Методы решения задачи условной оптимизации: проекционные методы, методы возможных направлений.

Таким образом, математическое программирование имеет дело с оптимизацией линейной или нелинейной целевой функции при линейных и (или) нелинейных ограничениях и объединяет линейное программирование, целочисленное программирование, квадратичное программирование, выпуклое программирование и нелинейное программирование.

1.3.1. Задача линейного программирования

Постановка задачи линейного программирования (ЛП) в общем (произвольном) виде состоит в следующем.

Найти вектор x = (x1,...xq ), минимизирующий (максимизирующий) линейную функцию:

L = c1x1 +...+cq xq ,

переменные которой подчинены следующим линейным ограничениям вида:

a11x1 +...+a1q xq ≤b1,

...............................

as1x1 +...+asq xq ≤bs ,

as+11x1 +...+as+1q xq ≥bs+1,

...............................

as+t1x1 +...+as+tq xq ≥bs+t ,

as+t+11x1 +...+as+t+1q xq =bs+t+1,

................................

as+t+p1x1 +...+as+t+pq xq =bs+t+p ,

x1 ≥0,..., xk ≥0, k ≤ q.

14

Для численного решения задачи ЛП, представленной в общем виде, требуется предварительно привести задачу к каноническому виду (к канонической форме) – минимизировать (максимизировать) функцию

L = c1x1 +...+cn xn

при следующих ограничениях:

a11x1 +...+a1n xn =b1,

...............................

am1x1 +...+amn xn =bm , x1 ≥0,..., xn ≥0.

Для решения задачи в каноническом виде можно использовать прямой или двойственный симплекс-метод. Для построения начального базисного допустимого решения используется метод искусственного базиса.

При выполнении условия задачу можно решать графически.

1.3.2. Классическая транспортная задача линейного программирования

Математическая модель классической транспортной задачи ЛП имеет

вид

15

m

Транспортная задача, в которой суммарные запасы ∑ai и сум-

i=1

n

марные потребности ∑ bj совпадают, то есть выполняется условие

j =1

открытой.

Открытая модель задачи решается приведением к закрытой модели. Решение закрытой модели классической транспортной задачи находят методом потенциалов.

1.3.3. Транспортная задача по критерию времени

Математическая модель транспортной задачи при минимизации максимального времени перевозки продуктов от пунктов отправления к пунктам назначения имеет вид

Решение транспортной задачи по критерию времени можно получить методом «запрещенных клеток».

1.3.4. Задача параметрического линейного программирования

Требуется найти решение x(t) =(x1(t),..., xn (t)) задачи

16

при ограничениях

a11x1 +...+am xn =b1′+tb1′′,

......................................

am1x1 +...+amn xn = bm′ + tbm′′,

x1 ≥ 0,..., xn ≥ 0.

В общем случае значения параметра t принадлежат заданному конечному или бесконечному интервалу. Решение задачи для случаев, когда

от параметра t зависит либо целевая функция (bi′′=0, i =1,m), либо система ограничений (c′′j =0, j =1,n), основано на применении симплексметода или двойственного симплекс-метода.

1.3.5. Задачаквадратичного программирования

Задача квадратичного программирования состоит в минимизации квадратичной целевой функции

при линейных ограничениях в произвольной форме. Линейные ограничения в произвольной форме можно свести к ограничениям в канонической форме, но при этом увеличивается размерность задачи n, а значит, и ра з- мерность матрицы C = cij .

Для решения задачи квадратичного программирования с симметричной положительно полуопределенной матрицей C (положительная полуопределенность матрицы C следует из неотрицательности главных миноров матрицы C ) существует два типа методов. Методы первого типа (Била, Баранкина и Дорфмана, Франка и Вульфа и др.) основаны на симплексных преобразованиях условий Куна – Таккера для задачи квадратичного программирования. Методы второго типа – это специальные методы.

17