2.ЗАДАЧА О НАЗНАЧЕНИЯХ

2.1.МАТЕМАТИЧЕСКАЯМОДЕЛЬ ЗАДАЧИОНАЗНАЧЕНИЯХ

Содержательная постановка задачи

Задано известное количество различных работ и такое же число и с- полнителей, каждую из работ может выполнять любой из исполнителей. Известна эффективность при выполнении конкретной работы конкретным исполнителем. Требуется распределить исполнителей по работам, а именно, назначить исполнителя на каждую работу. Каждый исполнитель может выполнять только одну работу. В результате распределения работ должна быть максимизирована суммарная эффективность.

Построение математической модели 1. Определение размерности:

n – количество подлежащих выполнению работ, i = 1,…,n, – индекс (номер) работы;

n – количество исполнителей, j = 1,…, n, – индекс (номер) исполнителя. Следует обратить внимание, что два разных параметра (для работы и для исполнителя) данной моделируемой ситуации имеют одну и ту же

размерность, но разные индексы, что позволяет при построении модели различать эти параметры.

2. Выбор постоянных параметров:

сij – эффективность выполнения работы с номером i, i = 1,…,n,

исполнителем с номером j, j = 1,…,n. 3. Выбор переменных параметров:

для каждой i-й работы (i = 1,…,n) и для каждого j-го исполнителя (j = 1,…,n) введем переменную xij , которая может принимать только два

значения (0 или 1):

1, еслиi-я работа выполняется j-м исполнителем, xij = 0, если иначе.

35

4. Запись условий (ограничений):

каждая i-я работа выполняется ровно один раз (в i-й строке матрицы переменных xij содержится ровно одна единица, остальные элементы стро-

ки равны нулю);

каждый j-й исполнитель выполняет ровно одну работу (в j-м столбце матрицы переменных xij содержится ровно одна единица, остальные элемен-

ты столбца равны нулю);

0 ≤ xij ≤1, i, j =1, , n ,

xij – целочисленные, i, j =1, , n –

условия нахождения каждой переменной xij в интервале от 0 до 1 и целочисленность переменных xij обеспечивают переменным xij альтернатив-

ные значения 0 или 1.

5. Запись критерия моделирования (целевой функции):

максимизация суммарной эффективности выполнения всех работ.

36

Таким образом, математическая модель задачи о назначениях является задачей целочисленного линейного программирования. Задачи целочисленного программирования с двумя альтернативными значениями 0

или 1 для переменных называются задачами альтернативного программирования.

Заметим, что математическая модель (1)–(3) с условиями на неотрицательность переменных xij является частным случаем классической

транспортной задачи, в которой количество поставщиков совпадает с количеством потребителей (m равно n), а запасы и потребности всех пунктов совпадают и равны единице (ai = b j =1, i, j =1, , n). Кроме того, следует

заметить, что оптимальные решения (в том числе опорные решения) транспортной задачи будут удовлетворять условиям альтернативности переменных xij . При этом и опорные решения, и оптимальные решения

транспортной задачи будут вырожденными с количеством вырожденных переменных, равным n – 1.

Формально математически задача о назначениях может быть сформулирована иначе.

Необходимо выбрать из каждой строки и каждого столбца неотрица-

тельной матрицы

ровно по одному элементу (всего n элементов) так, чтобы их сумма была наибольшей из возможных. Такая задача называется задачей выбора.

37

2.2.ВЕНГЕРСКИЙ МЕТОДДЛЯЗАДАЧИВЫБОРА

По существу, венгерский метод является уточнением двойственного симплекс-метода применительно к транспортной задаче. Идею метода высказал венгерский математик Й. Эгервари в 1931 году, а в 1955 году американский математик Г. Кун развил его идею и назвал метод венгерским.

Введем следующие понятия:

1. Две матрицы С ={cij} и D ={dij } называются эквивалентными, ес-

ли cij = dij +αi + β j для любых i и j.

Задачи выбора, определяемые эквивалентными матрицами, являются

эквивалентными.

Эквивалентность задач выбора означает, что оптимальное решение задачи о назначении для матрицы С ={cij} совпадает с оптимальным ре-

гие нулевые элементы zL,L ≠ i.

3. Выделенные элементы матрицы C – это элементы строк и/или столбцов, помеченных знаком +. Все остальные элементы матрицы C –

невыделенные элементы.

Алгоритм венгерского метода состоит из подготовительного этапа и из не более чем (n – 2) последовательно проводимых итераций. Каждая итерация состоит из эквивалентных преобразований матрицы и из выбора одного дополнительного нового независимого нуля. Таким образом, окончательным результатом каждой итерации является увеличение количества независимых нулей, имеющихся в начале итерации, на единицу. Как только количество независимых нулей становится равным n, задача выбора оказывается решенной: оптимальный вариант определяется позициями независимых нулей в последней из матриц, эквивалентных исходной матрице.

38

2.3.АЛГОРИТМВЕНГЕРСКОГО МЕТОДА

Подготовительный этап

1. Для исходной матрицы С ={cij} с неотрицательными элементами находим максимальный элемент в каждом столбце.

2.Для каждого столбца все элементы этого столбца последовательно вычитаем из максимального, а результат оставляем в соответствующей позиции. В результате получаем сохранение эквивалентной матрицы с неотрицательными элементами, в каждом столбце которой имеется, по крайней мере, один нулевой элемент (нуль).

3.Из всех элементов каждой строки вычитаем минимальный элемент этой строки. В результате получаем эквивалентную матрицу C0 с неотри-

цательными элементами, в каждом столбце и в каждой строке которой имеется, по меньшей мере, один нуль.

4. Находим и помечаем независимые нули символом «*» по схеме: а) в первом столбце помечаем «*» произвольный нуль; б) во втором столбце помечаем «*» (если найдется) тот нуль, в строке

которого нет нуля, помеченного «*»;

в) аналогично просматриваем один за другим все столбцы матрицы C0 . На этом подготовительный этап заканчивается. Результатом подготовительного этапа являются, по меньшей мере, два независимых нуля (в силу того, что в каждой строке и в каждом столбце был получен хотя бы один нулевой элемент) – это начальное количество независимых нулей. Поскольку результатом работы каждой основной итерации является добавление одного нового независимого нуля, то именно поэтому оценка

количества итераций равна (n – 2).

Основной этап (итерация)

Шаг 0. Получена матрица C0 . Если в матрице отмечено ровно n независимых нулей, процесс решения заканчивается и оптимальное решение определяется позициями независимых нулей (0*) матрицы C0 .

39

Если же число независимых нулей меньше n, то помечаем знаком «+» столбцы матрицы C0 , содержащие 0*. Соответствующие элементы столбцов являются выделенными элементами.

Шаг 1. Если среди невыделенных элементов матрицы C0 нет нулевых, переходим к шагу 3. Если невыделенный нуль есть, то может быть один из случаев:

а) строка, содержащая невыделенный нуль, содержит также 0*; б) строка, содержащая невыделенный нуль, не содержит 0*.

Вслучае а) помечаем найденный нуль штрихом, помечаем знаком «+» строку, содержащую этот 0', и убираем знак выделения «+» над столбцом, который пересекается с выделенной строкой по 0*. Возвращаемся на начало шага 1.

Вслучае б) помечаем найденный нуль штрихом и переходим к шагу 2. Таким образом, шаг 1 закончится, когда:

1) либо все нули будут находиться в выделенных строках / столбцах –

при этом переходим к шагу 3 – требуется дополнительное эквивалентное преобразование матрицы;

2) либо обнаружится невыделенный нуль в строке, где нет нуля со звездочкой, – при этом переходим к шагу 2 – можно добавлять новый независимый нуль и заканчивать итерацию.

Шаг 2. Строим последовательность из элементов 0' и 0* матрицы C0 по правилу:

а) последовательность начинается с исходного элемента 0' (точнее, с последнего нуля, помеченного штрихом на шаге 1);

б) от 0' по столбцу идем к 0* (если такой найдется); в) от 0* по строке идем к 0'; г) повторяем пункт б).

Итак, последовательность образуется передвижением от 0' к 0* по столбцу, от 0* к 0' по строке и т. д. При этом последовательность всегда начинается с нуля со штрихом (пункт а) и заканчивается нулем

40

со штрихом (завершение построения последовательности возможно только в пункте б) на элементе 0').

Полученную последовательность преобразуем следующим образом: все 0* в последовательности заменяем нулями без пометок, а все 0' в последовательности заменяем на 0*. Затем «чистим» матрицу C0 : убираем все штрихи и все знаки выделения «+». В результате получаем матрицу C0 , в которой количество независимых нулей (0*) увеличено на единицу (в преобразуемой последовательности из 0* и 0' количество 0' на единицу больше количества 0*). На этом итерация алгоритма завершается. Переходим к новой итерации, которая начинается с шага 0.

Шаг 3. К этому шагу в матрице C0 среди невыделенных элементов нет нулевых элементов. Поэтому требуется эквивалентное преобразование матрицы для того, чтобы получить дополнительные нули среди невыделенных элементов матрицы:

а) выбираем среди невыделенных элементов минимальный и обозначаем его h;

б) величину h > 0 вычитаем из всех элементов матрицы C0 , располо-

женных в невыделенных строках;

в) величину h прибавляем ко всем элементам матрицы C0 , располо-

женным в выделенных столбцах.

В результате получим эквивалентную матрицу C0′ с невыделенными нулевыми элементами (по крайней мере один нулевой элемент точно бу-

41

2.4.ПРИМЕРРЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОНАЗНАЧЕНИЯХВЕНГЕРСКИМ МЕТОДОМ

Решить задачу о назначениях, которая определяется положительной матрицей

Замечание. При решении задачи знак выделения «+», подлежащий уничтожению в случае а) на первом шаге, обводим кружком. Последовательность из элементов 0' и 0* на втором шаге указываем стрелками.

Подготовительный этап

Максимальный элемент первого столбца матрицы C равен 4. Поэтому для преобразования первого столбца необходимо из 4 вычесть элементы первого столбца матрицы. Аналогично для получения второго, третьего, четвертого и пятого столбцов вычитаем элементы этих столбцов из максимальных элементов 5, 3, 2 и 3 соответственно.

Получили матрицу, в которой в каждом столбце есть, по крайней мере, один нулевой элемент. Далее необходимо из всех элементов каждой строки вычитать минимальный элемент этой строки. Но в полученной матрице минимальный элемент каждой строки равен нулю, поэтому матрица C0 найдена. Находим и помечаем независимые нули: в первом столбце выбираем произвольный нуль, тогда во втором и в третьем столбцах независимых нулей нет, в четвертом столбце помечаем независимый нуль, в пятом столбце независимого нуля нет (рис. 1).

Следует заметить, что в рассматриваемой задаче возможны и другие варианты выбора независимых нулей – предлагается рассмотреть эти варианты самостоятельно.

42

Рис. 1. Исходная матрица С и полученная на подготовительном этапе эквивалентная матрица С0. Шаг 0 первой итерации

Основной этап Первая итерация

Шаг 0. Выделяем знаком «+» первый и четвертый столбцы, поскольку они содержат 0* (см. рис. 1). Элементы этих столбцов – выделенные, остальные элементы матрицы С0 (элементы второго, третьего и пятого столбцов) – невыделенные.

Шаг 1. Просматриваем среди невыделенных элементов невыделенные нули матрицы C0 (такие нули есть и во втором, и в третьем, и в пятом столбцах; см. рис. 1). Помечаем штрихом нуль, расположенный во второй строке и во втором столбце. Поскольку в этой строке содержится 0*, то имеем случай а) и ставим «+» на вторую строку, а знак «+» над первым столбцом убираем, обводя его кружком (см. рис. 2, б).

Рис. 2. Первая итерация: а – шаг 0; б – шаг 1

43

В первом столбце теперь появился невыделенный и непомеченный нуль, помечаем штрихом этот нуль (первый столбец, третья строка). Получили, что третья строка имеет нуль со штрихом, но не содержит 0*. Имеем случай б), поэтому переходим к шагу 2.

Шаг 2. Строим последовательность: от последнего элемента, помеченного 0' (это первый столбец, третья строка), движемся по столбцу к 0* (это первый столбец, вторая строка), затем от 0* из второй строки переходим к 0', расположенному в той же строке и во втором столбце (рис. 3). Поскольку второй столбец не содержит 0*, то процесс построения последовательности закончен. Найденная последовательность состоит из элементов: c31 = 0', c21 = 0*, c22 = 0'. Преобразованная последовательность

принимает вид c31 = 0*, c21 = 0, c22 = 0*. Вносим эти изменения в матрицу C0 , затем «чистим» ее (т. е. убираем знаки «+» и знаки «штрих») и получаем в результате матрицу C0 , в которой число независимых нулей (0*) увеличено на единицу. На этом первая итерация алгоритма завершается.

Рис. 3. Первая итерация. Шаг 2

Поскольку последующие две итерации проводятся аналогично, ниже приводятся результаты вычислений без дополнительных пояснений.

Вторая итерация (рис. 4–7)

44

Рис. 4. Вторая итерация: а – шаг 0; б – шаг 1

а б

Рис. 5. Вторая итерация: а – шаг 3 (вычитаем h = 1); б – шаг 3 (прибавляем h = 1)

Рис. 6. Вторая итерация: а – шаг 1; б – шаг 2 (строим последовательность)

45

Рис. 7. Вторая итерация. Шаг 2 («чистим» матрицу)

Третья итерация (рис. 8)

Рис. 8. Третья итерация: а – шаг 0, шаг 1; б – шаг 2

После третьей итерации количество независимых нулей (0*) стало равным размерности n матрицы, и поэтому процесс выбора закончен. Искомые элементы исходной матрицы C соответствуют позициям независимых нулей матрицы C0 . Оптимальное решение задачи о назначениях

с исходной матрицей C определяется набором {xij}, i, j =1, ,5 со значениями: x12 = x23 = x31 = x45 = x54 =1. Содержательно это означает, что первую работу выполняет второй исполнитель, вторую – третий исполнитель, третью работу – первый исполнитель, четвертую – пятый исполнитель и пятую работу выполняет четвертый исполнитель.

46

Оптимальное значение целевой функции – суммарная эффективность от назначения исполнителей по работам:

L(x) = c12 +c23 +c31 +c45 +c54 = 4 +3 + 4 + 2 + 2 =15.

2.5.ЗАДАНИЯДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОНАЗНАЧЕНИЯХВЕНГЕРСКИММЕТОДОМ

Во всех заданиях матрицы эффективности положительны.

47

48

49

50