Математика. Попробуем наверстать упущенное!. Пособие для подготовки к централизованному тестированию

9. Из пунктов А и В выехали одновременно навстречу друг другу мотоциклист и велосипедист. Они встретились на расстоянии 4 км от В, а в момент прибытия мотоциклиста в B велосипедист находился на расстоянии 15 км от А. Определить расстояние от А до В. (отв. 20 км)

10. Из города со скоростью 48 км/ч выехал мотоцикл. Через 25 мин в том же направлении со скоростью 78 км/ч выехал автомобиль. На каком расстоянии (в км) от города автомобиль догонит мотоцикл? (отв. 52 км)

p=ƒдел 11. ŠphcnmnleŠph“

РАДИАННОЕ И ГРАДУСНОЕ ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ

Градус – центральный угол, который опирается на дугу, равную 1/360 части окружности. Один градус состоит из 60 минут, одна мину-

та – из 60 секунд.

Радиан – центральный угол, который опирается на дугу длиною, равной радиусу.

Полный оборот, равный 360° в градусном измерении, соответствует 2π в радианном измерении. Отсюда мы получаем значение одного радиана: 1 рад = 3602π° ≈ 57°,2958 ≈ 57°17'45" . Кроме этого, мы получаем

формулу перевода градусной меры угла в радианную. А именно:

α= π β°° , где α – значение угла, измеренное в радианах, и β° – значе180

ние угла, измеренное в градусах.

Полезно помнить следующую сравнительную таблицу значений наиболее часто встречающихся углов в градусах и радианах:

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Синусом числа x называют число sin x , равное ор-

динате точки M x , которая является обра-

зом точки A(1; 0) при повороте плоскости вокруг начала координат на угол в x радиан (если x ≥ 0 , то поворот совершается против часовой стрелки, если x < 0 , то по часовой стрелке).

Функция y = sin x имеет следующие

свойства.

1. D( y) = R , E( y) =[−1;1] .

41

x = π2 +2πn, n Z функция принимает максимальное значение, равное

+1, а в точках x = −π2 +2πn, n Z – минимальное значение, равное −1 .

3.Функция принимает нулевые значения в точках x = πn, n Z .

4.Функция положительна на интервалах (2πn; π+2πn), n Z (это

1-я и 2-я четверти тригонометрического круга) и отрицательна на интервалах (−π+2πn;2πn), n Z (это 3-я и 4-я четверти).

5. Функция нечетная и периодическая с периодом 2π.

График функции y = sin x – синусоида.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Косинусом числа x называют число cos x , равное абсциссе точки M x , которая является образом точки A(1; 0) при пово-

роте плоскости вокруг начала координат на угол в x радиан (если x ≥ 0 , то поворот совершается против часовой стрелки, если же x < 0 , то по часовой стрелке).

Функция y = cos x имеет следующие свойства.

1.D( y) = R , E( y) =[−1;1] .

2.На каждом из отрезков [−π+2πn;2πn] , n Z функция монотон-

x = 2πn, n Z функция принимает максимальное значение, равное +1,

апри x = π+ 2πn, n Z – минимальное значение, равное −1 .

3.Функция принимает нулевые значения в точках x = π2 +πn, n Z .

4.Функция положительна на интервалах (−π2 +2πn; π2 +2πn), n Z

(это 1-я и 4-я четверти тригонометрического круга) и отрицательна на интервалах (π2 +2πn; 32π +2πn), n Z (это 2-я и 3-я четверти).

42

5. Функция четная и периодическая с периодом 2π.

График функции y = cos x – косинусоида.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Тангенсом числа x называется число tg x , равное отношению синуса числа x к косинусу числа x, т. е. tg x = cossin xx .

Функция y = tg x имеет следующие основные свойства.

1. D( y) – множество всех действительных чисел, кроме чисел

x = π2 + πn, n Z . 2. E( y) = R .

3. Функция монотонно возрастает от −∞ до +∞ на каждом из интервалов (−π2 + πn; π2 + πn), n Z. Экстремумов функция не имеет.

4. Функция принимает нулевые значения в точках x = πn, n Z .

5. Функция положительна на каждом из интервалов

(πn; π2 + πn), n Z (это 1-я и 3-я четверти тригонометрического круга) и

отрицательна на каждом из интервалов (−π2 + πn; πn), n Z (это 2-я и

4-я четверти).

6. Функция нечетная и периодическая с периодом π.

График функции y = tg x – тангенсоида.

43

ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Формулы можно запомнить, используя следующее правило: функция изменяется на кофункцию, т. е. sin изменяется на cos, tg на ctg и наоборот, а знак в правой части формулы берется таким, какой знак имела бы левая часть формулы, если считать угол α острым.

2. Формулы приведения для углов π±α

Формулы можно запомнить, используя следующее правило: наименование функции не изменяется, а знак в правой части формулы берется таким, какой знак имела бы левая часть формулы, если считать

угол α острым.

44

ОСНОВНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ

1.Зависимость между тригонометрическими функциями одного

итого же аргумента

3. Формулы преобразования тригонометрических функций суммы и разности аргументов

4. Формулы преобразования суммы (разности) одноименных

5. Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму

sinα sinβ = 12 (cos(α−β) −cos(α+β))

cosα cosβ = 12 (cos(α−β) +cos(α+β))

sinα cosβ = 12 (sin(α−β) +sin(α+β))

45

свойствами:

1)область определения – отрезок [−1;1] ;

2)область значений – отрезок −π2 ; π2 ;

3)нечетная (т. е. arcsin(−x) = −arcsin x );

4)монотонно возрастающая.

46

2. Арккосинус числа b, где −1 ≤ b ≤1, – это такой угол из отрезка [0;π] , косинус которого равен числу b. Обозначается arccos b . Таким образом, данное определение можно переписать

так: arccos b [0; π] и cos(arccos b) = b . В то же время надо иметь в виду, что arccos(cos x) = x ,

только если x [0; π] .

Функция y = arccos x обладает следующими свойствами:

1)область определения – отрезок [−1;1] ;

2)область значений – отрезок [0;π] ;

3)arccos(−x) = π−arccos x ;

4)монотонно убывающая.

3. Арктангенс числа b R – это такой угол из интервала (−π2 ; π2) ,

свойствами:

1)область определения – вся числовая прямая;

2)область значений – интервал (−π2 ; π2) ;

3)нечетная (т.е. arctg(−x) = −arctgx );

4)монотонно возрастающая.

РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

1.sin x = a , x = (−1)n arcsina + πn, n Z .

Вчастных случаях эта формула имеет более простой вид:

47

2.cos x = a , x = ±arccosa + 2πn, n Z .

Вчастных случаях эта формула имеет более простой вид:

при a =1 x = 2πn, n Z ;

при a = −1 x = π+ 2πn, n Z;

при a = 0 x = π2 + πn, n Z .

3.tg x = a , x = arctga + πn, n Z.

Вчастных случаях эта формула имеет более простой вид:

ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Вообще говоря, методы решения тригонометрических уравнений

можно разделить на два основных класса. В первом случае уравнение путем тождественных преобразований приводится к уравнению вида

f1(x) f2 (x) ... fn (x) = 0 , где сомножители fk (x) в левой части уравне-

ния есть либо элементарные тригонометрические функции, либо простейшие комбинации таких функций (например, sin x +2cos x ). После

этого достаточно рассмотреть систему n уравнений вида fk (x) = 0 .

Пример 54. Решить уравнение: sin16x = sin x .

Решение. Переносим оба синуса в левую часть уравнения и разность си-

sin 2x =1 −(sin x −cos x)2 и т. д., а затем сведение тригонометрического уравнения к алгебраическому с помощью замены неизвестной.

48

Иногда при решении тригонометрических уравнений или просто при выполнении преобразований тригонометрических выражений приходится пользоватьсяоригинальными приемами, одиниз которыхприведенниже.

Пример 56. Решить уравнение cos x cos2 x cos4 x cos8x = 1/16 .

Решение. Все попытки каким-то образом воспользоваться формулами преобразования произведения косинусов в сумму ни к чему не приведут. Здесь все исчерпывается формулой синуса двойного угла:

sin x cos x = 12 sin2x . Поэтому, умножив обе части уравнения на sin x и вос-

шали в начале данного пункта и, казалось бы, можем сразу написать ответ для исходного уравнения. Но дело в том, что исходное уравнение не эквивалентно уравнению sin16x = sin x , так как при умножении на sin x мы приобрели посторонние корни x = πn , n Z . Поэтому в рас-

смотренном примере ответ примет следующий вид:

Существуют тригонометрические уравнения, которые удобно ре-

шать с помощью введения «тригонометрической единицы», то есть с использованием тождества 1 = sin2 x +cos2 x .

49

Пример 57. Решить уравнение 2sin3 x = cos x .

Решение. Так как cos x 1 = cos x (cos2 x +sin2 x) , то исходное уравне-

ние равносильно уравнению 2sin3 x = cos3 x +cos x sin2 x . Очевидно, что cos x ≠ 0 . Поэтому можно последнее уравнение почленно разделить на cos3 x , ввести обозначение t = tgx и получить уравнение 2t3 −t 2 −1 = 0 . Разложив его левую часть на множители, получим (t −1)(2t 2 +t +1) = 0 . Так как 2t 2 +t +1 > 0 для любого t, то получаем единственный корень t =1, то есть tgx =1 , откуда x = π4 + πn, n Z .

Некоторые тригонометрические уравнения удается решить методом

sin3x ≥ −1, cos2x ≥ −1 , то мы имеем sin3x +cos2x ≥ −2 , причем равен-

ство возможно только в том случае, когда одновременно выполнены два равенства: sin3x = −1, cos2x = −1 . Следовательно, исходное уравнение

эквивалентно системе указанных равенств. Решением первого из них является множество чисел {−π6 + 2π3n , n Z} , а второго – множество

чисел {π2 + πm, m Z}. Пересечение этих множеств дает решение ис-

×(1−cos x) = 0 с дополнительным условием (область определения ко-

тангенса) sin x ≠ 0 . На заданном промежутке первая скобка обращается в нуль при двух значениях аргумента: −90°, 270°. Вторая скобка рав-

няться нулю не может, так как sin x ≠ 0 . Сумма корней равна 180° .

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ АРГУМЕНТ

Рассмотрим использование метода дополнительного аргумента

для преобразования выражения asin x ± bcos x , где b > 0 . Будем считать a > 0 (в противном случае надо вынести минус за скобку). Положим

50