Математика. Интегральное исчисление. Ч.1. Неопределенный интеграл. Учебное пособие

№ 4043 М И Н И С Т Е РС Т В О Н АУ К И И В Ы С Ш Е ГО О Б РА З О ВА Н И Я РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

ИНСТИТУТ БАЗОВОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Кафедра математики

МАТЕМАТИКА

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Часть 1. Неопределенный интеграл

Учебное пособие

Рекомендовано редакционно-издательским советом университета

Москва 2020

3

ВВЕДЕНИЕ

Понятие неопределенного интеграла является основным фундаментальным понятием математического анализа.

Интегрирование берет свое начало еще в древнем Египте примерно в 1800 г. до н. э. Первым известным методом расчета интегралов является метод исследования площади или объема криволинейных фигур – метод исчерпывания Евдокса, который был предложен примерно в 370 г. до н. э. Евдоксом Книдским (ок. 408 г. до н.э. – ок. 355 г. до н.э.) – древнегреческим математиком, механиком и астрономом.

Как таковой интегральный метод зародился в трудах древнегреческого ученого Архимеда (287 г. до н.э. – 212 г. до н.э.) при вычислении площадей и объемов некоторых фигур и тел. Архимед предвосхитил многие идеи этого метода, но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем они получили четкое математическое оформление и превратились в интегральное исчисление.

Следующий значительный прорыв в исчислении интегралов произошел лишь в XVI в. в работах итальянского математика Бонавентуры Франческо Кавальери (1598–1647), в которых описывался предложенный им метод неделимых, а также в работах французского математика Пьера де Ферма (1601–1665). Этими учеными были заложены основы современного интегрального исчисления.

Интегральное исчисление развивалось вначале совершено независимо от дифференциального исчисления, и только к концу XVII в. ученые открыли между ними глубокую и фундаментальную внутреннюю связь.

Дальнейшее развитие связано с деятельностью английского математика, физика и богослова Исаака Барроу (1630–1677) и итальянского математика и физика, ученика Галилея Эванджелисты Торричелли (1608–1647), которые представили первые намеки на связь между интегрированием и дифференцированием.

Немецкий ученый Г. Лейбниц (1646–1716) одновременно с английским ученым И. Ньютоном (1642–1727) открыли основные принципы дифференциального и интегрального исчисления. Теория приобрела силу после того, как Лейбницем и

4

Ньютоном было доказано, что дифференцирование и интегрирование – взаимно обратные операции. Открытие этой внутренней связи между дифференциальным и интегральным исчислением имело огромное значение для развития математики и естествознания. Это открытие Лейбница и Ньютона позволило не только значительно расширить область применения математики, глубже проникнуть в изучение закономерностей окружающей нас природы, но, что особенно важно, решать с единой точки зрения многочисленные задачи естествознания. И. Ньютону, Г. Лейбницу и некоторым их современникам принадлежит первенство в применении методов графического интегрирования.

Современное обозначение неопределенного интеграла было введено Лейбницем в 1675 г. Он адаптировал интегральный символ, образованный из буквы S — сокращения латинского слова Summa (сумма).

Сам термин «интеграл» ввел швейцарский математик Якоб Бернулли (1655–1705) в 1690 г.

5

1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Определение. Функция F(x) называется первообразной функцией (или просто первообразной) для функции f(x) на интервале (a,b) , если в любой точке x интервала (a,b) функция F(x) дифференцируема и имеет производную F′(x) , равную f(x) .

Теорема. Если функции F1(x) и F2 (x) – любые первообразные для функции f(x) на интервале (a,b) , то всюду на этом интервале F1(x) −F2 (x) =C , где C – некоторая (произвольная) постоянная.

Доказательство. Положим, Φ(x) = F1(x) −F2 (x) . Так как каждая из функций F1(x) и F2 (x) дифференцируема на интервале (a,b) , то и Φ(x) дифференцируема на интервале (a,b) , при-

чем всюду на этом интервале Φ′(x) = F1′(x) −F2′(x) =f(x) −F(x) =0 . Из дифференциального исчисления известно, что если функ-

ция Φ(x) дифференцируемая на интервале (a,b) , и если всюду на этом интервале Φ′(x) =0 , то функция Φ(x) является постоянной на интервале (a,b) .

Отсюда Φ(x) = F1(x) −F2 (x) =C , что и требовалось доказать. Следствие. Если F(x) – одна из первообразных функций для

функции f(x) на интервале (a,b) , то любая первообразная Φ(x) для функции f(x) на интервале (a,b) имеет вид Φ(x) = F(x) +C , где C – некоторая постоянная.

Определение. Совокупность всех первообразных функций для функции f(x) на интервале (a,b) называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается символом:

∫f(x)dx .

Если F(x) – одна из первообразных функций для функции f(x) на интервале (a,b) , то в силу следствия из теоремы

С геометрической точки зрения неопределенный интеграл представляет собой однопараметрическое семейство кривых y = F(x) +C , где C — параметр.

6

На рисунке изображено семейство функций, соответствующих неопределенному интегралу x2 +C от функции f(x) =2x , т.е. семейство парабол y =x2 +C .

Семейство парабол

Множество (или семейство) кривых вида y = F(x) +C называют интегральными кривыми. Они не пересекаются между собой и не касаются друг друга. Через каждую точку плоскости проходит только одна интегральная кривая. Все интегральные кривые получаются одна из другой параллельным переносом вдоль оси0y .

Теорема. Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.

Операцию по нахождению первообразной или неопределенного интеграла называют интегрированием.

7

2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА

1. (∫f(x)dx)′ =(F(x) +C)′=f(x). 2. d(∫f(x)dx)=f(x)dx.

3. ∫dF(x) = F(x) +C.

4. ∫(u +v −w)dx = ∫udx +∫vdx −∫wdx; где u, v, w – некоторые функции от х.

5. ∫C f(x)dx =C ∫f(x)dx.

Доказательства этих свойств основываются на определении неопределенного интеграла, свойств пределов и производных функций.

Нахождение значения неопределенного интеграла связано главным образом с нахождением первообразной функции. Для некоторых функций это достаточно сложная задача. Ниже будут рассмотрены способы нахождения неопределенных интегралов для основных классов функций – рациональных, иррациональных, тригонометрических, показательных и др.

Для удобства значения неопределенных интегралов большинства элементарных функций собраны в специальные таблицы интегралов, которые бывают иногда весьма объемными. В них включены различные наиболее часто встречающиеся комбинации функций. Но большинство представленных в этих таблицах формул являются следствиями друг друга, поэтому ниже приведем таблицу основных интегралов, с помощью которой можно получить значения неопределенных интегралов различных функций.

8

3. ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

9

4. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Рассмотрим три основных метода интегрирования.

4.1. Непосредственное интегрирование

Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием. Вообще, заметим, что дифференцирование является мощным инструментом проверки результатов интегрирования. Рассмотрим применение этого метода на примере.

Требуется найти значение интеграла ∫dxx . На основе известной формулы дифференцирования (lnx)′ = x1 можно сделать вывод, что искомый интеграл равен lnx +C , где С – некоторое постоянное число. Однако, с другой стороны, (ln(−x))′ = −x1 (−1) = x1 . Таким образом, окончательно можно сделать вывод: ∫dxx =ln x +C .

Заметим, что в отличие от дифференцирования, где для нахождения производной использовались четкие приемы, методы и правила нахождения производной и ее определения, для интегрирования такие методы недоступны. Если при нахождении производной мы пользовались, так называемыми конструктивными методами, которые, базируясь на определенных правилах, приводили к результату, то при нахождении первообразной приходится в основном опираться на знание таблиц производных и первообразных.

Пример. Вычислить ∫(x2 −2sinx +1)dx .

Решение. Воспользовавшись свойством 4 разложения суммы, получаем три интеграла:

∫(x2 −2sinx +1)dx = ∫x2dx −2∫sinxdx +∫dx = 13 x3 +2cosx +x +C .

10