4. Запись условий (ограничений):

n

∑ aij xj ≥bi ,i =1,m –

j=1

n

суммарное количество i-й питательной компоненты ∑ aij xj , полученное

j=1

из всех продуктов, имеющихся в количестве x1,…, xn, должно обеспечить bi – требуемое количество i-й питательной компоненты в рационе;

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, ...xn ≥ 0 –

отрицательное количество j-го продукта xj, не имеет содержательного смысла.

5. Запись критерия моделирования (целевой функции):

L =c1x1 +c2 x2 +...+cn xn →min –

минимизация суммарной стоимости использованных продуктов.

1.4.2.Задания для самостоятельной работы

1.Задача оптимизации плана производства I

Фирма производит продукцию различных видов в различных цехах и поставляет ее различным потребителям. Затраты на производства различны, потребности заданы. Цены реализации потребителям договорные. Составить оптимальный план производства продукции.

2. Задача о распределении работ

Имеется известное количество работ и список исполнителей. Каждый исполнитель может выполнять любую работу, но с разными затратами.

Распределить исполнителей по работам так, чтобы суммарные затраты по выполнению были минимальны.

23

3. Задача оптимизации плана производства II

Рассматривается производство продукции различных видов из сырья различных видов. Запасы сырья доставляются из нескольких пунктов. Известны стоимости доставки партии сырья и себестоимости производства единицы продукции. Составить оптимальный план производства продукции.

4. Задача о распределении произведенной продукции

Предприятия производят разные виды продукции из различных видов сырья. Известны запасы сырья и нормы расхода сырья для производства продукции каждого вида. Произведенная продукция должна быть развезена на склады ограниченной вместимости. Затраты на доставку различны. Распределить произведенную продукцию по складам оптимально.

5. Задача о распределении самолетов

Аэрофлот имеет разные типы самолетов и обслуживает разные маршруты. Известны затраты на эксплуатацию каждого самолета на каждом маршруте и прибыль, получаемая при выполнении данного маршрута. Распределить самолеты по маршрутам оптимально.

6. Распределение информации в памяти ЭВМ I

Рассматривается многоступенчатая система хранения данных: на верхнем уровне используются запоминающие устройства (ЗУ) большого объема, но с малым быстродействием, на нижнем уровне– ЗУ небольшого объема, но с большим быстродействием. Распределить заданные массивы информации по уровням памяти оптимально.

7. Распределение информации в памяти ЭВМ II

Пусть имеются массивы информации различных типов с заданными объемами массива. Память разного типа характеризуется быстродействием, емкостью и стоимостью единицы памяти, общая стоимость памяти не должна превышать заданной величины. Распределить массивы информации по уровням памяти оптимально.

24

8. Задача проектирования схемы устройства

Проектируемое устройство состоит из различных модулей 2-го уровня, модули 2-го уровня компонуются из различных модулей 1-го уровня. Задано минимальное число модулей каждого типа 2-го уровня, требуемых для компоновки схемы устройства, известно число модулей каждого типа 1-го уровня, из которых можно скомпоновать один модуль 2-го уровня, известны стоимости одного модуля каждого типа 1-го уровня. Задача состоит в минимизации стоимости устройства.

9. Задача размещения модулей на плате

Пусть размещению на плате подлежит заданное число модулей. По известной принципиальной схеме определяется матрица связей, где элемент матрицы – это число связей между i-м и j-м модулями. Все модули должны быть размещены на плате, разбитой на позиции. Задана матрица стоимостей «прокладки» одной линии связи между любыми модулями, размещёнными в различных позициях. Составить модель размещения модулей на плате, обеспечивающую минимизацию суммарной стоимости связей.

10. Задача о размещении складов

Планируется построение складов известной емкости в различных местах. Затраты на построение склада данной емкости и в данном месте различны. Выбрать такие места для расположения складов, чтобы выполнить заказ на суммарную емкость ичтобы суммарные затраты были минимальны.

11. Распределение задач между узлами АСУ

Автоматизированная система управления (АСУ), состоящая из нескольких узлов, решает задачи разных типов. Пусть известны затраты на решение каждой задачи в каждом узле, допустимые затраты в каждом узле, время, необходимое для решения каждой задачи в каждом узле, допустимое время решения каждой задачи. Оптимизировать распределение задач.

25

12. Разбиение АСУ на блоки

АСУ состоит из различных элементов. Число соединений между элементами, определяемое структурой АСУ, задается симметричной квадратной матрицей. Из условий эксплуатации системы следует, что целесообразно разбить АСУ на блоки, в каждом из которыхсодержится не более заданного числа элементов. При разбиении системы наблоки одни связи окажутся внутриблочными, другие – внешними. Задача: минимизировать число внешних соединений (или максимизировать число внутренних связей).

13. Установление этапности ввода в строй АСУ

Пусть намечено несколько очередей ввода в строй АСУ, функции системы определяются несколькими задачами (количество задач больше очередей ввода).

Пусть задан объем каждого ресурса, который можно использовать при вводе в строй каждой очереди АСУ, известен ожидаемый эффект от внедрения каждой функции АСУ, известен объем каждого ресурса, необходимый для реализации каждой функции системы. Установить ввод в строй очередей АСУ так, чтобы получить максимальный экономический эффект.

14. Задача оптимального резервирования I

Система состоит из элементов. Определить количество элементов каждого типа, обеспечивающее минимизацию суммарных затрат на резерв при заданном ограничении на показатель надежности системы, если известны затраты на один элемент каждого типа и значение показателя надежности по каждому типу элемента.

15. Задача оптимального резервирования II

Система состоит из элементов. Пусть известны затраты на один элемент каждого типа, вероятность отказа элемента каждого типа, общие затраты на все элементы. Определить число элементов каждого типа, которые нужно держать в резерве, чтобы максимизировать показатель надежности системы при заданных ограничениях на затраты.

26

16. Распределение капиталовложений

Общую сумму капиталовложений необходимо распределить между объектами, потребности которых определяются заданными суммами. Известны ожидаемые прибыли. При этом на каждый объект капиталовложения либо выделяются в необходимой сумме, либо совсем не выделяются. Найти распределение капиталовложений с максимальной прибылью.

17. Задача оптимального планирования

Имеется фирма в составе двух предприятий, производящих различные виды продукции. Каждое предприятие для производства продукции использует свои внутренние, локальные ресурсы (к примеру, рабочую силу и оборудование). Кроме того, предприятия совместно потребляют некоторый лимитированный ресурс (сырьё). Определить план производства продукции, дающий максимальную прибыль.

18. Производство оптимального набора продуктов

Фабрика может производить различные виды продуктов, располагая для этого различными видами ресурсов в заданном количестве. Для производства продуктов могут быть использованы несколько технологических способов. Заданы величины, характеризующие нормы расхода ресурсов на единицу каждого продукта при изготовлении его различными способами. Известна цена единицы каждого продукта. Составить модель задачи по определению оптимального набора продуктов и способов их производства из условия максимизации товарной продукции при дополнительном условии, согласно которому любой продукт либо должен производиться в количестве, не меньшем заданной величины, либо совсем не производиться.

19. Размещение производства

Имеются пункты потребления, потребности которых в некотором продукте измеряются заданными величинами. Для удовлетворения этих

27

потребностей могут быть использованы несколько пунктов возможного производства продукта. Задана матрица затрат на перевозки единицы продукта из пункта производства в пункт потребления. Предполагается, что в каждом пункте возможны несколько взаимоисключающих вариантов производства с заданными объемами. Определить оптимальный план размещения производства из условия минимизации затрат на транспортировку продукта.

20. Оптимизация использования бревен

Требуется распилить брёвна заданной длины, каждое на брусья разных размеров, которые должны быть изготовлены в заданном ассортименте. Составить модель для определения оптимального плана распила из условия максимального числа брусьев в заданном ассортименте.

21. Задача загрузки станков

Ткацкая фабрика располагает станками первого типа и станками второго типа. Станки могут производить различные виды тканей. Каждый тип станка может производить любой из видов ткани, но в неодинаковом количестве. Каждый метр ткани приносит заданную прибыль. Задан план производства фабрики в единицу времени. Требуется распределить загрузку станков производством тканей различного вида так, чтобы прибыль в единицу времени была максимальна.

22. Задача о выборе производственной программы

Имеются предприятия, на которых нужно произвести продукты в заданном ассортименте. Известна производительность каждого предприятия в единицу времени. Предполагается, что каждый продукт может производиться хотя бы на одном предприятии. Требуется получить максимальный суммарный объем продукции в заданном ассортименте в единицу времени.

28

23. Задача распределения удобрений

Имеется ограниченное количество удобрений, которое необходимо распределить между посевами различных овощей. Суммарная площадь посева фиксирована. Известны цены реализации единицы овощей и цены единицы удобрений. Урожайность зависит от количества внесенных на единицу площади удобрений. Продукция должна быть получена в определенном ассортименте. Найти способ распределения земель и удобрений, при котором суммарный доход от продажи овощей будет максимален.

24. Оптимизация машинного парка

Имеются различные типы машин в заданных количествах и виды работ, подлежащих выполнению в заданных объёмах. Задана производительность каждой машины на каждой работе, задана себестоимость выполнения единицы каждой работы машиной каждого типа и стоимость одной машины каждого типа. Составить математическую модель задачи по определению оптимального машинного парка (т. е. количество машин каждого типа) и оптимального его распределения по указанным работам из условия минимизации суммарной стоимости (машинного парка и произведенных работ).

25. Задача о выборе производственной программы

Из ограниченных запасов сырья различных видов производятся изделия различных видов. Известны расходы сырья на производство единицы изделия. Известна прибыль от единицы каждого изделия, выпущенного по плану, и прибыль от изделия, выпущенного сверх плана. Найти план выпуска изделий с максимальной суммарной прибылью.

26. Задача о производстве и распределении продукта

Фирма по заготовке сырья имеет пункты, затраты на заготовку единицы сырья в которых различны. Мощности пунктов ограничены. Фирма имеет обязательства перед пунктами потребления сырья по заданным пар-

29

тиям поставок. Обеспечить потребителей сырьем с минимальными затратами на заготовку.

27. Производственная программа и план перевозок

Предприятия могут производить продукцию в урочное время в заданных количествах и дополнительно в сверхурочное время в заданных количествах. Известны затраты на производство единицы продукции по предприятиям при работе в урочное время и соответственно на 50 % выше при работе в неурочное время. Продукция должна быть доставлена потребителям в заданных количествах. Транспортные расходы за перевозку единицы продукции от предприятия потребителю заданы. Определить оптимальную производственную программу предприятий и оптимальный план перевозок.

28. Задача о выпуске экспериментальных товаров

Фирма планирует производство экспериментальной партии товаров. Каждый товар может производиться в единственном числе. Затраты на производство каждого товара различны. Цены реализации товаров различны. Фирма ограничена в средствах. Выбрать для производства те товары, реализация которых даст максимальную прибыль.

29. Построение вычислительного устройства

Устройство должно состоять из блоков, выполняющих последовательно определенные функции. Имеются различные варианты выполнения каждого блока, отличающиеся схемным решением. Заданы ограничения в отношении максимальной стоимости, максимальных габаритов, максимального времени выполнения устройством всех функций. Известны данные по стоимости, габаритам и времени вычисления функций для каждого блока при каждом варианте его выполнения. Сформулировать возможные варианты оптимального построения вычислительного устройства.

30

30. Оптимизация распределения машин по маршрутам

Имеются маршруты, по каждому из которых необходимо совершить заданное количество рейсов, и машины, каждая из которых может быть использована в течение заданного времени (количества часов). На выполнение каждой машиной рейса по каждому маршруту требуется заданное время при заданных затратах. Распределить машины по маршрутам оптимально.

31. Задача о выборе поставщиков

Фирма по производству хлебобулочных изделий имеет несколько поставщиков сырья. Закупочные цены на сырье различны, стоимость доставки единицы сырья различна. Фирма имеет обязательства перед поставщиками о минимальном объеме закупки сырья. Известны расходы сырья на единицу каждого хлебобулочного изделия. Производственные и финансовые возможности фирмы ограничены. Составить план производства изделий с максимальной прибылью.

32. Задача об обслуживании автопарка

Фирма имеет авторемонтные мастерские, которые обслуживают автотранспортные депо. Затраты на техническое обслуживание и ремонт в различных мастерских различны. Автопарк в каждом депо ограничен. Распределить машины из депо по мастерским так, чтобы суммарные затраты фирмы были минимальны.

33. Минимизация себестоимости обработки изделий

Найти оптимальную программу обработки различных изделий на взаимозаменяемых станках при заданных исходных данных: норма времени для обработки одного изделия на данном станке, себестоимость обработки одного изделия на станке, общее время работы станка, план обработки изделий данного типа, прибыль, получаемая при реализации одного изделия. В качестве критерия оптимальности выбрать минимум себестоимости.

31

34. Размещение и транспортировка продукции

Для удовлетворения спроса потребителей продукции могут быть использованы имеющиеся предприятия с известными производственными мощностями. Заданы транспортные затраты на доставку и производственные затраты на единицу продукции. Составить модель задачи по определению оптимального плана размещения производства и транспортировки продукции из условия минимизации суммарных затрат.

35. Распределение заданий между швейными фабриками

Плановое задание по изготовлению моделей костюмов необходимо распределить между швейными фабриками. Производственные мощности каждой фабрики позволяют за рассматриваемый отрезок времени выпустить разное количество костюмов заданной модели. Известны цены, ассортиментные отношения планового задания на костюмы и себестоимости изготовления заданной модели на каждой фабрике. Составить оптимальный план загрузки фабрик, обеспечивающих максимальное число комплектов костюмов.

36. Задача о распределении устройств

Предприятие планирует ремонт технических устройств в мастерских. Затраты на ремонт технических устройств в различных мастерских различны, время ремонта различно. Средства на ремонт ограничены. Составить план распределения технических устройств по мастерским так, чтобы суммарное время на ремонт было минимально.

37. Оптимальная программа обработки изделий

Найти оптимальную программу обработки различных изделий на взаимозаменяемых станках при заданных исходных данных: норма времени для обработки одного изделия на данном станке, себестоимость обработки одного изделия на станке, общее время работы станка, план обработки из-

32

делий данного типа, прибыль, получаемая при реализации одного изделия. В качестве критерия оптимальности выбрать минимум затрат времени работы станков.

38. Оптимальное распределение бумажных ресурсов

Имеются различные сорта бумаги в заданных количествах, которую можно использовать на издание различных книг с заданным тиражом. Расход бумаги на одну книгу и себестоимость печатания книги при использовании заданного сорта бумаги заданы. Определить оптимальное распределение бумажных ресурсов.

39. Задача оптимального выпуска продукции

Фирма имеет цеха производства продукции различных видов, затраты на производство различны, производственные мощности цехов ограничены. Составить оптимальный план выпуска изделий с минимальными затратами.

40. Задача оптимизации плана производства

Фирма имеет швейные цеха, где производятся костюмы различных видов. Затраты на производство костюмов в цехах различны, производственные мощности цехов ограничены. Цены реализации костюмов различны. Составить оптимальный план производства, дающий максимальную прибыль.

41. Оптимальный план загрузки швейных фабрик

Плановое задание по изготовлению моделей костюмов необходимо распределить между швейными фабриками. Производственные мощности каждой фабрики позволяют за рассматриваемый отрезок времени выпустить разное количество костюмов заданной модели. Известны цены, плановое задание на костюмы и себестоимости изготовления заданной модели на каждой фабрике. Составить оптимальный план загрузки фабрик из условия максимизации прибыли.

33

42. Приобретение товаров

Покупатель имеет заданную сумму денег и может купить товары нескольких видов по известной цене. Полезность товара задана. Определить, какое количество товара каждого вида выгодно приобрести покупателю.

43. Формирование оптимального парка машин

Сформировать оптимальный парк машин, если известны такие данные: производительность машины каждого вида, используемой в каждом виде работы, объем каждого вида работы в единицу времени, издержки на аренду и содержание машины каждого вида.

44. Максимизация прибыли при реализации изделий

Найти оптимальную программу обработки различных изделий на взаимозаменяемых станках при заданных исходных данных: норма времени для обработки одного изделия на данном станке, себестоимость обработки одного изделия на станке, общее время работы станка, план обработки изделий данного типа, прибыль, получаемая при реализации одного изделия. В качестве критерия оптимальности выбрать максимум прибыли.

45. Задача о производстве и распределении продукции

Фирма по выпечке хлебобулочных изделий имеет пункты сбыта и производит несколько видов хлебобулочных изделий. Цены на изделия в различных пунктах различны. Фирма имеет обязательства перед пунктами по минимальным партиям поставок. Производственные мощности фирмы ограничены. Известны расходы различного вида сырья на единицу каждого изделия, запасы сырья ограничены. Составить план выпуска изделий с максимальной суммарной прибылью.

34