Математика. Попробуем наверстать упущенное!. Пособие для подготовки к централизованному тестированию

asin x ±bcos x = A(sin xcosϕ±cos xsinϕ) = Asin(x ±ϕ) . Найденный угол φ

rop`fmemh“ (* !=ƒдел3 11)

1.Упростить 1cos0,6+cos1,1ππ . (отв. −tg(20π ) )

2.Вычислить cos24° (1+ tg12° tg24°) . (отв. 1)

4.Вычислить tg3α+ctg3α , если tgα+ctgα = 3 . (отв. 18)

5.Вычислить tg1312π −ctg1112π . (отв. 4)

жащих на отрезке [−90°;0°] . (отв. 1)

13. Найти среднее арифметическое корней уравнения

sin x cos4 x = sin3x cos2 x , принадлежащих отрезку [0°; 90°] . (отв. 45° )

14. Найти число корней уравнения cos4 x −3cos(32π −2 x)+2sin2 3x + +2cos2 3x = 0 , принадлежащих отрезку −π2 ; π . (отв. 4)

51

18. Найти сумму корней (в градусах) уравнения cos7sin2 xx =1 , принадле-

жащих отрезку [70°;150°] . (отв. 256° )

20. Найти среднее арифметическое корней (в градусах) уравнения sin x + sin2 x +sin3x = cos x +cos2 x +cos3x , лежащих на отрезке [0º;180º]. (отв. 85º)

21.Найти число решений уравнения 3cos2 x −10sin x = 6 , принадлежащих отрезку [0;5π] . (отв. 4)

22.Найти число целых точек, лежащих в области значений функции

y = 5 + 29 sin2 x − 7 cos2 x . (Указание: применить метод дополнительного аргумента.) (отв. 13)

p=ƒдел 12. ok`mhleŠph“

ПРЯМЫЕ И УГЛЫ В ПЛАНИМЕТРИИ

1. Общие сведения

Угол – геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки. Лучи, образующие угол, называются сторонами угла. Углы измеряются в градусах и радианах (об этом читайте параграф «Радианное и градусное измерение углов»). Т. к. лучи в планиметрии не нумеруются (который из них первый, а который – второй), то значение угла всегда лежит в пределах от 0° до 180° . Угол в 180° образуется лучами, лежащими на одной прямой и направленными в разные стороны. Такой угол называется развернутым. Угол называется острым, если он меньше 90° , прямым, если он равен 90° , и тупым, если он больше 90° .

В связи с вышесказанным заметим, что в геометрии синусы углов всегда неотрицательны, а косинусы, тангенсы и котангенсы положительны для острых углов и отрицательны для тупых углов.

52

Прямые на плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек. Если две прямые на плоскости не параллельны, то они пересекаются в одной точке. В результате образуются четыре угла. Углы (пара углов 1 и 3 ) называются вертикальными (так же,

как и пара углов 2 и 4 ). Вертикальные углы равны. Углы (пара углов1 и 2 ) называются смежными (так же, как и пара углов 1 и 4 , и

т. д.). Смежные углы всумме составляют развернутыйугол, т. е. 180° . Если две прямые параллельны, то угол между ними считается

равным 0° . Если же прямые не параллельны, то угол между ними равен наименьшему из углов 1 – 4 , образованных при пересечении

прямых. Таким образом, угол между двумя прямыми всегда лежит в пределах от 0° до 90° . Если угол между прямыми равен 90° , то они называются перпендикулярными.

Два угла называются

углами со взаимно параллельными сторона-

ми, если образующие их лучи попарно параллельны (см. левый рисунок). Два угла называются уг-

лами со взаимно перпендикулярными сто-

ронами, если образующие их лучи попарно перпендикулярны (см. правый рисунок).

Пример 60. Если два смежных угла с углом α всуммесоставляют 80°, точемуравенугол α? Решение. Смежные углы к углу α – это пара вертикальных углов COB и AOD. Каждый из них равен 40° , тогда α =180°−40° =140°.

2. Полезные теоремы

Теорема 1. Углы с взаимно параллельными (или с взаимно перпендикулярными) сторонами равны, если они оба острые или оба тупые, или в сумме равны 180° (это в случае, если один угол острый, второй – тупой) (см. рисунок выше).

Заметим, что для углов с взаимно параллельными сторонами эта теорема справедлива и в стереометрии!

Теорема 2 (признаки параллельности прямых).

1) Если каждая из двух прямых параллельна третьей прямой, то эти две прямые параллельны.

53

2) Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны. Заметим, что первая часть теоремы справедлива и в стереометрии, а

вторая – нет!

Теорема 3. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда при пересечении этих прямых третьей выполняется одно из условий:

1)равны внутренние накрест лежащие углы (на рисунке 1 = 2 );

2)внутренние односторонние углы в сумме равны 180° (на рисунке

1 + 3 =180° ).

Теорема Фалеса. Пусть две прямые пересекают стороны некоторого угла. Если эти прямые параллельны, то они отсекают на сторонах угла

пропорциональные отрезки, т. е. ac = db . Обрат-

но, если прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки, т. е. ac = db , то они па-

раллельны.

ТРЕУГОЛЬНИКИ

1. Общие сведения

Сумма двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны, а модуль разности двух сторон треугольника меньше третьей стороны. Сумма внутренних углов треугольника равна 180° . Треугольник называется остроугольным, если все его внутренние углы острые. Треугольник называется тупоугольным, если один из его внутренних углов тупой. Треугольник называется прямоугольным, если один из его внутренних углов равен 90° .

Пример 61. Величина одного из углов треугольника равна 20° . Найти острый угол между биссектрисами двух других углов этого треугольника.

Решение. Очевидно, что LOB является

внешним для треугольника BOC и равен сум-

ме углов OBC и OCB. В свою очередь, эта

сумма равна половине суммы углов ABC и ACB, или (180°−20°) / 2 = 80°.

54

Высота треугольника – перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону (или ее продолжение в случае, если угол при данной вершине – острый, а сам треугольник – тупоугольный). Высоты треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения высот лежит внутри треугольника, если он – остроугольный, и вне треугольника, если он тупоугольный.

Медиана треугольника – отрезок, соединяющий вершину треугольника и середину противоположной стороны. Важное свойство: медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2 :1 , считая от вершин треугольника. Точка пересечения медиан всегда лежит внутри треугольника.

Биссектриса треугольника – такой отрезок, соединяющий вершину треугольника с противоположной стороной, который делит пополам внутренний угол треугольника при этой вершине. Важное свойство: биссектриса угла треугольника делит противоположную этому углу сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам (т. е. если BM – биссектриса B треугольника ABC, то AM : MC = AB : BC , см. рисунок ниже).

Окружность называется описанной около треугольника, если все его вершины лежат на окружности. Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну. Ее центр лежит на пересечении серединных перпендикуляров, восстановленных к сторонам треугольника (серединный перпендикуляр к стороне треугольника – линия, проходящая через середину стороны перпендикулярно этой же стороне; распространенной ошибкой является попытка на чертеже завести серединный перпендикуляр в вершину какими угодно ухищрениями). Отметим, что центр описанной окружности находится:

–внутри треугольника для остроугольного треугольника;

–на середине гипотенузы для прямоугольного треугольника;

–вне треугольника для тупоугольного треугольника.

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается каждой из его сторон. В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.

Ее центр лежит в точке пересечения биссектрис внутренних углов треугольника.

55

вписанной окружности; 4) S = abc4R , где R – радиус описанной окружно-

сти; 5) S = p( p −a)( p −b)( p −c) (формула Герона).

Теорема косинусов: a2 = b2 +c2 −2b c cosα .

Теорема синусов: sinaα = sinbβ = sinc γ = 2R , где R – радиус описанной окружности.

Из теоремы синусов, в частности, следует, что в любом треугольни-

ке против большего угла лежит большая сторона.

Признаки равенства треугольников: 1) сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника; 2) две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны; 3) три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника.

Пример 62. Синусы двух острых углов треугольника равны 53 и 135 ,

арадиус описаннойокружностиравен 32,5 . Найти площадь треугольника.

что у данного треугольника стороны равны 39 и 25. Синус угла между

Пример 63. В треугольник вписана окружность радиуса 4 . Одна из сторон треугольника разделена точной касания на отрезки длиной 6 и

Тогда из формулы r = S / p находим x = 7 . Таким образом, стороны треугольника равны 13, 14, 15, а площадь 84. По формуле R = abc4S на-

ходим радиус описанной окружности 8, 125.

Треугольники называются подобными, если стороны одного тре-

угольника пропорциональны сторонам другого (эти стороны называются сходственными), а углы, лежащие против сходственных сторон,

56

равны. Коэффициент пропорциональности сторон называется коэффи-

циентом подобия.

Если k – коэффициент подобия двух подобных треугольников, то:

1)не только стороны треугольников, но и все их линейные размеры пропорциональны с этим же коэффициентом, т. е. радиусы вписанных окружностей, радиусы описанных окружностей, периметры, а также биссектрисы, высоты и медианы, проведенные из равных углов;

2)отношение площадей этих треугольников равно k2 .

Признаки подобия: 1) два угла одного треугольника, соответственно, равны двум углам другого треугольника; 2) две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны; 3) три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника.

Из 1-го признака подобия, в частности, следует, что если прямая пересекает две стороны треугольника и параллельна третье стороне, то она отсекает треугольник, подобный исходному.

Пример 64. Если сходственные стороны подобных треугольников равны 2 и 5 , а площадь первого треугольника равна 8 , то чему равна площадь второго треугольника?

Решение. Коэффициент подобия равен k = 5/2. Тогда, в силу того, что площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента по-

добия, то площадь второго треугольника равна 8k2 = 50 .

Деление площади треугольника: если точка M лежит на стороне AC

треугольника ABC, то прямая BM делит площадь треугольника в отношении AM : MC , то есть SABM : SBMC = AM : MC . В частности, каждая медиана треугольника делит его на два равновеликих (совпадающих по площади) треугольника, а проведенные все 3 медианы – на 6 равновеликих треугольников.

Средняя линия треугольника – отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Она параллельна третьей стороне треугольника и равна половине ее длины.

2. Правильный треугольник

Треугольник называется правильным, если он имеет три равные стороны. Треугольник является правильным тогда и только тогда, когда:

1)его внутренние углы равны 60° ;

2)центр вписанной в треугольник окружности совпадает с центром описанной окружности.

При решении задач, связанных с правильным треугольником со сто-

57

соты h = a23 , радиуса описанной окружности R = a 33 , радиуса впи-

санной окружности r = a63 (и, как легко видеть, в правильном тре-

угольнике R = 2r , R = r = h , R = 23 h , r = h3 ).

3. Равнобедренный треугольник

Равнобедренный треугольник имеет только две равные стороны. Эти стороны называют боковыми сторонами, а третью – основанием равнобедренного треугольника.

Треугольник является равнобедренным тогда и только тогда, когда:

1)высота, проведенная к основанию, является также биссектрисой и медианой;

2)внутренние углы при основании равны;

3)центр вписанной окружности лежит на высоте, проведенной к основанию;

4)центр описанной окружности лежит на высоте, проведенной к основанию.

В частности, отсюда получаем, что внутренние углы при основании равнобедренного треугольника всегда меньше 90° .

х = 2, другими словами, треугольники ABC и KBM подобны с коэффициентом

треугольника KBM будет в девять раз меньше, то есть равна 12. Отсюда площадь четырехугольника АKMС равна 108 – 12 = 96.

4. Прямоугольный треугольник

Это треугольник, один из углов которого – прямой. Сторона, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, две другие – кате-

тами.

58

Обозначим: a и b – катеты прямоугольного треугольника, c – его гипотенуза, h – высота, проведенная к гипотенузе, ac – проекция катета a

на гипотенузу, bc – проекция катета b на гипотенузу (отметим, что c = ac +bc ), α – внутренний угол, лежащий против катета a. При решении задач, связанных с прямоугольным треугольником, надо помнить

иуметь использовать следующие соотношения:

1)теорема Пифагора: c2 = a2 +b2 ;

В прямоугольном треугольнике:

а) высота, проведенная к гипотенузе, разбивает прямоугольный треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, причем каждый из них подобен исходному треугольнику;

б) середина гипотенузы является центром описанной около прямо-

угольного треугольника окружности, а сама гипотенуза является диаметром этой окружности. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна радиусу описанной окружности (и, соответственно, половине гипотенузы);

в) радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности можно найти по формуле r = a +2b −c .

В рамках этого пункта можно отметить следующее: если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник – прямоугольный!

Пример 66. Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна 2 , а острый угол равен 60° . Найти гипотенузу.

Решение. KB = 2· ctg60°, KA = 2· tg60° . Тогда AB = 2· (tg60°+ctg60°) = 8 3 /3 .

В заключение мы хотим обратить внимание читателя, что для успешного решения задач по планиметрии необходимо научиться использовать общие факты, изложенные в первом пункте, в частных случаях. Например, для равнобедренных треугольников первый признак подобия примет вид: если два равнобедренных треугольника имеют одинаковые углыпривершине, тоониподобны. Итакдалее!

59

МНОГОУГОЛЬНИКИ

1. Выпуклые многоугольники

Многоугольник называется выпуклым, если для любых двух его точек отрезок, соединяющий эти точки, принадлежит этому многоугольнику. При решении задач полезно помнить следующие утверждения:

1)Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна

180° (n −2) , где n – число сторон многоугольника.

2)Если в многоугольник можно вписать окружность радиуса r, то его площадь равна S = p r , p – половина периметра многоугольника.

3)Площадь любого выпуклого четырехугольника (!) равна полови-

не произведения его диагоналей на синус угла между ними.

4)Вокруг выпуклого четырехугольника можно описать окруж-

ность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов рав-

на 180° .

5) В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность то-

гда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.

Многоугольник называется правильным, если он имеет равные стороны и равные внутренние углы. Правильный многоугольник имеет центр симметрии. Он расположен в точке пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам многоугольника. Эта точка является также точкой пересечения биссектрис внутренних углов правильного многоугольника. В правильный многоугольник можно вписать окружность и около него можно описать окружность (центры этих окружностей находятся в центре симметрии многоугольника).

Пример 67. Если в выпуклом четырехугольнике ABCD дано, чтоA = 90° и B =130° , то чему равен острый угол между биссектриса-

ми двух других углов?

Решение. Сумма внутренних углов выпуклого четырехугольника равна 360° , отсюда сумма углов ADC и BCD равна

360°−90°−130° =140°. Искомый угол KOC

является внешним для треугольника COD и

равен сумме углов OCD и ODC, или полови-

не от суммы углов ADC и BCD, то есть 70° .

2. Параллелограмм

Это четырехугольник, стороны которого попарно параллельны. Че-

тырехугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда:

1)две его стороны равны и параллельны;

2)стороны попарно равны;

3)диагонали в точке пересечения делятся пополам.

60