Математика. Попробуем наверстать упущенное!. Пособие для подготовки к централизованному тестированию

В. В. Веременюк, Е. А. Крушевский

МАТЕМАТИКА

Попробуем наверстать упущенное!

Пособие для подготовки к централизованному тестированию

Минск

«ТетраСистемс»

1

УДК 51(075.3/.4) ББК 22.1я721

В31

А вто р ы:

кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой «Высшей математики № 3» Белорусского национального технического университета В. В. Веременюк; кандидат физико-математических наук, доцент Белорусского национального технического университета Е. А. Крушевский

Рецензент

кандидат физико-математических наук, доцент С. В. Процко

Веременюк, В. В.

В31 Математика. Попробуем наверстать упущенное! : пособие для подгот. к централиз. тестированию / В. В. Веременюк, Е. А. Крушевский. – Минск : ТетраСистемс, 2011. – 80 с.

ISBN 978-985-536-174-0.

Книга в первую очередь предназначена тем, кто отстает, но хочет наверстать упущенное по математике и успешно пройти централизованное тестирование. В текст пособия включены только базовые разделы школьного курса, которыми должен овладеть абитуриент. Каждый раздел содержит справочные сведения, примеры и методы решения задач, упражнения для самостоятельного решения. Тщательный подбор материала, доступное, компактное изложение необходимых задач позволят выделить главное и наверстать упущенные ранее знания и навыки по математике.

Адресуется для поступающих в вузы, будет полезно школьникам и учителям.

УДК 51(075.3/.4) ББК 22.1я721

2

opedhqknbhe

Итак, для кого написана эта книга?

Вы находитесь на пороге окончания средней школы, и перед вами маячит централизованное тестирование. С одной стороны, вы уже должны обладать определенным багажом знаний по всем предметам и математике в частности. С другой стороны, боязнь неизведанного, а также разумные сомнения в качестве вашей подготовки не дают вам покоя. Эта книга как раз и поможет вам разобраться в уровне вашей подготовки к ЦТ по математике, выбрать нужное направление будущей деятельности и даст начальный импульс для дальнейшего улучшения знаний по предмету.

В книгу включены только базовые разделы школьного курса математики, которыми должен владеть учащийся к началу 11 класса. Изучение (или повторение) этих разделов поможет подтянуть упущенные ранее знания и навыки. При успешном освоении материалов данной книги вы в состоянии справиться с частью А в тестовом задании ЦТ, а, используя другие учебники, сможете привести свои навыки к уровню, достаточному для успешного решения заданий части В.

При этом мы хотим отметить, что если вам свойственны такие ошибки, как:

(здесь нет подобных слагаемых) или x + x = x2 (должно быть x + x = 2x );

– перенос слагаемых в другую часть равенства без перемены знака,

невозможно произвести сокращение), и т. д. и т. п., то вам не стоит читать эту книгу, а задуматься над тем, чтобы поискать себе занятие, не связанное с математикой.

Если же вы в состоянии оценить эту бездну незнания элементарных законов и принципов математики, указанную выше, то вы на правильном пути, и авторы желают вам успешной и плодотворной работы с этой книгой на Вашем начальном этапе подготовки к ЦТ.

Валентин Валентинович Веременюк Евгений Александрович Крушевский

3

p=ƒдел. 1. )hqk` h b{)hqkemh“

1. Натуральные числа – это множество чисел {1, 2, 3, 4, …}. Обозначается это множество буквой `. Сумма и произведение натуральных чисел является натуральным числом.

Говорят, что натуральное число n делится (нацело делится) на натуральное число m, если выполняется равенство n = k m , где k – некоторое натуральное число. В этом случае число m называют делителем числа n, число k – частным, а число n называют кратным числу m. Натуральное число, отличное от 1, называется простым, если его делителями являются только 1 и само это число. В противном случае (кроме случая n = 1) число называется составным. Например, числа 11 и 23 являются простыми, а числа 12 и 26 – составными. Полезно знать следующие факты: 1) если числа n и m делятся на k, то сумма n + m также делится на k; 2) если n = k m и число A является простым делителем числа n, то число A является также делителем по крайней мере одного из чисел n или m. Например, из равенства 5 n = 3 k следует, что число n делится на 3, а число k делится на 5.

Натуральные числа, которые делятся на 2, называются четными. Из сказанного выше следует, что четные числа можно представить в виде n = 2k , где k ` . Остальные натуральные числа называются нечетными. Их можно представить в виде n = 2k − 1 , где k ` . Итак, четные числа образуют множество {2, 4, 6, …}, а нечетные числа – множество

{1, 3, 5, …}.

Натуральные числа называются взаимно простыми, если они не имеют общих простых делителей. Например, числа 6 и 35 – взаимно простые (отметим при этом, что каждое из них – составное число).

Следует знать следующие признаки делимости натуральных чисел. Число n делится на 2, если его последняя цифра или 0, или четное

число.

Число n делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

Число n делится на 4, если его две последние цифры или 0, или образуют число, которое делится на 4.

Число n делится на 5, если его последняя цифра или 0, или 5. Число n делится на 8, если его три последние цифры или 0, или об-

разуют число, которое делится на 8.

Число n делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Используя перечисленные признаки делимости, можно легко полу-

чать другие признаки делимости. Например, число делится на 15, если оно одновременно делится на 3 и на 5. Или, число делится на 18, если оно четное и делится на 9.

4

Если натуральное число n нацело не делится на m, то имеет место равенство mn = k + mA , где k = 0 (это будет в случае n < m ) или k ` , а

A – натуральное число, лежащее на отрезке [1; m −1] . Число k называет-

ся неполным частным, число A – остатком, а само это равенство –

деление натуральных чисел с остатком.

Пример 1. Найти сумму остатков от деления числа

1872368154634528 на 2, 4,5,9,10, 25 .

Решение. Согласно признаку делимости на 2 при делении данного числа на 2 получаем остаток 0 (т. е. оно нацело делится на 2!).

Согласно признаку делимости на 4 при делении данного числа на 4 получаем остаток 0 (т. к. 28 делится на 4).

Согласно признаку делимости на 5 при делении на 5 получаем остаток 3 (т. к. уменьшив заданное число на 3, получим число, нацело делящееся на 5).

Согласно признаку делимости на 9 при делении заданного числа на 9 получаем остаток 1 (так как сумма цифр этого числа равна 73, то, уменьшив его на 1, получим число, нацело делящееся на 9).

Согласно признаку делимости на 10 (последняя цифра числа должна быть нулем) при делении на 10 получаем остаток 8 (подумайте, почему?).

Согласно признаку делимости на 25 (две последние цифры числа – или нули, или образуют число, которое делится на 25) при делении заданного числа на 25 получаем остаток 3, так как 28 = 25 – 3.

Сумма остатков равна 3+1+8+3=15.

Наибольшим общим делителем натуральных чисел n и m, который

обозначается как НОД (n, m), называется наибольшее возможное натуральное число, которое является делителем обоих чисел n и m. Если n = a1 a2 ... ak и m = b1 b2 ... bA – представления чисел n и m в виде

произведения простых делителей, то НОД (n, m) равен произведению тех из этих делителей, которые входят в общую часть (пересечение)

множеств чисел {a1,a2,...,ak} и {b1,b2,...,bA}. Например, требуется найти

НОД (72, 90). Находим представления 72 = 2 2 2 3 3 и 90 = 2 3 3 5 .

Общая часть множеств {2, 2, 2, 3, 3} и {2, 3, 3, 5} есть множество {2, 3, 3}. Следовательно, НОД (72, 90) = 2 3 3 = 18.

Заметим, что если числа n и m – взаимно простые, то НОД (n, m) = 1.

Наименьшим общим кратным натуральных чисел n и m, который обозначается как НОК (n, m), называется наименьшее возможное натуральное число, которое делится на каждое из чисел n и m. Для нахожде-

В частности, если числа n и m – взаимно простые, то НОК (n, m) = n m .

5

Для нахождения НОК и НОД трех чисел можно использовать равенства НОК(n,m,k )=НОК(НОК(n,m),k) и НОД(n,m,k )=НОД(НОД(n,m),k) .

Например, НОД(72, 90, 60) = НОД (18, 60) = 2 3 = 6.

Пример 2. Найти частное от деления НОК на НОД трех чисел

90,135 и 150 .

Решение. НОД (90, 135) = НОД ( 45 2 , 45 3 ) = 45 НОД (2, 3) = 45,

НОД (90, 135, 150) = НОД (45, 150) = НОД (15 3 , 15 10 ) = 15, НОК (90, 135) = 90135 : НОД (90, 135) = 90135 : 45 = 270. Далее, т. к.

НОК (18, 10) = 90 (проверьте!), то получаем: НОК (90, 135, 150) = = НОК (270, 150) = НОК (15 18 , 15 10 ) = 15 НОК (18, 10) = 15 90 = 1350,

отсюда НОК (90, 135, 150) : НОД (90, 135, 150) = 1350 : 15 = 90.

2. Целые числа – это множество чисел, состоящее из натуральных чисел, числа 0 и чисел, противоположных натуральным. Обозначается это множество буквой Z . Таким образом, Z = {0; ± 1; ± 2; ± 3;...} . Сумма,

произведение и разность двух целых чисел является целым числом. Все понятия и признаки, связанные с делимостью целых чисел, фор-

мулируются аналогично предыдущему пункту (при этом, если необходимо, исключается из рассмотрения число 0). Число 0 делится нацело на любое целое число (кроме нуля!!). Понятия НОК и НОД для целых чисел не определяются.

3. Рациональные числа – это множество чисел, состоящее из чисел вида mn , где m ], n ` . Обозначается это множество буквой _. Оче-

видно, Z Q . Сумма, разность, произведение и частное (если знамена-

тель не равен нулю) двух рациональных чисел является рациональным числом.

Дробь mn называется несократимой, если m и n – взаимно простые

целые числа. Чтобы получить несократимую дробь, надо числитель и знаменатель исходной дроби сократить на их общие делители.

Пример 3. Привести дробь 899341 к несократимому виду.

Решение. Найдем сумму 341 + 899 = 1240 . Если числа 341 и 899 имеют общий делитель m, то m должен быть и делителем числа 1240 = 5 8 31 . Т. к. числа 341 и 899 не делятся на 8 и 5 (ответьте, почему?), то общим делителем может быть только число 31. Проверяем: 341 = 31 11 , 899 = 31 29 (для получения этих равенств можно восполь-

зоваться «делением в столбик»). Тогда 899341 = 1129 . Т. к. 11 и 29 – простые числа, то полученная дробь – несократима.

6

Если требуется найти mn ± kl , то предварительно рекомендуется

привести дроби к несократимому виду и найти общий знаменатель, равный НОК (n, k).

Десятичная дробь – это запись рационального числа в виде x,b1b2...bk , где x Z, а bi – цифры. К виду mn такая дробь приводится с

b b ...b

помощью формулы x,b1b2...bk = x + 1102 k k .

проверяем гипотезу, что число 168 делится на 7). Второе слагаемое: 0,63 30 = 6,3 3 =18 + 0,9 = 18,9 . Тогда: 212 : 5 +18,9 = 2,1 +18,9 = 21.

7

4. Действительные числа – это множество чисел, состоящее из рациональных чисел и бесконечных непериодических десятичных дробей. Обозначается это множество буквой \. Сумма, разность, произведение и частное (если знаменатель не равен нулю) двух действительных чисел является действительным числом. Бесконечные непериодические десятичные дроби называются иррациональными числами. Сумма, разность, произведение и частное (если знаменатель не равен нулю) рационального и иррационального чисел является иррациональным числом.

Иррациональными числами являются, например, 2 , 3 4 , lg5 , π.

Полезно знать следующие определения. Средним арифметическим n действительных чисел называется их сумма, деленная на n. Средним геометрическим n положительных действительных чисел называется корень n-й степени из их произведения.

rop`fmemh“ (* !=ƒдел3 1)

1.Даны пять чисел: 350, 245, 475, 625 и 525 . Найти сумму тех из них (или число, если оно одно), которые нацело делятся на 15. (отв. 525)

2.Найти НОК(8; 18; 72) + НОД(56; 65). (отв. 73)

3. Найти сумму простых делителей числа 60. (отв. 10)

4. Сколько простых чисел лежит на отрезке [0; 25]? (отв. 9)

8

p=ƒдел 2. qŠeoemh

1. Основныепонятия

Если n – натуральное число, то для любого числа a \ его n-я сте-

пень определяется так: a n = a a . . . a . Для любого числа a ≠ 0 по

n раз

определению a −n = a1n и a0 = 1 . Выражение 00 неопределено!

Если n – натуральное нечетное число, то корнем n-й степени из числа a называется такое число, которое при возведении в n-ю степень дает число a.

Если n – натуральное четное число, то корнем n-й степени из числа a называется такое неотрицательное число, которое при возведении в n-ю степень дает число a.

1

Корень n-йстепениобозначается как n a или a n . Используяэтиобозна-

чения, определение корня можно записать следующим образом: (n a )n = a .

n a n = a и n −a = − n a .

Если же n – четное число, то:

1)величина a n ≥ 0 , причем a n = 0 a = 0 ; кроме того, (−a)n = a n ;

2)корень n a определен только для неотрицательных чисел a и по определению его значение также неотрицательно! Из этого сле-

дует, что при извлечении корней четной степени мы должны придер-

живаться правила: n a n = a и помнить, что область определения

функции f (x) = n g(x) описывается неравенством g(x) ≥ 0 . Сказанное проиллюстрируем примерами.

9

Пример 5. Вынести множитель из-под корня 4 −81x5 .

Решение. 4 −81x5 = 4 −34 x4 x = 3 |x| 4 −x = −3x4 −x , т. к. область определения исходного выражения x ≤ 0 и значит 4 x4 =|x| = −x .

Пример 6. Найти число x, если 20% этого числа равны

6 (5 −3 3)6 + 6 (5 +3 3)6 .

Решение. Т. к. имеем дело с корнем четной степени, то получаем:

6 (5 −3 3)6 + 6 (5 +3 3)6 = 5 −3 3 + 5 +3 3 = 3 3 −5 +5 +3 3 = 6 3

Из условия задачи 0,2x = 6 3 . Отсюда x = 30 3 .

Если x – иррациональное число, то степень a x определена только для неотрицательных значений a, причем, если к тому же x < 0 , то должно

быть a > 0 ! Степень a x для иррациональных x определяется с помощью предельного перехода, и за подробностями мы отсылаем к школьным

учебникам. Для любого числа a > 0 по определению a −x = a1x . И пом-

ним, что 1x =1 для любого x!

Напомним, что в выражении a x , где x R, число a называется осно-

ванием степени, число x – показателем степени.

Эти формулы надо уметь применять как слева направо, так и наоборот!

Пример 7. Упростить 5 48 (1,5)−1/3 + 32 3 2,25 −11 3 24 2 .

Решение. Преобразуем каждое слагаемое по отдельности:

11

=26 33 (20 +4 −22) = 2 6 18 .

10