УДК 519.85(075) ББК 22.18я73

З-96

Рецензенты:

А. В. Паничкин, д-р техн. наук, старший научный сотрудник Омского филиала Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН;

Л. Н. Романова, канд. физ.-мат. наук, доцент, доцент кафедры «Физика и математика» Сибирского государственного автомобильно-дорожного университета

Зыкина, А. В. Математические модели оптимизации при проектировании : учеб. пособие / А. В. Зыкина, В. С. Зыкин, Т. Ю. Финк ; Минобрнауки России, Ом. гос. техн. ун-т. – Омск : Изд-во ОмГТУ, 2021. – 1 CD-ROM (0,9 Мб). – Систем. требования: процессор с частотой 1,3 ГГц и выше ; 256 МбRAM и более ; свободное место на жестком диске 300 Мб и более ; Windows XP и выше ; разрешение экрана 1024×768 и выше ; CD/DVD-ROM дисковод ; Adobe Acrobat Reader 5.0 и выше. – Загл. с титул. экрана. –

ISBN 978-5-8149-3373-7.

Представлены основные классы оптимизационных математических моделей систем и процессов принятия решений. Рассмотрены математические модели и методы решения задачи о назначениях, задачи о коммивояжере, непрерывной задачи динамического программирования, матричных игр.

Издание предназначено для обучающихся по направлениям 02.03.02 «Фундаментальная информатика и информационные технологии», 02.03.03 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем», 02.04.02 «Фундаментальная информатика и информационные технологии», а также для студентов других направлений, изучающих методы математического моделирования.

Редактор М. А. Болдырева

Компьютерная верстка Ю. П. Шелехиной

Для дизайна этикетки использованы материалы из открытых интернет-источников

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

2

ВВЕДЕНИЕ

Метод математического моделирования, представляющий собой количественное описание изучаемых объектов (явлений) на языке математики, широко применяется для исследования всевозможных объектов и явлений природы и общественной жизни. Элементы математического моделирования использовались с самого начала появления точных наук: слово «алгоритм» происходит от имени средневекового арабского ученого АльХорезми (аль Хорезми Абу Абдала Мухамед бен Мусса аль Маджуси, 787 г. – ок. 850 г.). Возрождение математического моделирования в 40– 50-х годах XX века было обусловлено двумя причинами.

Первая из них – появление компьютеров. Вторая – социальный заказ – выполнение национальных программ СССР и США по созданию ракетноядерного щита, который не мог быть выполнен традиционными методами. Математическое моделирование блестяще справилось с этой задачей: ядерные взрывы и полеты ракет и спутников были предварительно осуществлены в недрах ЭВМ с помощью математических моделей и только затем – на практике.

В настоящее время информационные технологии находятся на важном этапе своего развития: математическое моделирование встраивается в структуру цифрового информационного общества. «Сырая информация» обычно мало что дает для анализа, для прогноза, для принятия решений и для контроля их исполнения. Нужны надежные способы переработки информационного сырья в готовый продукт – математические модели. Математическое моделирование может и должно стать интеллектуальным ядром информационных технологий, всего процессацифровизации общества.

Математическая модель реального объекта (явления) – это формальная идеализированная (как правило, упрощенная) схема, описание которой осуществляется на языке математики с помощью математических символов и соотношений. Для получения математической модели сначала выбираются буквенные обозначения (постоянные и переменные параметры) элементов реального объекта (явления) и затем на основе анализа су-

3

ществующих взаимосвязей между этими элементами составляется математическая модель в виде математических соотношений (уравнения, неравенства и др.), отражающих взаимосвязи между элементами исследуемого реального объекта.

Для чего нужна математическая модель, являющаяся идеализированной и упрощенной схемой? Ведь по известному высказыванию Норберта Винера, наилучшей моделью кота является другой кот, а еще лучше – тот же самый кот.

Любое ответственное решение требует предварительного исследования, которое, в свою очередь, требует предварительного проведения эксперимента. При использовании математической модели мы избавляемся от необходимости натурных экспериментов, как правило сопровождаемых материальными затратами, многократными пробами и ошибками. Эксперименты можно делать на математической модели, которую, условно говоря, можно резать и перекраивать неоднократно без вреда и ущерба для исходного объекта и при этом без всяких материальных затрат. Это одно преимущество математической модели. Другое заключается в том, что математическая модель позволяет воспользоваться для анализа и исследования объекта универсальным и мощным математическим аппаратом, который не зависит от конкретной природы объекта. Детальный количественный анализ математической модели показывает, как поведет себя исходный объект в различных условиях, и позволяет дать рекомендации для выбора наилучших вариантов решения проблемы.

Первый раздел настоящего учебного пособия содержит элементы теории математического моделирования. Здесь рассмотрены основные понятия теории, основные классы математических моделей. Подробно изложена методика построения математических моделей оптимизации. В последующих разделах рассмотрены некоторые классические математические модели оптимизации и методы их решения.

Второй раздел посвящен задаче о назначениях: приведена математическая модель, введены необходимые для решения задачи понятия, изложен алгоритм венгерского метода для решения задачи.

4

Втретьем разделе изложена задача о коммивояжере: приведена математическая модель, введены необходимые для решения задачи понятия, приведен алгоритм метода ветвей и границ для решения задачи коммивояжера.

Четвертый раздел содержит классический подход к решению непрерывной задачи динамического программирования. Рассмотрены две содержательные задачи динамического программирования: задача о распределении ресурсов и задача о замене оборудования.

Впятом разделе изложены теоретические основы моделей и методов матричных игр.

Вконце каждого раздела приведены примеры решения задач и задания для самостоятельного выполнения.

Впособии используются стандартные обозначения для точек (век-

торов) x из n-мерного линейного пространства Rn : нижний индекс в записи x = (x1,..., xn ) – это номер координаты точки x, верхний индекс в записи xk = (x1k ,..., xnk ) обозначает номер точки, верхний индекс «звез-

дочка» характеризует решение задачи оптимизации x* .

При построении математических моделей, как правило, буквенные символы n, m, k, l, i, j (N, M, K, L, I, J) используются для обозначения размерности линейного пространства или для обозначения номера (индекса) координаты точки. Для обозначения постоянных параметров используются первые буквенные символы из латинского алфавита a, b, c, d, (A, B, C, D) и т. д., для обозначения переменных параметров – последние буквенные символы из латинского алфавита (как правило, это x, y, z).

5

1. ЭЛЕМЕНТЫТЕОРИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

1.1.ОСНОВНЫЕПОНЯТИЯИ ПРИНЦИПЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Важным свойством математики в различных приложениях является возможность описания наиболее существенных черт и свойств изучаемого объекта на языке математических символов и соотношений. Такое описа-

ние принято называть математическим моделированием или формализа-

цией. Математическая модель должна предсказать поведение реального объекта, но всегда представляет собой ту или иную степень его упрощения или идеализации. Поскольку в литературе нет единого, строгого определения математической модели, то в качестве рабочего в учебном пособии будем принимать следующее определение.

Математической моделью реального объекта (явления) называется ее схема, составленная с помощью математических символов и операций (соотношений).

Следовательно, для получения математической модели сначала вводится система буквенных обозначений элементов реального объекта и затем на основе изучения существующих взаимосвязей между этими элементами составляются отражающие их математические соотношения (уравнения, неравенства и др.).

Математическим моделированием называют как саму деятельность, так и совокупность принятых приёмов и техник построения и изучения математических моделей.

Все естественные и общественные науки, использующие математический аппарат, по сути, занимаются математическим моделированием: заменяют объект исследования его математической моделью и затем изучают эту модель. Связь математической модели с реальностью осуществляется с помощью цепочки эмпирических законов, гипотез, идеализаций

6

и упрощений. С помощью математических методов описывается, как правило, идеальный объект или процесс, построенный на этапе содержательного моделирования.

Моделирование не является единственным методом изучения окружающего мира. Существует целая область знания – методология, которая специально занимается изучением методов познания. Понятие «метод» означает совокупность приемов и операций практического и теоретического освоения действительности.

Классификация общенаучных методов тесно связана с понятием уровней научного познания. Различают два уровня научного познания: эмпирический и теоретический. Одни общенаучные методы применяются только на эмпирическом уровне (наблюдение, эксперимент, измерение), другие – только на теоретическом (идеализация, формализация).

Но есть общенаучный метод, который используется как на эмпирическом уровне, так и на теоретическом. Таким общенаучным методом является моделирование. Моделирование – метод познания окружающего мира, который можно отнести к общенаучным методам, применяемым как на эмпирическом, так и на теоретическом уровне познания.

Под моделью понимается такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе познания (изучения) замещает объект-оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные его черты. Процесс построения и использования модели называется моделированием.

Другими словами, модель – это объект-заменитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых интересующих исследователя свойств оригинала. Любая модель не тождественна объекту-оригиналу, поскольку при ее построении исследователь учитывал лишь важнейшие с его точки зрения факторы. В этом отношении любая модель является неполной. Под моделью мы будем понимать упрощенное, если угодно, упакованное знание, несущее вполне определенную, ограниченную информацию о предмете (явлении), отражающее те или иные его свойства.

7

Модель можно рассматривать как специальную форму кодирования информации. В отличие от обычного кодирования, когда известна вся исходная информация и мы лишь переводим ее на другой язык, модель, какой бы язык она ни использовала, кодирует и ту информацию, которую люди еще не знали. Можно сказать, что модель содержит в себе потенциальное знание, которое человек, исследуя ее, может приобрести, сделать наглядным и использовать в своих практических нуждах.

Если результаты моделирования удовлетворяют исследователя и могут служить основой для прогнозирования поведения или свойств исследуемого объекта, то говорят, что модель адекватна объекту. Адекватность модели зависит от целей моделирования и принятых критериев. Идеально адекватная модель принципиально невозможна в силу неполноты модели.

Использование моделирования на эмпирическом и теоретическом уровнях исследования приводит к условному делению моделей на мате-

риальные и идеальные.

Материальное моделирование – это моделирование, при котором исследование объекта происходит с использованием его материального аналога, воспроизводящего основные физические, геометрические, динамические и функциональные характеристики данного объекта.

Основными разновидностями материального моделирования являют-

ся натурное и аналоговое.

Натурное моделирование – это такое моделирование, при котором реальному объекту ставится в соответствие его увеличенный или уменьшенный материальный аналог, допускающий исследование с помощью последующего перенесения свойств изучаемых процессов и явлений с модели на объект на основе теории подобия.

Аналоговое моделирование – это моделирование, основанное на аналогии процессов и явлений, имеющих различную физическую природу, но одинаково описываемых формально (одними и теми же математическими соотношениями, логическими и структурными схемами). Фактически процесс исследования моделей данного типа сводится к проведению ряда

8

натурных экспериментов, где вместо реального объекта используется его физическая или аналоговая модель.

К примерам натурного моделирования можно отнести макеты в архитектуре, модели судов в судостроении. Следует отметить, что именно с натурных моделей судов в середине XIX века моделирование стало развиваться как научная дисциплина, а сами модели – активно использоваться при проектировании новых технических устройств.

Идеальное моделирование отличается от материального тем, что оно основано не на материализованной аналогии объекта и модели, а на аналогии идеальной, мыслимой и всегда носит теоретический характер.

Идеальное моделирование разделяют на два основных типа: интуи-

тивное и научное.

Интуитивное моделирование – это моделирование, основанное на интуитивном (не обоснованном с позиций формальной логики) представлении об объекте исследования, не поддающемся формализации или не нуждающемся в ней.

Научное моделирование – это всегда логически обоснованное моделирование, использующее минимальное число предположений, принятых в качестве гипотез на основании наблюдений за объектом моделирования.

Главное отличие научного моделирования от интуитивного заключается не только в умении выполнять необходимые операции и действия по собственно моделированию, но и в знании «внутренних» механизмов, которые используются при этом. Можно сказать, что научное моделирование знает не только как необходимо моделировать, но и почему так нужно делать.

Знаковое моделирование использует в качестве моделей знаковые изображения какого-либо вида: схемы, графики, чертежи, иероглифы, наборы символов, включающие также совокупность законов и правил, по которым можно оперировать с выбранными знаковыми образованиями и элементами.

9

При наблюдении за объектом-оригиналом в голове исследователя формируется некий мысленный образ объекта, его идеальная модель, которую называют когнитивной (мысленная модель, которая способствует познанию) моделью.

Представление когнитивной модели на естественном языке называет-

ся содержательной моделью.

По функциональному признаку содержательные модели подразделя-

ются на описательные, объяснительные и прогностические.

Описательной моделью можно назвать любое описание объекта. Объяснительная модель позволяет ответить на вопрос, почему что-

либо происходит.

Прогностическая модель должна описывать будущее поведение объекта. Заметим, что прогностическая модель не обязана включать в себя объяснительную.

Концептуальной моделью называется содержательная модель, при формулировке которой используются понятия и представления предметных областей знания, занимающихся изучением объекта моделирования.

Формальная модель является представлением концептуальной модели

спомощью одного или нескольких формальных языков (например, языков математических теорий или алгоритмических языков).

Таким образом, математическое моделирование – это идеальное научное знаковое формальное моделирование, при котором описание объекта осуществляется на языке математики, а исследование модели проводится

сиспользованием тех или иных математических методов. В настоящее вре-

мя математическое моделирование – один из самых результативных и наиболее часто применяемых методов научного исследования. Универсальность математических моделей есть отражение принципа материального единства мира. Математическая модель должна описывать не только конкретные отдельные явления или объекты, но достаточноширокий круг разнородных явлений и объектов.

10

1.2.ОСНОВНЫЕЭТАПЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГОМОДЕЛИРОВАНИЯ

Этап 1. Создание содержательной модели (постановка содержатель-

ной задачи).

Выясняется характер законов и связей, действующих в исследуемой системе. В зависимости от природы задачи эти законы могут быть физическими, химическими, биологическими, экономическими.

Проблема содержательного моделирования – выявить главные, характерные черты явления или процесса, его определяющие специфические особенности.

К примеру, применительно к исследованию физических явлений создание содержательной модели – это формулировка физических закономерностей явления или процесса на основании эксперимента.

Этап 2. Создание математической модели (постановка математиче-

ской задачи).

Выделение существенных факторов: внешних и внутренних. Основной принцип: если в системе действует несколько факторов одного порядка, то все они должны быть учтены или все отброшены.

Выделение дополнительных условий (начальных, граничных и т. п.).

Этап 3. Изучение математической модели.

Математическое обоснование модели: исследование внутренней непротиворечивости модели, обоснование корректности построенной модели, доказательство теорем существования, единственности и устойчивости решения.

Качественное исследование модели: выяснение поведения модели в крайних и предельных ситуациях.

Численное исследование модели: разработка алгоритма, создание и реализация программы, компьютерный эксперимент.

По сравнению с лабораторным (натурным) экспериментом компьютерный эксперимент дешевле, безопасней, может проводиться в тех случаях, когда натурный эксперимент принципиально невозможен. Так, в лабораторном эксперименте нужны образцы, физические приборы, при ра-

11

боте с образцами требуются измерения, калибровки. В компьютерном эксперименте образец заменяется математической моделью, физический прибор – программой, калибровки и измерения – тестированием программы и расчетами.

Этап 4. Получение результатов и их интерпретация.

Сопоставление полученных данных с результатами качественного анализа, с результатами натурного эксперимента и с данными, полученными при помощи других численных алгоритмов. Уточнение и модификация модели и методов её исследования, если этого требуют результаты и их интерпретация.

Этап 5. Использование полученных результатов.

Предсказание новых явлений и закономерностей. Следует отметить, что в научных исследованиях модели, не обладающие определенной «предсказательностью», едва ли могут считаться удовлетворительными.

1.3.ОСНОВНЫЕКЛАССЫ МОДЕЛЕЙ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ ЗАДАЧ

Классификацию будем проводить по виду функциональных зависимостей и по типу входящих в задачу переменных.

Задача безусловной оптимизации состоит в нахождении минимума (или максимума) функции от n переменных f (x) = f (x1,..., xn ) , определенной для всех x = (x1,..., xn ) Rn , где Rn – линейное пространство n-мерных векторов х. Математические формулировки безусловной оптимизации для задачи на минимум (максимум) состоят в следующем:

x Rn справедливо неравенство f (x ) ≥ f (x).

Методы решения задачи безусловной оптимизации с небольшим числом переменных основаны на аппарате теории математического анализа

12

для непрерывных дифференцируемых функций f (x), в более общем случае – на классическом аппарате минимизации (максимизации):

–методы, использующие производные (градиентные методы и методы Ньютона);

–методы, не использующие производные (метод циклического покоординатного спуска, метод Хука – Дживса).

Несмотря на то что большинство практических задач оптимизации содержит ограничения, изучение методов безусловной оптимизации важно

сдвух точек зрения:

–большой класс методов решения задачи с ограничениями основан на поиске подходящего направления и последующей минимизации вдоль этого направления, при этом линейный поиск по направлению эквивален-

тен минимизации функции одной переменной без ограничений или с про-

стыми ограничениями, такими как двусторонние ограничения на переменную;

–другой подход к решению задачи с ограничениями предполагает

сведение ее к последовательности задач безусловной оптимизации либо

спомощью множителей Лагранжа, либо с помощью штрафных или барьерных функций.

Классическая задача на условный экстремум – это задача нелинейного программирования с ограничениями в форме равенств. Общепринятой формой ее записи является следующая:

минимизировать f (x)

при условиях При решении этой задачи применяется аппарат теории математиче-

ского анализа для дополнительно построенной функции Лагранжа.

В общем случае задачу математического программирования (условной оптимизации) можно представить в следующем виде:

минимизировать f (x)

при условиях gi (x) ≤ 0, i =1, . .m. ,

13