Математика. Попробуем наверстать упущенное!. Пособие для подготовки к централизованному тестированию

Пример 37. Найти произведение числа целых решений неравенства | x2 −6x +2| >|2x2 −3x −2| и наименьшего целого решения.

Решение. Как раз в этом примере воспользоваться правилом 4 было бы нерационально. Поэтому вначале решим уравнение

В результате найдем четыре корня: 1, – 4, 0, 3. Следует рассмотреть

неравенство (хотя на тестировании эту проверку можно было бы и не делать, т. к. на интервале (0;1) нет целых решений!). Наконец, при

x = 2 имеем 6 > 0 – верное неравенство. Т. о., множество решений (−4;0) (1;3) , число целых решений равно 4, наименьшее целое равно

– 3, ответ: – 12. Отметим, что если бы неравенство было нестрогим, то значения 1, – 4, 0 и 3 надо было бы включить в ответ.

3. Общая методика

Более сложные уравнения и неравенства с модулями помогает решать метод интервалов, но в этом случае он имеет несколько иное назначение, чем общий метод интервалов для решения неравенств. Суть состоит в следующем. Находим корни всех подмодульных выражений и разбиваем числовую ось на промежутки знакопостоянства этих выражений (т. е. в каждой точке такого промежутка каждое подмодульное выражение имеет один и тот же знак). Это позволяет, последовательно перебирая данные промежутки, одновременно избавляться от всех модулей и решать обычное уравнение или неравенство (проверяя при этом, что найденный ответ входит в данный промежуток!!!). На-

пример, для уравнения 2 − x − 2x +4 +6 = 0 находим корни подмо-

дульных выражений (это точки 2 и –2) и числовую ось разбиваем этими двумя точками на три промежутка знакопостоянства: (−∞; −2] , (−2; 2]

и (2; +∞) . Затем решаем данное уравнение на каждом из этих промежутков.

Пример 38. Найти сумму корней уравнения 3 x −1 = 2x −1 +3 . Решение. Находим точки, в которых подмодульные выражения рав-

ны нулю: x =1 , x = 12 . Рассмотрим три промежутка:

31

Таким образом, сумма корней исходного уравнения равна −1+5 = 4 . При решении неравенств с модулями не стоит забывать про общий

метод интервалов для решения неравенств.

Пример 39. Найти число целых решений неравенства

|2 − x| − | x + 4| ≥ 0 . | x| − | x −2|

Решение. Применим метод интервалов. Для этого найдем нули (корни) числителя и знаменателя: | x| − | x −2|= 0 ,

x = 1 , |2 − x| −| x +4|= 0 , x = −1 (проверьте!).

Расставим знаки числителя и знаменателя. Отсюда x [−1;1) и неравенство имеет 2 целых решения.

5.Найти среднее арифметическое корней уравнения

| x3 −8x + 4| = 8x + 4 . (отв. 2)

6.Найти разность между наибольшим и наименьшим корнями уравне-

ния x2 + x2 = 2,75 . (отв. 2 3 −1 )

7. Решить уравнение 2 x +1 − 2 x −3 −4 = 0 . (отв. (6;+∞) ) x2 −5x −6

32

8.Сколько целых корней на отрезке [−5;5] имеет уравнение

| 2 x2 −3x +4 | =| 3x −2 | +2 x2 +2 ? (отв. 6 )

9.Найти сумму целых решений неравенства 0 < 2 − x ≤ 2,5 . (отв. 8 )

p=ƒдел 9. jb`dp`Šm{i ŠpeuЧkem, jb`dp`Šmne rp`bmemhe

1. Общие сведения

Квадратный трехчлен – функция вида y = ax2 +bx +c , где a, b и

с – заданные числа (x – переменная). Эти числа называются коэффици-

ентами квадратного трехчлена (а – старший коэффициент, с –

младший). Причем a ≠ 0 , иначе квадратный трехчлен вырождается в линейную функцию!

Квадратное уравнение – уравнение вида ax2 +bx +c = 0 , где a ≠ 0 .

Корни квадратного уравнения называют также корнями соответствующего квадратного трехчлена.

Дискриминантом квадратного уравнения (или, что то же самое, квадратного трехчлена) называется число D = b2 −4ac . Если D < 0 , то

В целях сокращения вычислений в случае четного коэффициента b полезно пользоваться так называемой формулой корней с половинным

График квадратного трехчлена называется параболой. Координаты вершины параболы, которая является графиком квадратного трехчлена

y = ax2 +bx +c , можно найти по формулам: xв = − 2ba , yв = y(xв) . Любой

33

квадратный трехчлен можно записать в виде y = a (x − xв)2 + yв . Обратно, еслитрехчлензаписанввиде y = a (x −k)2 +m , то xв = k и yв = m .

Если D = 0 , то парабола касается оси абсцисс в точке (xв;0) . Если

D < 0 , то в случае a > 0 она целиком лежит выше оси абсцисс, а в случае a < 0 – целиком ниже.

Если a > 0 , то множеством значений квадратного трехчлена

служит полуинтервал [ yв; +∞) (т. е. значение yв является наименьшим

значением трехчлена, а максимального значения нет). Если же a < 0 , то

множеством значений квадратного трехчлена служит полуинтервал

(−∞; yв] (т. е. значение yв является наибольшим значением трехчлена, а минимального значения нет).

Пример 40. Найти наименьшее значение функции y = x2 −3x.

ната вершины параболы как раз и дает наименьшее значение функции.

Внашем случае xв = 23 . Тогда yв = (23)2 −3 23 = 94 − 92 = −94 = −2,25 . Пример 41. При каком наименьшем целом значении k вершина па-

раболы y = kx2 −7x +4k лежит во второй четверти координатной плоскости?

4k

образом, k (− 74;0) . Наименьшее целое значение равно −1 .

34

Графическое представление квадратного трехчлена позволяет легко решать квадратные неравенства. Например, как видно из левого рисун-

ка, в случае a > 0 и D > 0 решением неравенства ax 2 +bx +c ≤ 0 является отрезок [x1;x2] . А в случае a > 0 и D = 0 решением неравенства

y = a . Из рисунка видно, что уравнение

будет иметь 3 корня, когда горизонтальная прямая будет проходить через точку ло-

кального максимума функции y = x2 −3ax , ордината которой противоположна ординате вершины параболы y = x2 −3ax . Таким

равна yв = y(1,5a) = −2,25a2 . Тогда уравне-

ние примет вид a = 2,25a2 , a(1 −2,25a) = 0 , a = 4/9 .

2. Важные теоремы

представить в виде полного квадрата).

35

Очень часто при решении задач возникает необходимость выделения полного квадрата. Для этого применяют следующий алгоритм:

–сначала в квадратном трехчлене выносят за скобку множитель перед x2 , например: 2x2 −3x +5 = 2 (x2 − 32 x)+5 = ;

–далее, в слагаемом, содержащем x , выделяют множитель 2 (удвоенное произведение): = 2 (x2 −2 x 34)+5 =;

–после этого добавляют и вычитают квадрат полученного множите-

– первые 3 слагаемых в скобках представляют уже готовый квадрат

36

5. При каких значениях параметра a парабола y = ax2 +3x +a −4 имеет с осью абсцисс две общие точки? (отв. (−0,5;0) (0;4,5) )

6. Чему равна сумма целых значений параметра а , при которых графики функций y =(a −6)x2 −2 и y =2ax +1 не пересекаются? (отв. – 12)

7. При каких значениях параметра a уравнение x2 +4ax +4a2 −4=0 имеет один корень меньше 3 , а второй – больше 3 ? (отв. a (−2,5;−0,5) ) 8. При каких значениях параметра a корни квадратного трехчлена y = (2a −3) x2 +ax +1 отрицательны? (отв. (1,5; 2] [6;+∞) )

9. При каких значениях параметра a график квадратного трехчлена y = ax2 +(a −3) x +a имеет две общие точки с положительной частью оси Ox ? (отв. a (0;1) )

10. При каких значениях параметра a разность наибольшего и наименьшего корней уравнения 2x2 −(a +1) x +(a −1) = 0 равна их произве-

дению? (отв. 2)

11. При каких значениях параметра a отношение корней уравнения x2 +ax +a = −2 равно 2 ? (отв. {6;−1,5} )

12.Чемуравнасумма кубовкорнейуравнения x2 +3x−2=0 ? (отв. – 45)

13.Записать квадратное уравнение с рациональными коэффициентами,

один из корней которого равен −2 +7 3 . (отв. x2 +4 x −143 = 0 )

37

p=ƒдел 10. ŠejqŠnb{e g`d`Чh

Количество процентов, котороесоставляетположительноечислоX от положительного числа Y, находится по формуле a % = YX 100% . Ясно,

При решении задач на проценты полезно пользоваться понятиями

повышающего и понижающего коэффициентов. Смысл этих понятий таков. Если положительное число Y увеличить на a %, то полученное

значение будет равно ka Y , где ka =1+100a

циент (всегда ka >1 !!!). Если положительное число Y уменьшить на

b %, то полученное значение будет равно kb Y , где kb =1−100b – по-

нижающий коэффициент (всегда 0 < kb <1 !!!).

Например, если цену Y товара сначала повысили на 40% (повышающий коэффициент 1,4), а затем понизили на 20% (понижающий коэффициент 0,8), то новая цена станет равной 0,8 1,4 Y =1,12 Y (и, следо-

вательно, первоначальная цена оказалась повышенной на 12%). Пример 45. Цена товара увеличилась на 25%. На сколько процентов

еенеобходимо уменьшить, чтобы получить первоначальную цену? Решение. Если через x обозначить первоначальную цену товара, то

после ее увеличения на 25% она составила y = 1,25 x . Отсюда x = 1,25y = 0,8 y , то есть вернуться к первоначальной цене можно,

уменьшив новую цену на 20%.

Очень часто при решении задач полезно составлять так называемые балансные уравнения, то есть уравнения, которые связывают между собой те или иные одноименные составляющие.

Пример 46. Исследования показали, что цветочный нектар содержит 80% воды, а полученный из него мед содержит 20% воды. Сколько кг нектара надо переработать пчелам, чтобы получить 1 кг меда?

Решение. Обозначим через x количество цветочного нектара. Нарисуем диаграмму. Составим балансное уравнение (количество сухого вещества не изменилось): 0,2x = 0,8 . От-

сюда x = 4 кг.

При решении многих текстовых задач очень часто используются величины, об-

38

ратные естественным переменным (время, путь и т. п.), связанные об-

щим понятием производительность.

Пример 47. Первый тракторист вспахивает поле на 2 ч быстрее второго, а вместе они вспахивают то же поле за 178 ч. За сколько часов

вспашет поле один второй тракторист?

Решение. Пусть первый тракторист вспахивает поле за х часов, тогда второй тракторист вспахивает поле за x + 2 часов. Если примем все поле за единицу, то за 1 час первый тракторист вспахивает 1/ x часть поля (это и есть его производительность), второй тракторист за 1 час вспа-

8 ( x2 +2x) =15 2( x +1) , 4x2 +8x −15x −15 = 0 , 4x2 −7x −15 = 0 , x1 = 3 , x2 = −5/4 < 0 (не соответствует условию задачи). Итак, x + 2 = 3 +2 = 5 .

Пример 48. Два тела равномерно движутся по окружности. Если они движутся в разные стороны, то встречаются каждые 2 минуты. Если же тела двигаются в одну сторону, то первое тело догоняет второе каждые 10 минут. На сколько секунд быстрее первое тело проходит окружность?

Решение. Пусть v1 – линейная скорость первого тела, v2 – второго. Тогда при движении в разные стороны по окружности они сближаются с суммарной скоростью v1 +v2 , а при движении в одну сторону сближение происходит со скоростью v1 −v2 . Обозначим через L длину окруж-

составит 300 −200 =100 сек.

Пример 49. От пристани А вниз по течению отправились катер и плот. Катер доплыл до пункта В, повернул обратно и встретил плот через 4 ч после выхода из А. Сколько времени катер шел от А до В?

39

Решение. Пусть v – скорость катера, u – скорость течения, S – расстояние от А до В. Тогда катер идет вниз по течению со скоростью v +u , а обратно – со скоростью v −u . За 4 часа плот прошел расстояние

Второй способ решения.

Обозначим: t – искомое время, за которое катер шел от А до В, v – скорость катера, u – скорость течения. Составим балансовое уравнение для пройденного расстояния: (v +u)t = 4u +(4 −t)(v −u) . Здесь (v +u)t –

расстояние, пройденное катером от А до В, (4 −t)(v −u) – расстояние,

пройденное катером от В до встречи с плотом, 4ut – расстояние, пройденное плотом до встречи с катером. Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, получим: 2vt = 4v или t = 2 часа.

rop`fmemh“ (* !=ƒдел3 10)

1.Цена товара увеличилась на 25% . На сколько процентов ее необходимо уменьшить, чтобы получить первоначальную цену? (отв. 20% )

2.Население поселка увеличилось за два года на 10,25% . Найти сред-

ний ежегодный прирост населения. (отв. 5% )

3.В результате повышения производительности труда на 35% цех стал выпускать в день 405 изделий. Сколько изделий в день цех выпускал ранее? (отв. 300)

4.Сколько килограммов воды нужно добавить к 30 кг 5% -го раствора

соли в воде, чтобы получить 1,5% -й раствор? (отв. 70 кг)

5. В первом сплаве золота и серебра количество этих металлов находится в отношении 1: 2 , а во втором – в отношении 2 : 3 . Сколько грамм первого сплава надо взять, чтобы получить 19 г сплава с отношением золота и серебра 7 :12 ? (отв. 9 г)

6.Кинозал имеет два выхода. После просмотра фильма зрители могут выйти только через первый выход за 3 мин, а только через второй – через 1 мин. За сколько секунд зрители выйдут из кинозала, если будут открыты оба выхода? (отв. 45 с)

7.Первую четверть пути поезд двигался со скоростью 80 км/ч, а остав-

шуюся часть – со скоростью 60 км/ч. Какова средняя скорость движения поезда на всем пути? (отв. 64 км/ч)

8. Два тела движутся по окружности равномерно в одну сторону. Первое тело проходит окружность на 2 сек быстрее второго и догоняет второе тело каждые 12 сек. За сколько секунд первое тело проходит окружность? (отв. 4 с)

40