Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Интегральное исчисление. Ч.1. Неопределенный интеграл. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 77

d(∫f(x)dx)=f(x)dx

∫f(x)dx = F(x) +c ∫f(ax +b)dx =

F(ax +b) +c .

Формула замены переменных:

∫f (g(x))g′(x)dx = ∫f(t)dt,t = g(x),dt = g′(x)dx.

Частные случаи:

∫

f′(x)dx

=ln

f(x)

+c ;

∫

f′(x)dx

+c .

f(x)

(1−n)f

n−1

(x)

Формула интегрирования по частям: ∫udv =uv −∫vdu.
Pn (x) – многочлен n-й степени:
		sinkx;

		coskx;
1) ∫Pn (x)			kx		;		dx, u = Pn (x);
		e			;
				kx
		a
		arcsinkx;

		arccoskx;

2) ∫Pn (x) arctgkx; dx,dv = Pn (x)dx;

		lnkx;

		log				a	kx
						a
arcsinkx;

arccoskx;

3) ∫ arctgkx;							dx,dv =dx.

lnkx;

log	a	kx
	a

Некоторые тригонометрические формулы, необходимые при интегрировании:

2cosmxcosnx = cos(m+n)x +cos(m–n)x; 2sinmxcosnx = sin(m+n)x +sin(m–n)x; 2sinmxsinnx = – cos(m+n)x +cos(m–n)x; 2sin2 x = 1 – cos2x;2cos2 x = 1 + cos2x.

∫R(sinx,cosx)dx , универсальная тригонометрическая подста-

новка: tg

=t,x =

2arctgx, sinx =

,cosx =

1−t2

,dx =

2dt

+t2

1+t2

Простейшие, или элементарные, правильные

рациональные дроби и их интегрирование

x −a

, где k – целое положительное число ≥ 2.

(x −a)k

Ax +B

корни

знаменателя

– комплексные

числа –

x2 + px +q

−q <0.

Ax + B

,где k – целое положительное число ≥ 2; корни

(x2 + px +q)k

−q <0.

знаменателя – комплексные числа –

Их интегрирование.

∫

Adx

= Aln

+c.

x −a

∫

Adx

+c.

−k)(x −a)

k−1

(x −a)

3. ∫

Ax + B

2B − Ap

2x + p

dx =

x + px +q

arctg

+c.

+ px +q

4q − p

4. ∫

Ax +B

dx =

– по рекуррентным формулам понижения

+ px +q)

степени знаменателя

2x − p

dx +

B −

2 ∫(x2 + px +q)k

∫(x2 + px +q)k

∫

+ B −

(1−k)(x

+ px +q)

k−1

x +

+ q −

где Ik

;

∫

p 2

p2 k

∫(t2 +m2 )k

x +

+ q −

2k −3

I =

∫(t2 +m2 )k

2m2 (k −1) ∫(t2 +m2 )k−1

2m2 (k −1)(t2 +m2 )k−1

Правило интегрирования рациональных дробей

1.Если дробь неправильная, то выделяем целую часть и получаем сумму многочлена и правильной рациональной дроби.

2.Правильную рациональную дробь в соответствии с характером корней знаменателя раскладываем на сумму элементарных правильных дробей:

Pn (x)

+...+

(x)

x −a

(x −a)2

(x −a)s

x −b

(x −b)2

M x +N

+...+

Mmx + Nm

+...+

(x −b)

+ px +q

+ px +q)

+ px

+q)

P1x +Q1

P2x +Q2

...+

Pνx +Qν

+ px +q

+ px +q)

3.Ищем неопределенные коэффициенты либо методом неопределенных коэффициентов, либо методом Остроградского, либо комбинированным методом.

4.Непосредственно интегрируем.

Интегрирование иррациональных функций

∫

x =tk,dx =ktk−1dt,

R x,x n ,...,xs

dx. Подстановка:

где k –

общий знаменатель дробей

,...,

ax +b

ax +b n

ax +b s

∫r x,

,...,

dx.

Подстановка:

cx +d

где k – общий знаменатель дробей

,...,

3. ∫R(x,ax2 +bx +c)dx – (a > 0), первая подстановка Эйлера:

		t2	−c
ax2 +bx +c = ±
	ax +t, откуда x =				.
		b −2t
				a

4. ∫R(x,ax2 +bx +c)dx – (c > 0), вторая подстановка Эйлера:

ax2 +bx +c =xt ± c, откуда x = 2t c −b. a −t2

Тригонометрические подстановки

1. ∫R(sinx,cosx)dx – универсальная тригонометрическая под-

становка tg	x	=t,x =2arctgx : sinx =	2t	;cosx =	1−t2	;dx =	2dt	.
	2		1+t2		1+t2		1+t2

2.∫R(sinx)cosxdx. Подстановка: sinx =t,dt =cosxdx.

3.∫R(cosx)sinxdx. Подстановка: cosx =t, −dx =sinxdx.

4.∫R(tgx)dx. Подстановка: tgx =t,x =arctgx,dx =1dt+t2 .

Вычисление интегралов вида ∫R(x,ax2 +bx +c)dx

В таком случае надо выделить полный квадрат в подкоренном выражении и сделать заменуu =x + 2ba , получаем интеграл одного из следующих типов:

1)∫R(u,l2 −u2 )du , замена u =lsin(t) или u =lth(t);

2)∫R(u,l2 +u2 )du , замена u =ltg(t) или u =lsh(t);

3)∫R(u,u2 −l2 )du , замена u =lsec(t) или u =lch(t).

Эти интегралы тогда приводятся к интегралам вида

∫R(sin(t),cos(t))dx или ∫R(sh(t),ch(t))dx .

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисления. М.: Наука, 1980. 464 с.

Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу. В 2 кн. Кн. 1. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной: Учеб. пособие для университетов, пед. вузов / Под ред. В.А. Садовничего. 2-е изд., перераб. М.: Высш. шк., 2000. 725 с.: ил.

Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1. М.: Высш. шк., 1999. 304 с.

Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. СПб.: Мифрил, 1995. 489 с.

Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. М.: Высш. шк., 1966. 460 с.

Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. Начальный курс / Под ред. А.Н. Тихонова. 2-е изд. М.: Изд-во МГУ, 1985. 662 с.

Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике: Учеб. пособие для втузов. 14-е изд., испр. М.: Изд-во физ.-мат. лит., 2000.

Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: В 2 т. М.: Интеграл-Пресс, 2001, 2002.

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. М.: Наука, Глав. ред. физ.-мат. лит., 1969. 800 с., ил.

Шипачев В.С. Высшая математика. М.: Высш. шк., 1985.

Учебное издание

Адигамов Аркадий Энгелевич Макаров Петр Витальевич Семенова Наталья Вячеславовна Дамиан Флорин Ливич

МАТЕМАТИКА

Интегральное исчисление Часть 1. Неопределенный интеграл

Учебное пособие

Научный редактор Т.А. Кравченко Технический редактор Т.В. Суханова

Корректор Е.Н. Леонова Верстальщик И.В. Баратова

Подписано в печать 30.08.20	Уч.-изд. л. 4,125
Формат 60 × 90 1/16	Электронная версия

Национальный исследовательский технологический университет «МИСиС», 119049, Москва, Ленинский пр-т, 4

Издательский Дом НИТУ «МИСиС», 119049, Москва, Ленинский пр-т, 4 Тел. 8 (495) 638-44-06

Отпечатано в типографии Издательского Дома НИТУ «МИСиС», 119049, Москва, Ленинский пр-т, 4 Тел. 8 (495) 638-44-16, 8 (495) 638-44-43

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 77

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]