Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математический анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения. Учебно-методическое пособ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Вычислить следующие криволинейные интегралы:
31)	(x3 2xy)dx (2xy y2)dy , где L – дуга параболы		y x2, от
	L
точки А(1; 1) до точки В(2; 4);
32)	(4 y)dx xdy , где L – первая арка циклоиды	x 2(t sint),
	L

y 2(1 cost).

Вычислить криволинейные интегралы, используя формулу Грина:

33)	(x y)dx (x y)dy , где L: y 4 x2, y 0;
	L
34)	( x2y)dx xy2dy , где L: x2 y2 9 (против часовой стрелки).
	L
35)		{х, у, х у 2} при перемещении
	Вычислить работу силы F

точки вдоль отрезка прямой из точки А(0; 0; 0) в точку B(1; 2; –1).

36) Вычислить площадь фигуры, ограниченной астроидой x 4cos3 t, y 4sin3 t .

37) Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом x 5cost, y 2sint .

§ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

			3.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Определение.			Обыкновенным	дифференциальным			уравнением

(ДУ) первого порядка называется равенство вида F(x; y; y ) 0, свя-
зывающее		независимую переменную			x ,	неизвестную	функцию
y y(x)	и ее производную y (по			x ). Здесь		F заданная (известная)
функция.
Определение. Решением дифференциального уравнения в интерва-
ле (a;b)	(конечном или бесконечном) называется любая функция
y y(x) ,	определенная и дифференцируемая в интервале						(a;b), т. е.
имеющая в		(a;b)			которая удовлетворяет этому
			производную y (x),

уравнению. Термин «удовлетворяет» означает, что функция y y(x) при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Пример. Проверить, является ли функция y sinx решением ДУ y y 0.

Поскольку для любого x ( ; )		y cosx, y sinx , равен-
ство y y 0 принимает вид	sin x sin x 0 , т. е. является тожде-
ством при x ( , ). Значит,	функция	y sinx является решением
ДУ y y 0.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения называется функция y (x;C), где C – произвольная постоянная,

если:

1)при любом допустимом значении постоянной C функция(x;C) является решением ДУ;

2)для любого начального условия y(x0) y0 существует такое

значение С0 постоянной C, что решение y (x;C0) удовлетворяет этому начальному условию: (x0;C0) y0 .

Определение. Частным решением ДУ называется решение, которое получается из общего решения ДУ при каком-либо конкретном допустимом значении произвольной постоянной C .

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Проверить, будет ли функция y y(x) решением дифференциального уравнения:

y cosx , y

sinx

x ; 2) y

2y e

, y e

;

yy x 2x3,

y x

1 x2 ; 4)

(x y)dx xdy 0,

y x(1 ln

3.2. ТИПЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

3.2.1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка вида

dy f (x) f		2	(y),	или	M	1	(x)M	2	(y)dx N (x)N	2	(y)dy 0	называется
dx	1	2				1		2	1	2
dx

дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Метод решения: разделить переменные x и y.

Решение проводится в два этапа.

Первый этап: разделяем переменные x и y. Это означает, что с помощью операций деления и умножения уравнение приводим к такой форме, чтобы в одну часть, например правую, входили только функции, зависящие от x и дифференциал dx , а в другую часть – только

функции, зависящие от y , и дифференциал dy . Такое уравнение называется уравнением с разделенными переменными.

Второй этап: интегрируем правую часть по x , а левую по y .


Соотношение f1(x)dx		dy		С есть общий интеграл диффе-
		f2(y)
ренциального уравнения dy f
		(x)f	2	(y).
dx	1
Аналогично получим, что		общий интеграл дифференциального

уравнения M1(x)M2(y)dx N1(x)N2(y)dy 0 выражается равенством

	M (x)			N (y)
		N1(x)	dx	2	dy C .
				M (y)
		1		2
Заметим, что при		разделении		переменных мы полагали, что

f2(y) 0 и M2(y)N1(x) 0. Если не учитывать это обстоятельство, то

можно потерять некоторые отдельные решения. Если эти решения нельзя получить из общего интеграла при некотором значении константы С, то их следует присоединять к семейству решений, определяемых полученной формулой, как дополнительные отдельные решения.

Пример. Найти частное решение уравнения (1 ex )ydy

e x (1 y2)dx , удовлетворяющее начальным условиям y |x 0 3 .

Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, так как коэффициент при dx представляет собой произведение

двух функций: ex , которая зависит только от x , и (1 y2), которая зависит только от y . Аналогично коэффициент при dy тоже будет

произведением двух функций: (1 ex ) , зависящей только от x , и (1 y2), зависящей только от y .

Разделим обе части уравнения на (1 ex )(1 y2) и получим уравне-


ние с разделенными переменными:		ydy		exdx		.
ние с разделенными переменными:	1	y2	1		ex	.
	1	y2	1		ex

			ydy		exdx
Проинтегрируем это уравнение:							lnC (в этом слу-
Проинтегрируем это уравнение:		1	y	2	1 e	x	lnC (в этом слу-
		1	y		1 e
чае произвольную постоянную удобнее записать в виде ln C).
1ln(1	y2) ln(1 ex ) lnC ln 1 y2 lnC(1 ex )
2
	1 y2 C(1 ex ) .

Получили общий интеграл (решение, полученное в неявном виде) исходного уравнения. Так как (1 ex )(1 y2) 0, то никаких дополни-

тельных решений не было потеряно.

Найдем частное решение по заданным начальным условиям (решение задачи Коши). Для этого подставим начальные условия y |x 0 3 в общий интеграл и получим равенство для определения константы:

1 3 2 C(1 e0) 2 С 2 С 1.

Таким образом, частный интеграл, соответствующий заданным начальным условиям, имеет вид 1 y2 1 ex .

Если полученное равенство разрешить относительно y , то получим частное решение дифференциального уравнения: y (1 ex )2 1.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Найти общее решение дифференциального уравнения: 5) (1 y2)dx xdy ; 6) (y2 xy2)y x2 yx2 0;

7) (1 y2)dx 2xy dy 0.

Найти частное решение дифференциального уравнения, соответствующее заданным начальным условиям:

8) (1 ex )yy ex ,	y 0 ln2; 9)	y sinx y ln y ,	y			e .
				2

3.2.2. ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка вида y f (x;y) называется однородным, если функция f (x;y) удовлетво-

ряет условию f (kx; ky) f (x;y). Такое уравнение может быть приве-

дено к виду y	f	y	.
		x

Однородное дифференциальное уравнение (ОДУ) часто задается в дифференциальной форме:

P(x;y)dx Q(x;y)dy 0,

где P(x;y) и Q(x;y) – однородные функции одного порядка.

Метод решения. Однородное дифференциальное уравнение первого порядка с помощью подстановки u xy приводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример. Решить уравнение y

x2 y2

xy .

Правая часть уравнения обладает свойством

f (kx; ky) f (x;y):

t2x2

2y2

t2(x2 y2)

x2 y2

f (tx;ty)

t2xy

f (x;

y) .

txty

Чтобы решить это уравнение, сделаем подстановку:

u x

u x u.

Уравнение примет вид

x2 u2x2

1 u2

u x u

u x

xux

1 u2 u

u x

dx x

xdu u .

Решим полученное уравнение с разделяющимися переменными.

udu ln

Учитывая, что u xy , вернемся к первоначальной переменной и запишем общий интеграл дифференциального уравнения:

1 y 2 ln x C . 2 x

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Найти общее решение дифференциального уравнения:

10)

y ;

11)

) y(2x

);

2xy (x

12)

xy )dx xdy 0 ;

13)

2xy

3x2

Найти частное решение дифференциального уравнения, соответ-

ствующее заданным начальным условиям:

14)

dy 0, y(1) 0.

x y cos

dx x cos

3.2.3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка вида y p(x)y q(x) называется линейным дифференциальным уравнением

первого порядка (функция y и ее производная y входят в уравнение в первой степени).

Определение. Если q(x) 0, то уравнение y p(x)y 0 называется

линейным однородным (ЛОДУ), если q(x) 0, уравнение y p(x)y

q(x) называется линейным неоднородным (ЛНДУ). Отметим, что ЛОДУ являются уравнениями с разделяющимися переменными.

Метод решения. Решение ЛНДУ можно найти с помощью подста-

новки Бернулли: y u(x)v(x) , где u(x)

и v(x) – неизвестные ненуле-

вые функции.

Подставляя y uv и y

в уравнение, перепишем его в

u v uv

виде

p(x)uv

q(x) .

u v uv

Надо сгруппировать слагаемые по одной из переменных. Напри-

мер, сгруппируем слагаемые при u :

p(x)v) q(x). Полагая

u v u(v

p(x)v 0,

получим, что

Таким образом,

неизвестные

u v q(x).

функции u(x)

и v(x) определяются из системы

v vp(x) 0,

q(x).

u v

Пример. Найти общее решение уравнения

y 2xy xe x2 и част-

ное решение,

соответствующее

начальным условиям

y(0) 1. Это

уравнение является линейным. Будем искать решение уравнения в ви-

де произведения двух функций:

y uv

После этой

u v uv

подстановки данное уравнение примет вид u v v u 2xuv

2xv) xe

и составим

Сгруппируем слагаемые при u: u v

u(v

систему для нахождения функций u и v :

v 2xv 0,

u ev

Найдем одну из функций v ,

решая первое уравнение системы:

v 2xv 0 (это уравнение с разделяющимися переменными).

dv 2xv 0 dv 2xvdx

2xdx

v e x2 .

Подставим найденную функцию во второе уравнение системы: u e x2 xe x2 u x dudx x du xdx u x22 C .

Учитывая, что y uv , получим общее решение данного уравнения:

				2				2
y			x		C e x				.
y					C e x				.

		2
Найдем частное решение, соответствующее начальным условиям
y(0) 1 (решение задачи	Коши).					Подставим начальные условия в
найденное общее решение:			0				0	. Из полученного равенства
найденное общее решение:	1			2		С e		. Из полученного равенства
				2

определим С 1. Таким образом, частное решение, соответствующее

	x	2
заданным начальным условиям, имеет вид y	x		1 e x2 .
заданным начальным условиям, имеет вид y			1 e x2 .
	2
	2

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Найти общее решение дифференциального уравнения:

15)	y	y	xsinx ; 16) y y ctgx 2xsinx ; 17)			y y tgx cos2 x .
		x
Найти частное решение дифференциального уравнения, соответ-
ствующее заданным начальным условиям:
		y	x2 , y(1) 0; 19) y	y
18)	y				ex (x 1),	y(0) 2 .
		x		x 1

3.2.4. УРАВНЕНИЯ БЕРНУЛЛИ

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка вида

y p(x)y g(x)y	( const, 0, 1) называется		уравнением
Бернулли.
Подчеркнем, что число		не обязательно целое; для нецелого
считаем, что y 0.	Условия	0, 1 существенны,	так как при

0, 1 ДУ является линейным и нового типа дифференциальных уравнений не получаем.

Метод решения. Как и линейное ДУ первого порядка, уравнение

Бернулли можно решить с помощью подстановки				y(x) u(x)v(x), где
u(x)	и v(x)	– неизвестные ненулевые функции. Неизвестные функции
			v vp(x) 0,
u(x)	и v(x)	определяются из системы			(смотри выше

			u v q(x)(uv)

решение линейных ДУ первого порядка).

Пример. Найти общее решение уравнения y xy x2y4 .

Это

уравнение Бернулли, где

Положим y uv , тогда

и после группировки слагаемых уравнение примет вид

u v

vu u v

Для поиска неизвестных функций u(x)и v(x) составим систему

Из первого уравнения системы найдем v x (самостоятельно).

Подставив v x во второе уравнение системы, получим u x5u4 . Разделяем переменные и интегрируем:

du	x5dx	1			x6	C .
u4		3u	3
				6

Так как u vy xy , найдем общий интеграл уравнения в виде

y13 x23 xC3 .

Если разрешить его относительно y, получим общее решение ДУ.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]