Математика. Интегральное исчисление. Ч.1. Неопределенный интеграл. Учебное пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

делить у нее целую часть:

– 25x3 + 20x2

– 76x – 7 3x3 – 4x2 – 17x + 6

– 34x3 + 12x2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

5.ПОНЯТИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ДРОБЕЙ

ИИХ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

Определение. Элементарными называются дроби следующих четырех типов:

1)	1	; 2)	1	; 3)	Mx + N	; 4)	Mx + N	,
	ax +b		(ax +b)m		ax2 +bx +c		(ax2 +bx +c)n

где m, n – натуральные числа (m ≥ 2, n ≥ 2); b2 – 4ac < 0.

Первые два типа интегралов от элементарных дробей довольно просто приводятся к табличным подстановкой t = ax + b:

1) ∫axdx+b = 1a ∫dtt = 1a ln t +C = 1a ln ax +b +C;

2) ∫

∫

= −

+C = −

+C.

(ax +b)

a(m −1)t

m−1

a(m −1)(ax +b)

m−1

Рассмотрим метод интегрирования элементарных дробей вида 3:

(2x + p) +

−

Ax +B

∫

dx = ∫

dx =

+ px +q

∫

2x + p

∫

dx + B −

+ px +q

B −

∫

x +

+ q −

x2 + px +q

B − Ap

arctg

2x + p

+C.

4q − p2

Рассмотрим применение указанной выше формулы на примерах.

Пример.

∫		7x −2		dx = ∫	84x −24			dx =

	3x	2	−5x +4		36x	2	−60x +48

84x −24

u =6x −5; du =6dx;

dx =

u +5

∫(6x −5)2 +23

x =

∫

14u +70 −

du =

∫

udu

∫

+23

u +23

+23

ln(u2 +23) +

arctg

+C =

arctg

6x −5

+C.

36x2 −

60x +48

Вообще, если у трехчлена ax2 + bx + c выражение b2 – 4ac > 0, то дробь по определению не является элементарной, тем не менее ее можно интегрировать указанным выше способом.

Пример.

5x −3

dx =

5x −3

dx =

u =x +3; du =dx;

∫x2 +6x −

∫(x

+3)2 −

x =u −3

= ∫

5u −15

−3

du =5∫

udu

−18∫

−49

−

u −7

+C =

x2 +6x −40

−

x −4

+C.

u2 −49

u +7

x +10

Пример.

∫

3x +4

dx =

∫

3x +4

−x

16 −

+6x

(x −3)

u =x −3;

du =dx;

3u +9+4

udu

= ∫

du =3∫

16 −u

x =u +3

+13∫

= −3

+13arcsin

16 −u2

+C =

16 −u

= −3

+13arcsin

x −3

+C.

7 −x2 −6x

Рассмотрим методы интегрирования простейших дробей типа 4. Рассмотрим частный случай при M = 0, N = 1.

Тогда интеграл вида

∫

можно путем выделения

(ax

+bx +c)

в знаменателе полного квадрата представить в виде ∫

. Сде-

+s)

лаем следующее преобразование:

∫

s +u2 −u2

du =

∫

−

∫

u2du

+s)

n−1

+s)

Второй интеграл, входящий в это равенство, будем брать по ча-

стям.

udu

dv1 =

; u1 =u;

du1 =du;

+s)

Обозначим:

udu

v1 = ∫

= −

+s)

2(n

−1)(u

+s)

n−1

∫

u2du

= −

∫

(u2 +s)n

(2n −2)(u2 +s)n−1

2n −2

(u2 +s)n−1

Для исходного интеграла получаем

∫

−

∫

;

+s)

n−1

s(2n −2)(u

+s)

n−1

s(2n −2)

+s)

n−1

∫

2n −3

∫

(u2 +s)n

s(2n −2)(u2 +s)n−1

s(2n −2)

(u2 +s)n−1

Полученная формула называется рекуррентной. Если применить

ее n – 1 раз, то получится табличный интеграл ∫

Вернемся теперь к интегралу от элементарной дроби вида 4 в об-

щем случае:

∫

Mx + N

=(4a)n ∫

Mx + N

dx =

(ax

+bx +c)

(2ax

+b)2 +(4ac

−b2 )

u =	2ax +b;				du =2adx;
		u −b				=
=		u −b			2	=
x =			;	s =4ac −b
x =		2a	;	s =4ac −b
		2a

(4a)	n	M(u −b)	+ N
(4a)		2a		du =
2a ∫		(u2 +s)n		du =
2a ∫		(u2 +s)n

(4a)n M

∫

udu

2aN −Mb

∫

+s)

В полученном равенстве первый интеграл с помощью подстановки t = u2 + s приводится к табличному ∫dttn , а ко второму интегралу применяется рассмотренная выше рекуррентная формула.

Пример.

3x +5

dx =

3x +5

dx =

=x −2; du =dx;

∫(x2 −4x +7)2

∫

((x −2)2 +3)2

x =u +2

3u +6 +5

udu

+3;

t =u

= ∫

du =3∫

+11∫

+3)

dt =

2udu

∫

+11

+3)

3 2

3 2(u

= −

11u

arctg

+C =

6(u2 +3)

6 3

= −

11(x −2)

arctg

x −2

+C.

2(x2 −4x +7) 6(x2 −4x +7)

6 3

6. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ И ДРОБЕЙ

Для того чтобы проинтегрировать рациональную дробь, необходимо разложить ее на элементарные дроби.

Теорема. Если R(x) = QP((xx)) – правильная рациональная дробь,

знаменатель P(x) которой представлен в виде произведения линейных и квадратичных множителей (отметим, что любой многочлен с действительными коэффициентами может быть представлен в таком виде: P(x) = (x – a)a…(x – b)b(x2 + px + q)l…(x2 + + rx + s)m), то эта дробь может быть разложена на элементарные по следующей схеме:

Q(x)

+...+

P(x)

x −a

(x −a)2

−a)a

(x −b)

+...+

M x + N

(x −b)

+ px +q

(x −b)

M2x + N2

+...+

Mlx + Nl

+...+

R1x +S1

(x + px +q)

x +rx +s

R x +S

+...+

Rmx +Sm

+rx +s)

где Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si – некоторые постоянные величины.

При интегрировании рациональных дробей прибегают к разложению исходной дроби на элементарные. Для нахождения величин Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si применяют так называемый метод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в том, что, для того чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях х.

Применение этого метода рассмотрим на конкретном примере.

Пример. ∫9x3 −30x2 +28x −88 dx . (x2 −6x +8)(x2 +4)

Так как ( x2 −6x +8)(x2 +4) =(x −2)(x −4)(x2 +4) , то

9x3 −30x2 +28x −88

Cx +D

(x −2)(x −4)(x2

+4)

x −

Приводя к общему знаменателю и приравнивая соответствующие числители, получаем:

A(x −4)(x2 +4) + B(x −2)(x2 +4) +(Cx + D)(x2 −6x +8) = =9x3 −30x2 +28x −88;

(A + B +C)x3 +(−4A −2B −6C + D)x2 + +(4A +4B +8C −6D)x +(−16A −8B +8D) =

=9x3 −30x2 +28x −88 .

Составим систему уравнений, приравнивая коэффициенты при равных степенях в левой и правой частях равенства

A +B +C =9;

C =9− A −B;

= −30;

+4A

+2B +54 −6A −6B;

−4A −2B −6C +D

D = −30

=28;

+4C

−3D =14;

4A +4B +8C −6D

2A +2B

−16A −8B +8D = −88;

2A + B −D =11;

C =9− A −B;

D =24 −2A −4B;

2A +2B +36 −4A −4B −72+6A +12B =14;

4A +10B =50;

2A +B −24 +2A +

4B =11;

4A +

5B =35;

C =9− A −B;

A =5;

=3;

D =24 −2A −4B;

=50;

=1;

4A +10B =50;

4A +10B

50 −10B +5B =35;

B =3;

D =2.

Итого:

x +2

∫

dx + ∫

dx =

x −2

x −4

x2 +4

=5ln

x −2

+3ln

x −4

+∫

+ ∫

dx =

=5ln

x −2

+3ln

x −4

ln(x2

+4) +arctg

+C.

Пример. ∫6x5 −8x4 −25x3 +20x2 −76x −7 dx . 3x3 −4x2 −17x +6

Так как дробь неправильная, то предварительно следует вы-

–9x3 + 8x2 – 76x – 7 9x3 – 12x2 – 51x +18

20x2 – 25x – 25

		20x2 −25x −25
∫ 2x2 +3	+							dx =
		3x	3	−4x	2	−17x +	6

= ∫2x2dx +∫3dx +5∫

4x2 −5x −5

dx =

−

−17x +6

x3 +3x +5∫

4x2 −5x −5

dx.

−4x

−17x +6

Разложим знаменатель полученной дроби на множители. Видно, что при х = 3 знаменатель дроби превращается в ноль. Тогда:

–	3x3	– 4x2 – 17x + 6	x – 3
	3x3	– 9x2	3x2 + 5x – 2

–5x2 – 17x

5x2 – 15x –2x + 6

–2x + 6 0

Таким образом, 3x3 – 4x2 – 17x + 6 = (x – 3)(3x2 + 5x – 2) = = (x – 3)(x + 2)(3x – 1). Тогда:

4x2 −5x −5	=	A		+	B		+	C	.
(x −3)(x +2)(3x −1)		x −	3		x +	2		3x −1

Дроби в правой части равенства приводят к общему знаменателю. По построению знаменатели дробей в правой и левой части равенства равны, поэтому приравнивают только числители, получаем

A(x +2)(3x −1) +B(x −3)(3x −1) +C(x −3)(x +2) =4x2 −5x −5 .

Для того чтобы избежать при нахождении неопределенных коэффициентов раскрытия скобок, группировки и решения системы уравнений (которая в некоторых случаях может оказаться достаточно большой), применяют так называемый метод Остроградского, или метод произвольных значений. Этот метод состоит в том, что в полученное выше выражение подставляются поочередно несколько (по числу неопределенных коэффициентов) произвольных значений х. Для упрощения вычислений принято в качестве произвольных значений принимать точки, при которых знаменатель дроби равен нулю, т.е. в нашем случае – 3, –2, 1/3. Получаем:

при	x =3 40A =16;	A =2/5;
	x = −2 35B =21;
при	x = −2 35B =21;	B =3/5;
	x =1 3 C =1;
при	x =1 3 C =1;	C =1.

Тогда исходный интеграл примет вид

∫6x5 −8x4 −25x3 +20x2 −76x −7 dx = 3x3 −4x2 −17x +6

=23 x3 +3x +3∫xdx+2 +2∫xdx−3 +5∫3xdx−1 =

=23 x3 +3x +3ln x +2 +2ln x −3 + 53 ln 3x −1 +C.

Пример.

3x4

+14x2

+7x +15

Bx +C

Dx + E

∫

dx = ∫

dx + ∫

dx.

(x +3)(x

x +

+2)

Найдем неопределенные коэффициенты:

A(x2 +2)2 +(Bx +C)(x +3) +(Dx + E)(x +3)(x2 +2) = =3x4 +14x2 +7x +15;

Ax4 +4Ax2 +4A + Bx2 +3Bx +Cx +3C + Dx4 + +2Dx2 +3Dx3 +6Dx + Ex3 +2Ex +3Ex2 +6E =

=(D + A)x4 +(3D + E)x3 +(A +B +2D +3E +4A)x2 + +(3B +C +6D +2E)x +(2A +3C +6E +4A);

D + A =3;		D =3− A;
3D +E =0;		E = −9+	3A;


B +2D +3E +4A =14;		B +6 −2A −27 +9A +4A =14;
3B +C +6D +2E =7;		3B +C +	18 −6A −18 +6A =7;

3C +6E +4A =	15;	3C −54 +18A +4A =15;

D =3− A;

A =3;

+3A;

=2;

E = −9+

3A;

E = −9

=35;

=1;

B +11A

11A =35−B;

3B +C =

C =

7 −

3B;

D =0;

=0.

3C +22A =69;

21−9B +70 −2B =69;

Тогда значение заданного интеграла:

2x +1

3∫

∫

dx =3∫

+2∫

dx +

x +3

+2)

+∫

=3ln

x +3

−

+2)

arctg

+C.

4(x2

+2)

Задача 4. Вычислить неопределенные интегралы.

4.1. ∫

;

+C.

(x2 +1)x

1+x2

4.2. ∫

(x −8)dx

;

+ln

−2)2

+C .

x3 −4x2 +4x

x −3

4.3. ∫

(x −8)dx

;

+ln

−2)2

+C.

x3 −4x2 +4x

x −3

∫x +9

4.4.x3 −6x2 +9xdx ;

−ln

x −3

+ln

+C =ln

−

(−1)(x −3)

x −3

4.5. ∫

x2 +2x +6

dx ;

(x −3)3 (x −4)5

+C .

(x −1)(x −2)(x −4)

(x −2)7

Задача 5. Вычислить неопределенные интегралы.

5.1. ∫

+x4 −8

dx ;

+4x +ln

Cx2 (x −2)5

−4x

(x +

5.2. ∫

2x5 +6x3 +1

x2 −

−

+C .

dx ;

arctg

+3x

3 3

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]