Математика. Попробуем наверстать упущенное!. Пособие для подготовки к централизованному тестированию

Хотелось бы привести и фрагмент другого решения, иллюстрирующего работу со степенями. В частности, преобразуем первое слагаемое:

= 20 33 2 6 и т. д.

Если a > 0 и b > 0 , то указанные выше формулы верны для любых показателей x и y. В других же случаях надо четко понимать, определены ли выражения в правой и левой частях формулы (согласно правилам, изложенным в первом пункте). Например, если a < 0 , b < 0 и

x = 0,5, то левая часть формулы a x b x = (a b) x не определена, а правая

определена!

Если не учитывать сказанное ранее, то можно допустить много ошибок при решении иррациональных уравнений и неравенств. В част-

ности, преобразование вида f (x) g(x) = f (x) g(x) может привести к увеличению ОДЗ (и, соответственно, к появлению посторонних

a ≠ 1 . Область определения – вся числовая прямая, множество зна-

чений – интервал (0;+∞) (т. е. значения этой функции всегда положи-

тельны!). Если a > 1 – показательная функция является монотонно возрастающей, а если 0 < a < 1 – монотонно убывающей.

11

Пример 8. Указать область значений функции y = −2 31−x .

Решение. Т. к. y = −6 3− x = −6 (13)x , то, как показывает график

функции y = a x , a (0;1) , область значений заданной в условии функции – интервал (−∞; 0) .

Из свойства монотонности показательной функции вытекают следующие правила:

1) a f (x) = a g(x) f (x) = g(x) ;

2) если a > b > 0 , то a f (x) = b f (x) f (x) = 0 ;

Последнее утверждение проиллюстрируем примерами. Если 3x > 2x , то x > 0 (т. к. 3 > 2 ). Если же 3x −1 ≤ 2x −1 , то x −1 ≤ 0 по той же причине!

Эти правила являются базовыми при решении показательных уравнений (правила 1–2) и неравенств (правила 3–4). А общую идею решения можно сформулировать следующим образом: надо так преобразовать показательное уравнение или неравенство, чтобы привести к виду 1–4.

4. Решение некоторых степенных и иррациональных уравнений

При решении уравнений вида ( f (x))n = a , n f (x) = g(x) и т. д., где

n– натуральное число, a R, следует помнить:

1)если n – нечетное число, то

12

Эта система неравенств описывает ОДЗ данного уравнения.

13

p=ƒдел 3. tnplrk{ qnjp`yemmncn rlmnfemh“

Для успешной сдачи экзамена по математике просто необходимо помнить и уметь применять следующие формулы:

1)a 2 −b2 = (a −b)(a +b) ;

2)(a ±b)2 = a 2 ±2ab +b2 ;

3)(a +b)3 = a 3 +3a 2b +3ab2 +b3 ;

4)(a −b)3 = a 3 −3a 2b +3ab2 −b3 ;

5)a3 +b3 = (a +b)(a 2 −ab +b2) ;

6)a3 −b3 = (a −b)(a 2 +ab +b2) .

Вчастности, формула 1) позволяет избавиться от иррациональности

взнаменателе дроби в случае, когда там стоит сумма (разность), содержащая квадратные корни. В этом случае следует числитель и знаменатель дроби умножить на соответствующую разность (сумму), т. е. на так называемые сопряженные выражения.

Решение. Избавляемся от иррациональности в знаменателе в каждом из слагаемых (это надо обязательно делать, если требуется сложить

212,23 −111,23 −212,2 333,6 −1002 −102 −1 = (212,2 −111,2)2 −1002 − 101

−102 −1 =1012 −1002 −102 −1 = 201 −101 =100.

14

Надо отметить, что следует уметь использовать этиформулы какслева направо, такисправаналево(впрочем, какилюбыедругиеформулы!!!).

Полезно знать и уметь использовать такие формулы: (a +b +c)2 = a 2 +b2 +c2 +2ab +2ac +2bc ;

(a +b −c)2 = a 2 +b2 +c2 +2ab −2ac −2bc .

15

p=ƒдел 4. leŠnd ondqŠ`mnbjh

При решении многих задач, связанных с уравнениями, системами уравнений, неравенствами и различными преобразованиями, очень эф-

фективным является метод подстановки (замена переменных). Суть его состоит в том, что, вводя одну или несколько новых неизвестных (конкретный вид формул замены зависит от условия задачи), мы часто можем существенно упростить задачу по отношению к ее первоначальной формулировке. Сказанное поясним на примерах.

запишется в виде: t 2 +t −12 ≤ 0 , откуда 0 ≤ t ≤ 3 . Возвращаясь к прежней переменной, имеем: x 2 −3x +5 ≤ 3 . Так как дискриминант квадратного

трехчлена x2 −3x +5 отрицателен, то x2 −3x +5 > 0 при любом x R, и мы можем возвести обе части неравенства в квадрат. Поэтому последнее неравенство эквивалентно неравенству x2 −3x −4 ≤ 0 , откуда x [−1;4] .

Стоит заметить, что если бы мы сделали в данном примере подстановку x2 −3x +5 = t , то решение стало бы более громоздким.

Выбор подстановки не всегда бывает очевидным делом.

Пример 16. Решить систему уравнений: y 2 −7y + xy + x = 0,x2 −12y + xy = 0.

Решение. Сразу заметим, что в силу данной системы x = 0 тогда и только тогда, когда y = 0. Следовательно, пара чисел (0;0) является решением

системы. Теперь, не боясь потерять это решение, выполним преобразова-

16

17

p=ƒдел 5. khmeim{e rp`bmemh“ h hu qhqŠel{

Уравнение вида ax + by = c , где a, b и c – фиксированные числа, не

равные нулю одновременно, x и y – переменные, называется линейным.

Числа a и b называются коэффициентами, число c – свободным членом.

Пример 17. Найти все значения a и b, при которых уравнение ax +b = x имеет бесконечно много решений.

же a = 1 , то уравнение имеет корни только при b = 0 , и этих корней – бесконечно много x \.

Всякое линейное уравнение ax + by = c в прямоугольной декартовой

системе координат xOy на плоскости задает некоторую прямую. Если a = 0, то эта прямая горизонтальна и пересекает ось Oy в точке с орди-

натой y0 = bc . Если же b = 0, то эта прямая вертикальна и пересекает ось

Ox в точке с абсциссой x0 = ac .

Если в линейном уравнении b ≠ 0 , то его можно привести к виду y =kx +d . Такое уравнение задает некоторую наклонную (невертикаль-

ную) прямую и называется уравнением прямой с угловым коэффициентом (а функция такого вида называется линейной). Это название прямой объясняется тем, что коэффициент k имеет четкий геометрический смысл: k = tgα, где α – угол между прямой и положительным

направлением оси Ox (т. е. он измеряется от этой оси против часовой стрелки, и поэтому его значение всегда лежит в пределах от 0° до 180°

и не может равняться 90°). Если две наклонные прямые перпендику-

лярны друг другу, то их угловые коэффициенты связаны соотношением k1 k2 =−1 . Если же они не перпендикулярны, то угол между ними

появляется в связи с тем, что этот угол должен быть по определению острым.

Пример 18. Найти уравнение прямой, которая параллельна прямой y = −2x +4 и проходит через точку с координатами (3;6) .

Решение. Ясно, что параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты, поэтому уравнение любой прямой, параллельной

18

y= −2x +a : 6 = −6 + a , a =12 .

Сгеометрической точки зрения решение системы линейных урав-

мых, которые задаются уравнениями системы. Поэтому можно сразу сказать, что для такой системы возможны только три варианта: система может иметь единственное решение (прямые пересекаются), может не иметь решений (прямые параллельны) и может иметь бесконечно много решений (прямые совпадают).

Решение. Умножим первое уравнение на 3, второе на 5, затем сложим оба уравнения (такой метод решения называется методом исклю-

решение (1;1) , то чему равна разность a −b ?

Решение. Подставив решение (1;1) в систему, получим новую сис-

тему для определения коэффициентов a и b : {2aa+−bb==−36 (проверьте!).

Сложив оба уравнения, получим 3a = −3 . Отсюда a = −1, b =2a −3 =−5 . Окончательно a −b = −1−(−5) = 4 .

С использованием коэффициентов системы можно провести следующее исследование вопроса о количестве решений системы двух линейных уравнений.

Система имеет единственное решение, если не выполнена пропор-