 y) f (x0; y0) fx (x0; y0) x fy (x0; y0) y .

Пример. Вычислить приближенное значение выражения: (1,03)3,001 . Для ответа на поставленный вопрос рассмотрим функцию

z(x; y) x y .

12

Используем формулу для вычисления приближенного значения функции:

f (x0 x; y0 y) f (x0; y0) fx (x0; y0) x fy (x0; y0) y .

Имеем x 1,03, y 3,01. Выберем x0 1, y0 3, тогда z(x0; y0) z(1;3) 13 1;

Вычислить приближенно: 24) (3,01)2(0,98)4 ; 25) 3,032 3,952 .

13

1.4. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ

Определение. Касательной плоскостью к поверхности Q в дан-

ной точке M0(x0; y0; z0) называется плоскость, которая содержит

касательные ко всем кривым, проведенным на поверхности через эту точку (рис. 1.2).

Определение. Нормалью к поверхности Q в данной точке M0(x0; y0; z0) называется прямая, проходящая через эту точку пер-

пендикулярно к касательной плоскости, проведенной в точке M0 поверхности (рис. 1.2).

Рис. 1.2

Если поверхность задана явно уравнением z f (x; y), где f(x; y) –

функция, дифференцируемая в точке М0(х0; у0), то уравнение касательной плоскости имеет вид

z f (x0; y0) fx (x0; y0)(x x0) fy (x0; y0)(y y0).

Уравнение нормали к поверхности в этой точке:

F(x; y; z) 0, то уравнение касательной плоскости примет вид

Fx (x0;y0; z0)(x x0) Fy (x0;y0; z0)(y y0) Fz (x0;y0; z0)(z z0) 0.

14

Уравнение нормали к поверхности в этой точке:

Пример. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z x2 3y2 в точке, соответствующей x 1, y 1.

Поверхность задана уравнением z f (x; y), разрешенным относительно z (т. е. в явном виде), а точка касания М имеет координаты

Итак, точка касания имеет координаты М (1; 1; 4).

Вычислим значения частных производных в точке касания:

Тогда уравнение касательной плоскости примет вид

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Написать уравнения касательных плоскостей и уравнения нормалей к следующим поверхностям в указанных точках:

26)z ln(5 x3y2) ln4, M0(1;1;0);

27)z x5y2 3xy , M0(1;1;4);

28)z earcsin(2x 3y) , M0(0;0;1);

29)xy x3 y3 2z3 1, M0(2;1;1);

30)14arctg x y2 16 z4 0, M0(1;1; 1);

15

1.5. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Определение. Если для функции z = f(x; y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М0(х0; у0) верно неравенство

f (x0;y0) f (x,y),

то точка М0 называется точкой максимума.

Определение. Если для функции z = f(x; y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М0(х0; у0) верно неравенство

f (x0,y0) f (x,y),

то точка М0 называется точкой минимума.

ТЕОРЕМА (необходимые условия экстремума). Если М0(х0; у0) –

точка экстремума, то

Эту точку М0(х0; у0) будем называть критической точкой.

ТЕОРЕМА (достаточные условия экстремума). Пусть в окрест-

ности точки М0(х0; у0) функция f (x; y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Обозначим:

тремум, при этом если A 0 – максимум, если А 0 – минимум.

16

2.Если D(x0;y0) 0, то в точке (х0; у0) функция f(x; y) не имеет экстремума.

3.В случае, если D = 0, вывод о наличии экстремума сделать нельзя.

Пример. Найти экстремум функции z x3 y3 3xy .

Функция z z(x; y) – функция двух независимых переменных. Найдем критические точки функции, т. е. точки, для которых выполня-

Получим критические точки М(0; 0) и N(1; 1). Чтобы выяснить, будут ли найденные точки точками экстремума, проверим выполнение достаточного условия экстремума. Для этого вычислим значения вторых частных производных в точках М и N.

Вычислим вторые частные производные:

D(N ) 6 6 ( 3)2 12 9 3 0,

следовательно, в точке N экстремум есть, а именно минимум, так как

A > 0; z(N ) 1 1 3 1.

17

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Найти экстремум функции:

1.6. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ В ЗАМКНУТОЙ ОБЛАСТИ

Согласно теореме всякая непрерывная в замкнутой области D функция достигает в этой области своих наибольшего и наименьшего значений, причем эти значения будут либо внутри области D, либо на ее границе.

Следовательно, чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции z f (x; y) в ограниченной замкнутой области D , следует

вычислить значения функции в критических точках области D , а также определить наибольшее и наименьшее значение на ее границе.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значение функции z 10 2xy x2 в замкнутой области D, заданной системой неравенств

y 4 x2,

y 0.

Функция z непрерывна в замкнутой области D. Значит, она достигает в этой области своих наибольшего и наименьшего значений. Эти значения функции принимают либо в критических точках внутри об-

18

y

4

y 0.

Итак, имеется одна критическая точка О(0; 0), лежащая на границе области D.

3. Переходим к исследованию границы области D. Граница области

D включает в себя отрезок АВ и дугу АВ параболы.

а) На отрезке AB : y 0, подставим это значение в функцию z, тогда она примет вид

z 10 x2 , х [ 2;2].

Так как на этом отрезке функция z непрерывна, то она принимает на нем как наибольшее, так и наименьшее значение.

zx 2x ; 2x 0 критическая точка (0; 0).

Эта точка уже была найдена. Нас интересуют концы отрезка

A( 2; 0) и B(2;0) .

б) На участке дуги параболы АВ: y 4 x2 функция z принимает

вид

z 10 2x(4 x2) x2 10 8x 2x3 x2 2x3 x2 8x 10 , х [ 2; 2];

zx 6x2 2x 8.

19

Находим критические точки: 6x2 2x 8 0. Получим

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области D, ограниченной линиями, заданными системой уравнений:

y 3 1 x2

35) z 3xy 3x2 1; 3 ;

y 0

20