Математика. Попробуем наверстать упущенное!. Пособие для подготовки к централизованному тестированию

p=ƒдел 6. pexemhe rp`bmemhi

Уравнения являются одним их основных объектов изучения в математике. Любое уравнение с одной переменной можно записать в виде f (x) = 0 . Корнем уравнения называется такое число x1 (их может быть

несколько, или даже – бесконечно много), что подстановка его в левую часть уравнения превращает ее в нуль, т. е. f (x1) = 0 . Например, для

f (x) = f1(x) f2(x) ... fn (x) . Если мы нашли такое разложение, то урав-

ет объединить в одно множество. Отметим, что если мы имеем уравнение f (x) g(x) = f (x) h(x) , то оно равносильно совокупности уравне-

f (x) = 0 . При нахождении корней уравнения следует всегда

g(x) = h(x)

помнить об области допустимых значений (ОДЗ) уравнения – множестве тех значений переменной x, при которых определены все выражения, содержащие переменную и входящие в уравнение.

Пример 22. Найти произведение корней уравнения

(x −0,9)(x2 −6x +8) = (3x −2,7)(x −4)2 .

Решение. Разложим на множители обе части уравнения (x −0,9) ×

×(x −4)(x −2) = 3(x −0,9)(x −4)2 . Очевидно, x = 0,9 и x = 4 – корни

уравнения. Теперь, не боясь их потерять, разделим обе части уравнения на (x −0,9)(x −4) . Получим x −2 −3(x −4) = 0 , x = 5 . Произведение

корней уравнения равно 0,9 4 5 =18 .

Пример 23. Найти сумму корней уравнения (или корень, если он

Решение. ОДЗ уравнения: x ≠ −1 и x ≠1 . После приведения слагаемых левой части к общему знаменателю имеем:

21

дит в ОДЗ) и x = 5 . Итак, исходное уравнение имеет единственный корень x = 5 .

Следующие примеры демонстрируют возможности метода подстановки (см. раздел 4) при решении уравнений и систем.

Пример 24. Найти среднее арифметическое корней уравнения

му?), значит, t > 0 . Перемножим соответствующие части обоих уравнений: t12 = 212 , отсюда t = 2 .

rop`fmemh“ (* !=ƒдел3 6)

1. Найти произведение количества корней на наименьший корень урав-

3. Найти сумму корней (или корень, если он один) уравнения

x2 +6x +8 = x2 −3x −3 . (отв. 4) x +4

22

равно произведение x0 y0 ? (отв. 4)

p=ƒдел 7. pexemhe mep`bemqŠb. leŠnd hmŠepb`knb

1. Числовые неравенства

Чтобы уверенно решать задачи, связанные с функциональными неравенствами, прежде всего надо владеть теоретическими положениями, касающимися числовых неравенств.

Пусть a – число. Запись a > 0 (a < 0) означает, что точка a лежит на

числовой прямой правее (левее) нуля. Запись a > b (число a больше числа b) означает, что a −b > 0 (точка a лежит на числовой прямой правее точки b). Запись a < b (число a меньше числа b) означает, что a −b < 0 (точка a лежит на числовой прямой левее точки b). Запись

a ≥ b – нестрогими.

Рассмотрим наиболее важные для решения задач свойства число-

вых неравенств (они сформулированы для строгих неравенств, но все то же самое верно и для нестрогих неравенств):

ac < bc (т. е. обе части неравенства можно умножать и делить на число

23

c > 0 , это же можно делать и в случае c < 0 , не забыв изменить знак неравенства на противоположный);

6) если а, b, c, d – неотрицательные числа, a > b и c > d , то ac > bd (т. е. можно почленно умножать неравенства одного знака, но только для неотрицательных чисел!!!);

7) если n ` – нечетное число и a > b , то an > bn и n a > n b ;

8) если же n ` – четное число, то имеет место утверждение, ана-

логичное 7), но только для неотрицательных чисел!!!

Пример 26. Найти длину промежутка, который задает все решения

{−2 <1−2x <1

системы неравенств (2 6 −5)(3x −2) > 0 .

Решение. Умножаем на –1 первое неравенство (используем свойство 5): 2 > 2x −1 > −1 , прибавляем ко всем частям неравенства +1 и получаем (см. свойство 2): 3 > 2x > 0 , откуда 0 < x <1,5 , т.е. x (0;1,5) . Т. к.

2 6 −5 < 0 , то (согласно свойству 5) 3x −2 < 0 , x < 2/3 . Окончательно, x (0;1,5) ∩(−∞;2/3) = (0;2/ 3) . Длина этого промежутка равна 2/3.

2. Функциональные неравенства

Функциональные неравенства – это неравенства вида f (x) > g(x) (строгое неравенство) или f (x) ≥ g(x) (нестрогое неравенство), где x – переменная, f (x) и g(x) – заданные функции. Число x0 называется

решением функционального неравенства, если при подстановке x = x0

оно превращается в верное числовое неравенство. Совокупность всех чисел, которые являются решениями функционального неравенства, образуют множество, которое называют множеством решений (или иногда просто – решением). Например, решением (множеством реше-

ний) неравенства x2 ≤ 4 является отрезок [−2;2] .

При решении функциональных неравенств необходимо учитывать свойства числовых неравенств, изложенные в пункте 1, т. к. при каждом фиксированном x функциональные неравенства являются числовыми. В частности, надо понимать, что функциональное неравенство нельзя просто умножать или делить на выражения, которые зависят от переменной x и которые могут изменять свой знак при изменении переменной в рамках ОДЗ. Это связано с тем, что в данном случае возникает ситуация неопределенности: сохранять ли знак неравенства или нет.

24

Одним из основных методов решения функциональных неравенств является метод интервалов.

3. Интервалы знакопостоянства

Для многих элементарных функций y = f (x) , которые изучаются в курсе математики в средней школе, числовую ось можно разбить на конечное число интервалов ( −∞; x1) , ( x1 ; x2 ) , ..., ( xn ; +∞) , для каж-

дого из которых верно одно из следующих утверждений: либо функция f (x) не определена на этом интервале, либо на этом интервале она со-

храняет постоянный знак. Такие интервалы назовем интервалами знакопостоянства. Точки x1, x2, ... , xn являются либо корнями уравнения

f (x) = 0 , либо граничными точками области определения функции f (x) . Для определения знака функции в интервале знакопостоянства

достаточно взять любую точку из этого интервала и определить знак f (x) в этой точке. С другой стороны, при расстановке знаков функции

в интервалах знакопостоянства существенно помогает знание теории (а именно, свойств функций).

Пример 27. Найти интервалы знакопостоянства функции

f (x) =1− 1 . x2 −1

Решение. Вначале находим область определения функции: x2 −1 > 0 , x (−∞; −1) (1; +∞) . Затем решаем уравнение: f (x) = 0 , x = ± 2 . Теперьнаходиминтервалызнакопостоянства:

При расстановке знаков учтем, что функция f (x) четная. Значит, знаки функции в интервалах, симметричных относительно точки 0, одинако-

Определение интервалов знакопостоянства фактически является од-

ним их способов решения неравенств вида f (x) > 0 , f (x) ≥ 0 , f (x) < 0 или f (x) ≤ 0 для очень широкого класса функций. Причем, в

данном случае решение неравенства фактически сводится к решению уравнения f (x) = 0 и использованию известных свойств элементарных

функций.

25

Обязательно надо отметить, что если неравенство нестрогое, то корни уравнения f (x) = 0 должны войти в ответ (чтобы не забыть про

эти точки, отмечайте их на рисунке заштрихованными кружочками).

рисунка (правда там точки ± 2 незаштрихованы, но это надо делать!),

можно разбить на конечное число интервалов знакопостоянства. Факти-

чески, использование метода интервалов сводится к изучению знаков отдельно для функции f (x) и отдельно для функции g(x) . А именно:

А) на числовой оси изображаем интервалы знакопостоянства функции f (x) (рекомендуем делать это сверху);

Б) на этом же рисунке (снизу) изображаем интервалы знакопостоянства функции g(x);

В) теперь находим пересечения верхних и нижних интервалов в соответствии со знаком неравенства (для знака > 0 берем пересечения интервалов, где функции f (x) и g(x) имеют одинаковый знак, для зна-

ка < 0 – разные знаки).

Пример 28. Решить неравенство 3 −2 2x − x2 ≤ 0 . 3x +5x −8

Решение. Находим интервалы знакопостоянства и изображаем их на диаграмме:

Решение. Находим интервалы знакопостоянства и изображаем их на диаграмме:

26

p=ƒдел 8. lndrkh

1. Определение и основные свойства

Определение модуля: b = b , если b ≥ 0 , и b = −b , если b < 0 . Из определения следует, что b ≥ 0 , причем равенство нулю возможно только в случае, когда b = 0 . Модулю можно дать следующую геометрическую интерпретацию: b есть расстояние от точки b (на числовой прямой) до нуля, а b −d есть расстояние между точками b и d.

Определение и геометрическая интерпретация позволяют сформулировать несколько правил решения простейших уравнений и неравенств с модулем:

28

В силу свойств модуля числитель положителен при любых x. Тогда по-

Полезно знать и уметь использовать следующие свойства модулей:

Решаем это квадратное уравнение. Его корни: t1 = 4, t2 = −3 . Значение t2 = −3 не подходит, т. к. t2 < 0 . Значит, | x |= 4 . Отсюда находим корни

равенство возможно только в случае, когда x y ≥ 0 .

Пример 33. Решить уравнение x2 −4 + x = x2 + x −4 .

Решение. Применяя указанное свойство, имеем: x (x2 −4) ≥ 0 , откуда по методу интервалов получаем: x [−2;0] [2;+∞) .

2. Решениенекоторыхдругихуравнений инеравенств

При решении задач с модулями весьма эффективными бывают следующие правила:

1) f (x) = g(x) f (x) = g (x) ;f (x) = −g (x)

2)f (x) = g(x) ( f (x))2 = (g (x))2 ;

3)уравнение f (x) = g (x) в ОДЗ, которая описывается неравенством

29

Пример 34. Найти сумму корней уравнения x −1 = 3 x +2 . Решение. Используем правило 1: исходное уравнение равносильно

ней равна − 194 .

Другой способ решения. Пользуясь правилом 2, возведем обе части уравнения в квадрат. После приведения подобных получим (проверь-

те!): 8x2 +38x +35 = 0 . По теореме Виета сумма корней равна −194 (в том, что они есть, надо убедиться, вычислив дискриминант).

Пример 35. Найти среднее арифметическое корней уравнения x3 −8x +4 = 8x +4 .

Решение. Находим ОДЗ (фактически – это учет баланса знаков левой и правой частей уравнения): 8x +4 ≥ 0 , x ≥ −1/ 2 . Теперь, согласно

x = − 4 , корень второго уравнения: x = −2 . Корни x = −4 и x = −2 не

являются решениями исходного уравнения, т. к. не входят в ОДЗ. Следовательно, решениями являются x = 4 и x = 0 . Их среднее арифметическое равно 2.

Пример 36. Найти середину отрезка, который образуют решения неравенства 2x −1 ≤ x +3 .

Решение. Используем правило 4 и получаем неравенство: 4 x2 −4 x +1 ≤ x2 +6x +9 , 3x2 −10x −8 ≤ 0 . Найдем корни левой части неравенства: x = 4 , x = −2/3 . Таким образом, множество решений исходного неравенства образует отрезок [−2/3; 4] . Находим его середину

−2/3 +4 = 5 . 2 3

ОБСУЖДЕНИЕ. Правило 4 данного пункта не всегда легко реализовать, т. к. после возведения в квадрат могут получиться очень громоздкие выражения. Разрешить эту проблему поможет метод интервалов. Вначале решаем уравнение f (x) = g(x) , а затем находим ин-

тервалы знакопостоянства для функции y = f (x) − g(x) . Аналогично можно поступать и для неравенств вида f (x) > g(x) и f (x) < g(x) .

30