Следует заметить, что таблицу первого шага достаточно было заполнить для начального состояния ξ0* = 40 млн руб. Полная таблица первого шага дает решения не одной задачи, а множества задач с любыми значениями ξ0* от 10 до 40. Так, если начальная сумма ξ0* = 30 млн руб., то, проводя безусловную оптимизацию по трем таблицам, получим оптимальное распределение u* = (10,10,10). При увеличении начальных средств до 50 необходимо в каждой к-й таблице добавить еще одну секцию, соответствующую начальному состоянию ξk −1 = 50.

4.5.3. Задания для решения задачи о распределении ресурсов

Решить задачу распределения ресурсов по следующим данным:

1)ξ0 = 40 млн руб.;

2)n = 3;

3)средства выделяются только в размерах, кратных 10 млн руб.;

4)функции дохода заданы таблично:

86

87

4.6.ЗАДАЧАОЗАМЕНЕОБОРУДОВАНИЯ

4.6.1. Постановка задачи озамене оборудования

Важной практической задачей является определение оптимальных сроков замены старых станков, производственных зданий, агрегатов, машин и т. д., другими словами, своевременная замена старого оборудования на новое. Решение о замене оборудования принимается на основе анализа производительности этого оборудования, эксплуатационных расходов, его остаточной (ликвидной) стоимости, которая зависит от возраста, и стоимости нового оборудования. Критерием оптимальности при определении сроков замены может служить либо прибыль от эксплуатации оборудова-

88

ния, которую следует максимизировать, либо суммарные затраты на эксплуатацию в течение планируемого периода, подлежащие минимизации.

Построение математической модели

Построим модель ДП для следующей задачи о замене оборудования. Определить оптимальные сроки замены оборудования в течение n лет, при которых прибыль от эксплуатации оборудования максимальна, если известны: P – стоимость нового оборудования; f (t) – стоимость производимой продукции на оборудовании возраста t лет; r(t) – ежегодные затраты на эксплуатацию оборудования возраста t лет; ϕ(t) – ликвидная стоимость оборудования возраста t лет.

При составлении модели динамического программирования процесс замены рассматриваем как n-шаговый процесс. В начале каждого промежутка (года, месяца и т. д.) принимается решение либо о сохранении обо-

рудования (uc ), либо о его замене (u з) , поэтому управление на k-м шаге содержит всего лишь две альтернативные переменные. Функциональные уравнения благодаря этому содержат две величины: одна выражает условную прибыль (и/или условные затраты) при сохранении оборудования, другая – тот же показатель при замене оборудования.

Состояние системы в начале k-го шага ξk −1 = t – возраст оборудова-

ния. В конце k-го шага под влиянием управления uc система перейдет в состояние ξk = t +1 (возраст оборудования увеличится на один год).

Под влиянием управления u з система из состояния ξk −1 = t перейдет в состояние ξk =1 (замену произвели в начале k-го года, возраст нового оборудования равен одному году).

В результате уравнение состояний имеет вид

89

Используя обратную вычислительную схему, получим рекуррентные соотношения Беллмана:

4.6.2. Пример решения задачи озамене оборудования

Решить задачу о замене оборудования, если n = 5, P = 10, ϕ(t) = 0, а разность Φ(t) = f (t) −r(t) задана таблично:

Этап I. Условная оптимизация (движение от конца к началу).

С помощью уравнений Беллмана вычисляем последовательно для всех допустимых состояний:

F5*(ξ4 ),u5*; F4*(ξ3),u4* ; F3*(ξ2 ),u3*; F2*(ξ1),u2* ; F1*(ξ0 ),u1* .

90

Уравнение Беллмана для шага k = 5 имеет вид

Φ(0) − P, u5 =uз.

Поскольку начальное состояние 5-го шага ξ4 есть возраст оборудова-

Вычисление Fk*(ξk −1) для k = 4, 3, 2, 1 усложняется тем, что необхо-

димо учитывать значения Fk*+1(ξk ), полученные на предыдущих шагах. Запишем эти вычисления для шага k = 4.

Уравнение Беллмана имеет вид

91

и т. д. Заметим, что для случая ϕ(t) = 0 выражение, соответствующее u з, принимает постоянное значение при фиксированном значении k. Вычисления оформляем в общую таблицу:

92

Этап II. Безусловная оптимизация (движение от начала к концу).

Используя уравнения состояний, восстанавливаем безусловное оптимальное управление:

ξ0* = 0 →u1*(0) = uc →ξ1* =1 →u2* (1) = uc →ξ2* = 2.

Как видно из таблицы, для состояния ξ2* = 2 условное оптимальное управление имеет два значения: uc и u з.

Сначала рассмотрим случай u3*(2) = uз :

u3*(2) = uз →ξ3* =1 →u4* (1) = uc →ξ4* = 2 →u5*(2)= uc →ξ5* = 3.

Получено оптимальное управление (u')* = (uc ,uc ,u з,uc ,uc ) .

В случае u3*(2) = uc состояние ξ3* = 3. Этому состоянию также соответствуют два значения условного оптимального управления.

Рассмотрим оба случая:

u4* (3) = uc →ξ4* = 4 →u5*(4) = uc →ξ5* = 5,

получено оптимальное управление (u'')* = (uc ,uc ,uc ,uc ,uc ) ;

u4* (3) = uз →ξ4* =1 →u5*(1) = uc →ξ5* = 2 ,

получено оптимальное управление (u''')* = (uc ,uc ,uc ,u з,uc ) .

В результате восстановление оптимальных управлений дает три оптимальных варианта эксплуатации оборудования в течение 5 лет:

(u')* = (uc ,uc ,u з,uc ,uc ), (u'')* = (uc ,uc ,uc ,uc ,uc ) , (u''')* = (uc ,uc ,uc ,u з,uc ) .

93