Математика. Попробуем наверстать упущенное!. Пособие для подготовки к централизованному тестированию

Вообще говоря, около параллелограмма нельзя описать окружность, и в него нельзя вписать окружность. Если известно, что около параллелограмма можно описать окружность, то этот параллелограмм является прямоугольником. Если известно, что в параллелограмм можно вписать окружность, то этот параллелограмм является ромбом.

угол между диагоналями равен большему углу параллелограмма. Найти модуль разности длин диагоналей.

Ромб – параллелограмм, имеющий четыре равные стороны. Диагонали ромба перпенди-

кулярны. В ромб можно вписать окружность (ее центр лежит в точке пересечения диагоналей ромба). Около ромба можно описать окружность только, если он является квадратом!

Прямоугольник – параллелограмм, внутренние углы которого равны 90° . Диагонали прямоугольника равны. Вокруг прямоугольника можно описать окружность (ее центр лежит в точке пересечения диагоналей прямоугольника). В прямоугольник можно вписать окружность только, если он является квадратом!

3. Трапеция

Это выпуклый четырехугольник, две стороны которого параллельны (они называются основаниями), а две другие – нет (они называются боковыми сторонами). Если боковые стороны равны, то трапеция называется равнобедренной (или равнобокой). Сумма углов трапеции, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180° . Трапеция прямоугольная, если она имеет два прямых угла (они обязательно прилежат к одной боковой стороне!).

61

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон. Средняя линия параллельна основаниям и равна половине их суммы.

Формулы площади трапеции: 1) S = a +2 b h , где а и b – основания,

h – высота трапеции; 2) S = m h , где m – средняя линия, h – высота трапеции.

Пример 69. В равнобедренную трапецию площадью 255 вписана окружность радиуса 7,5 . Найти большее основание трапеции.

Решение. Если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность радиуса r,

основание трапеции равно 25.

В заключение мы опять же хотим обратить внимание читателя, что для успешного решения задач по геометрии необходимо научиться использовать общие факты, изложенные выше, в частных случаях. Например, утверждение 3 пункта 1 (общие сведения по выпуклым многоугольникам)

ОКРУЖНОСТЬ, КРУГ

Окружность – геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от заданной точки C (центр окружности) на расстояние R (радиус окружности). Величина d = 2R называется диаметром окружности. Круг – множество точек на плоскости, ограниченное окружностью. Центр, радиус и диаметр круга такие же, как и у ограничивающей его окружности.

Если радиус окружности равен R и ее центр C в прямоугольной декартовой системе координат xOy на плоскости имеет координаты C(a,b) , то в этой системе координат данная окружность задается

уравнением ( x −a)2 +( y −b)2 = R2 .

62

Длина окружности радиуса R равна L = 2πR , а площадь круга рав-

на S = πR2 .

Прямая называется касательной к окружности, если она имеет с окружностью только одну общую точку. Эта точка называется точкой касания. Каса-

Обратно, если радиус, проведенный в общую точку прямой и окружности, перпендикулярен этой прямой, то

прямая является касательной к данной окружности. Отрезки каса-

тельных, проведенных из одной точки, расположенной вне окружно-

сти, равны между собой (см. на рисунке: AB = AC ). Квадрат длины отрезка касательной равен произведению секущей, проведенной из

той же точки, на ее внешнюю часть (см. на рисунке: AB2 = AD AE ). Отрезок, соединяющий две точки на окружности, называется хор-

дой. Полезно знать следующие факты: 1) диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен хорде; 2) диаметр, перпендикулярный хорде, проходит через ее середину; 3) если хорды AB и CD пересекаются в точке M, то AM MB = CM DM .

Угол называется центральным, если его вершина лежит в центре окружности, а образующие его лучи пересекают окружность. Угол называется вписанным в окружность, если его вершина лежит на окружности, а образующие его лучи пересекают эту окружность. Под градусной мерой дуги окружности подразумевается величина центрального угла, который опирается на эту дугу.

Вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается (т. е. равен половине градусной меры этой дуги). В частности, если центральный угол и вписанный угол опираются на одну и ту же дугу, то вписанный угол равен половине центрального. Если два вписанных угла опираются на одну и ту же дугу, то эти углы равны.

Если из одной точки на окружности проведены касательная и хорда, то угол между ними равен половине градусной меры дуги, заключенной между этими касательной и хордой. Т. о. угол между касательной и хордой является предельным случаем вписанного угла. Например, на чертеже угол CBA равен половине гра-

дусной меры дуги BC, заключенной между касательной AB и хордой

BC. Угол между двумя секущими можно найти по формуле:

63

EAC = 12 (EC − DK ) , где EC и DK – градусные меры дуг EC и DK

соответственно. Аналогично, угол между секущей и касательной

можно найти по формуле: EAB = 12 (BE − BD) . Точно так же находит-

ся угол между двумя хордами (например, на первом чертеже, приве-

денном выше, CAB = 12 (BEC − BDC) ).

Длину дуги окружности можно найти по формуле Aдуги = R α , где

R – радиус окружности, α – величина (в радианах!) центрального угла, который опирается на эту дугу.

Круговой сектор – часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой окружности, заключенной между этими радиусами (например, на первом чертеже, приведенном выше, круговой сектор – сектор BOC).

R – радиус окружности, α – величина (в радианах!) центрального угла, который опирается на эту дугу.

Пример 70. Из точки B, взятой на окружности,

проведены диаметр BC и хорда BA, которая стягивает дугу в 46° . Найти угол между диаметром и хордой.

Решение. Из условия следует, что центральный угол AOB, опирающийся на дугу AB, равен 46° . Треугольник AOB – равнобедренный, поэтому

OBA = OAB = (180°−46°)/2 = 67° .

rop`fmemh“ (* !=ƒдел3 12)

1.Катеты прямоугольного треугольника равны 8 и 6 . Найти длину медианы, проведенной к гипотенузе. (отв. 5)

2.Высота, проведенная из вершины прямого угла треугольника, делит угол в отношении 1: 2 . Найти отношение площадей полученных тре-

угольников. (отв. 1: 3 )

3. В треугольнике ABC заданы длины сторон AB = 6 , BC = 7 и

AC = 8 . Найти sin B . (отв. 15 /4 )

4. Основание треугольника равно 20 , медианы боковых сторон равны 18 и 24 . Найти площадь треугольника. (отв. 288)

64

5.Квадрат ABCD и правильный треугольник ABK имеют общую сторону, причем точка K лежитвне квадрата. Найтиугол CKD . (отв. 30° )

6.Дан квадрат, две вершины которого лежат на окружности радиуса 5, а другие – на касательной к этой окружности. Найти сторону квадрата. (отв. 8)

7.В прямоугольнике диагонали пересекаются под углом 60° , а сумма диагонали и меньшей стороны равна 36 . Найти площадь прямоуголь-

AC = CD . Найти площадь трапеции. (отв. 12)

10.В трапеции длины оснований равны 9 и 12 , а длины диагоналей равны 10 и 17 . Найти площадь трапеции. (отв. 84)

11.В трапеции ABCD заданы основания BC = 20 , AD = 30 и боковые стороны AB = 6 , CD = 8 . Найти радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся стороны CD . (отв. 15)

12.В выпуклом четырехугольнике диагонали равны 4 и 7 . Длины отрезков, соединяющих середины его противоположных сторон, равны. Найти площадь четырехугольника. (отв. 14)

13. В четырехугольнике ABCD известны углы CBD = 58° ,ABD = 44° и ADC = 78° . Найти угол CAD . (отв. 58° )

14.Одна из диагоналей параллелограмма длиной 4 6 составляет с основанием угол 60° , а вторая диагональ составляет с тем же основанием угол 45° . Найти вторую диагональ. (отв. 12)

15.В параллелограмме с периметром 84 высоты относятся как 3: 4 . Найти меньшую сторону. (отв. 18)

16.Точка P удалена на расстояние 7 от центра окружности радиуса 11 . Через эту точку проведена хорда длиной 18 . Найти длину большего из отрезков, на которые делится эта хорда точкой P . (отв. 12)

65

p=ƒдел 13. opncpeqqhh

1. Арифметическая прогрессия

Арифметической прогрессией называется последовательность чисел, каждое из которых отличается от предыдущего на одно и то же слагаемое, т. е. a1 , a1 + d , a1 + 2d , …. Число a1 называется первым членом

прогрессии, число d – разностью прогрессии. Если d > 0 , то прогрес-

сия называется возрастающей, если d < 0 – убывающей.

Формула an = a1 +d (n −1) , позволяющая по натуральному числу n

определить значение члена прогрессии с номером n, называется формулой общего члена арифметической прогрессии.

му членов прогрессии с номерами от m до n включительно. Если

Пример 71. В арифметической прогрессии a3 + a7 = 5 и a4 =1 . Най-

ти сумму ее первых десяти членов.

Решение. Решение этой простой задачи демонстрирует главную идею решения большинства задач на арифметическую прогрессию.

А именно, из формулы общего члена этой прогрессии следует: чтобы полностью определить арифметическую прогрессию, надо знать ее первый член a1 и разность прогрессии d. И для нахождения этих двух па-

раметров необходимо иметь два уравнения!

a10 = a1 +9d = −3,5 +9 1,5 =10 . Сумма первых десяти членов вычисляем

Пример 72. Известно, что в арифметической прогрессии сумма ее первых 11 членов равна 22. Чему равна сумма a4 + 2a6 + a8 ?

Решение. В отличие от предыдущей задачи, здесь мы можем составить только одно уравнение. Значит, мы не можем полностью опреде-

66

лить прогрессию. Поэтому постараемся найти связь между заданной и искомой величинами.

a1 +5d = 2 . В результате: a4 +2a6 +a8 = a1 +3d +2a1 +10d +a1 +7d = 4a1 + +20d = 4(a1 +5d) = 4 2 = 8 .

Пример 73. Сколько натуральных чисел, принадлежащих отрезку

[1 000;5000] , делятся на 17?

Решение. Эти числа образуют арифметическую прогрессию, у которой d =17 . Поделим 1000 на 17 с остатком: 100017 = 58 +1417 . Значит, для

того, чтобы найти минимальное натуральное число, большее, чем 1000, и делящееся на 17, надо к 1000 прибавить 17 −14 , т. е. 3. Итак, a1 =1003 . Теперь найдем максимальное натуральное число из отрезка,

которое делится на 17. Поделим 5000 на 17 с остатком: 500017 = 294 +172 .

Значит, для того, чтобы найти максимальное число, меньшее, чем 5000, и делящееся на 17, надо от 5000 отнять остаток, т. е. 2. Итак, an = 4998 .

Теперь воспользуемся формулой общего члена арифметической прогрессии: 4998 =1003 +17(n −1) . Делим обе части на 17 (воспользовав-

шись ранее полученными результатами деления с остатком) и получаем: 294 = 59 +n −1 , n = 236 .

Три числа x, y и z являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии тогда и только тогда, когда 2y = x + z

(это можно сформулировать и так: число y = x +2 y – среднее арифме-

тическое чисел x и z).

Полезно знать такой факт: если в арифметической прогрессии четное количество членов, равное 2k, а Sчет и Sнечет – суммы членов этой про-

грессии с четными и нечетными номерами соответственно, то

Sчет = Sнечет +k d .

2. Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называется последовательность чисел, каждое из которых отличается от предыдущего на один и тот же множи-

тель, т. е. b1 , b1 q , b1 q2 , …. Число b1 называется первым членом прогрессии, число q – знаменателем прогрессии. Если q >1 , то прогрессия

67

называется возрастающей, если q <1 – убывающей. Если q <1 и про-

грессия содержит бесконечно много членов, то она называется бесконеч-

ной убывающей прогрессией.

Формула bn = b1 qn−1 , позволяющая по натуральному числу n опре-

делить значение члена прогрессии с номером n, называется формулой общего члена геометрической прогрессии.

Пример 74. В геометрической прогрессии с положительными членами b1 +b2 = 20 , b3 +b4 =180 и bn = 405 . Чему равно n ?

условию геометрическая прогрессия с положительными членами, то

конечной убывающей геометрической прогрессии.

Три числа x, y и z являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии тогда и только тогда, когда y2 = x z (это можно сформулировать и так: число y = xz – среднее геометрическое

чисел x и z).

Полезно знать такой факт: если в геометрической прогрессии четное количество членов, равное 2k, а Sчет и Sнечет – суммы членов этой про-

грессии с четными и нечетными номерами соответственно, то

Sчет = q Sнечет .

Пример 75. В геометрической прогрессии 10 членов, сумма всех ее членов равна 3069 и она в 3 раза больше суммы членов, стоящих на нечетных номерах. Найти первый член прогрессии.

68

b1 = 3 . Отметим, 210 =1024 – килобайт в информатике.

rop`fmemh“ (* !=ƒдел3 13)

1.В арифметической прогрессии седьмой член в три раза больше второго, а сумма первых шести членов равна 48. Найти суму членов с пятого по восемнадцатый включительно. (отв. 336)

2.Сумма членов арифметической прогрессии с третьего по тринадцатый включительно равна 55 и an = 5 . Чему равно n? (отв. 8)

3.В геометрической прогрессии b2 b4 b6 = 216 и b3 =12 . Найти сумму первых шести членов. (отв. 94,5)

4.Три числа x , y и 12 образуют убывающую геометрическую про-

грессию. Если вместо 12 взять 9, то три числа составят арифметическую прогрессию. Найти сумму x + y . (отв. 45)

5. Четыре числа составляют возрастающую геометрическую прогрессию, в которой сумма крайних членов равна 27, а произведение средних равно 72. Найти большее из этих чисел. (отв. 24)

6. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 5, а сумма квадратов членов этой же прогрессии равна 15. Найти знаменатель прогрессии. (отв. 0,25)

8. Для некоторой геометрической прогрессии сумму ее первых n членов

Найти сумму первого члена и знаменателя прогрессии. (отв. 7/3)

9. Три различных числа x, y и z образуют геометрическую прогрессию. Найти знаменатель этой прогрессии, если известно, что числа x, 2y и 3z образуют арифметическую прогрессию. (отв. 1/3)

69

p=ƒдел 14. b`ph`mŠ{ g`d`mhi dk“ q`lnopnbepjh

(Ч`qŠ| `)

Вариант 1

70