Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Интегральное исчисление. Ч.1. Неопределенный интеграл. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

										= ∫					2sintcostdt											=		1	∫ctg4tdt =

															2			t				5 5		t				32
														cos				t		2 2 tg				t				32
	1			2							1												1					2						1			2
=		∫ctg					t									−1 dt = −									∫ctg				td(ctgt) −							∫ctg		tdt =
=		∫ctg					t						2			−1 dt = −							32		∫ctg				td(ctgt) −					32		∫ctg		tdt =
32								sin							t								32											32
= −	1			3		t −				1		∫					1				−			= −				1		3	t +	1		ctgt +			t		+C =
			ctg																			1 dt							ctg
	96		ctg							32									2			1 dt						96	ctg			32					32
	96									32					sin					t								96				32					32
								2														1							1					1					2
								2														1							1					1					2
= ctgt =															= −												+					+			arccos					+C.
= ctgt =															= −		12(x2 −4)3/2										+					+	32		arccos				x	+C.
					x			2									12(x2 −4)3/2											16 x		2	−4		32						x
					x				−4																			16 x			−4

Второй способ – подстановки Эйлера (1707–1783).

1) Если а > 0, то интеграл вида ∫R(x,ax2 +bx +c)dx рационализируется подстановкой ax2 +bx +c =t ±xa .

2) Если a < 0 и c > 0, то интеграл вида ∫R(x,ax2 +bx +c)dx

рационализируется подстановкой ax2 +bx +c =tx ±c .

3) Если a < 0 , а подкоренное выражение раскладывается на действительные множители a(x – x1)(x – x2), то интеграл

вида ∫R(x,ax2 +bx +c)dx рационализируется подстановкой

ax2 +bx +c =t(x −x1) .

Отметим, что подстановки Эйлера неудобны для практического использования, так как даже при несложных подынтегральных функциях приводят к весьма громоздким вычислениям. Эти подстановки представляют скорее теоретический интерес.

Третий способ – метод неопределенных коэффициентов. Рассмотрим интегралы следующих трех типов:

∫ P(x)dx

1);

ax2 +bx +c

2)∫P(x)ax2 +bx +cdx;

3) ∫			dx			,

		n
	(x −a)	n	ax	2
	(x −a)		ax		+bx +c

где P(x) – многочлен; n – натуральное число.

Причем интегралы 2-го и 3-го типов могут быть легко приведены к виду интеграла 1-го типа.

Далее делается следующее преобразование:

∫	P(x)dx	=Q(x)		+l∫		dx
			ax2 +bx +c				,

	2				ax	2
	ax +bx +c					+bx +c

где Q(x) – некоторый многочлен, степень которого ниже степени многочлена P(x); l – некоторая постоянная величина.

Для нахождения неопределенных коэффициентов многочлена Q(x), степень которого ниже степени многочлена P(x), дифференцируют обе части полученного выражения, затем умножают

на ax2 +bx +c и, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, определяют l и коэффициенты многочлена Q(x).

Данный метод выгодно применять, если степень многочлена Р(х) больше единицы. В противном случае можно успешно использовать методы интегрирования рациональных дробей, рассмотренные выше, так как линейная функция является произ-

водной подкоренного выражения.

Пример.

∫

3x3 −7x2 +1

dx =(Ax2 + Bx +C)

+l∫

x2 −2x +5

−2x +5

x −2x +5

Теперь продифференцируем полученное выражение, умножим на ax2 +bx +c и сгруппируем коэффициенты при одинаковых степенях х:

3x3 −7x2 +1

=(2Ax +B)

x2 −2x +5 +

x2 −2x +5

Ax2

+ Bx +C

(x −1)

;

x2 −2x +5

(2Ax + B)(x2 −2x +5) +(Ax2 +Bx +C)(x −1) +l =3x3 −7x2 +1 ;

2Ax3 −4Ax2 +10Ax + Bx2 −2Bx +5B + Ax3 +

+Bx2 +Cx − Ax2 −Bx −C +l =3x3 −7x2 +1;

3Ax3 −(5A −2B)x2 +(10A −3B +C)x +5B −C +l =3x3 −7x2 +1 ;

A =1;	A =1;

5A −2B =7;	B = −1;

10A −3B +C =0;	C = −13;
5B −C +l =1;	l = −7.

Итого

∫

3x3 −7x2 +1

−7∫

dx =(x2 −x −13)

x2 −2x +5

x −2x +5

−1)

= (x2 −x −13)

x2 −2x +5 −7ln(x −1+

x2 −2x +5) +C.

Пример.

(4x2 −6x)(x2 +3)

∫(4x2 −6x) x2 +3dx = ∫

dx =

=(Ax3 + Bx2 +Cx + D)

+l∫

x2 +3

;

x +3

4x4 −6x3 +12x2 −18x

=(3Ax2 +2Bx +C) x2 +3 +

x2 +3

(Ax3 + Bx2

+Cx

+ D)x

;

x2 +3

4x4 −6x3 +12x2 −18x =

=(3Ax2 +2Bx +C)(x2 +3) + Ax4 +Bx3 +Cx2 +Dx +l;

4x4 −6x3 +12x2 −18x =3Ax4 +2Bx3 +Cx2 +9Ax2 +

+6Bx +3C + Ax4 + Bx3 +Cx2 + Dx +l;

4x4 −6x3 +12x2 −18x =4Ax4 +3Bx3 +

+(2C +9A)x2 +(6B + D)x +3C +l;

A =1; B = −2; C =3/2;

D = −6; l = −9/2;

∫(4x

−

6x) x

+3dx

= x

−2x

−6

−

x +

+C.

Пример. Первый способ решения:

;

∫

= −∫

1−v

−1

= −

−1

=(Av + B)

+l∫

1−v2

;

1−v

(Av + B)v

−

= A 1−v2

−

;

1−v2

−v2 = A − Av2 − Av2 −Bv +l ;

−v2 = −2Av2 −Bv + A +l; A =1/2;

B =0; l = −1/2;

∫

v2dv

v 1−v2

x2 −1

−

arcsinv =

−arcsin

+C .

1−v

Второй способ решения:

tgt

sint

x =

;dx

dt;

∫

cost

∫

cos t

dt =

−1

−1 =tgt

tgt

cos

= ∫

sintcos4 t

dt =

∫cos2 tdt =

∫

(1+cos2t)dt

t +

sin2t =

tsint

cos

−

−1

arccos

= sin2t

=2sintcost =

+C.

С учетом того, что функции arcsin и arccos связаны соотношением arcsin x1 = 2π −arccos x1 , а постоянная интегрирования

С – произвольное число, ответы, полученные различными методами, совпадают.

Как видно, при интегрировании иррациональных функций возможно применять различные приемы, рассмотренные выше. Выбор метода интегрирования обусловливается в основном наибольшим удобством, очевидностью применения того или иного метода, а также сложностью вычислений и преобразований.

Пример.

x =sint;

costdt

∫

= dx =costdt;

−x

3/2

)

cos

cost = 1−x2

= ∫

=tgt +C

+C.

1−x

cos

9. НЕСКОЛЬКО ПРИМЕРОВ ИНТЕГРАЛОВ, НЕ ВЫРАЖАЮЩИХСЯ ЧЕРЕЗ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ

К таким интегралам относится интеграл вида ∫R(x,P(x))dx , где Р(х) – многочлен степени выше второй. Эти интегралы называются эллиптическими.

Если степень многочлена Р(х) выше четвертой, то интеграл называется ультраэллиптическим.

Если все-таки интеграл такого вида выражается через элементарные функции, то он называется псевдоэллиптическим.

Не могут быть выражены через элементарные функции следующие интегралы:

1) ∫e−x2 dx – интеграл Пуассона (Симеон Дени Пуассон – французский ученый математик (1781–1840));

2) ∫sinx2dx; ∫cosx2dx – интегралы Френеля (Жан Огюстен

Френель – французский ученый-математик (1788–1827) – теория волновой оптики и др.);

3)∫lndxx – интегральный логарифм;

4)∫exx dx – приводится к интегральному логарифму;

5)∫sinx x dx – интегральный синус;

6)∫cosx xdx – интегральный косинус.

10. ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

Вариант 1

1.∫sinxxdx ;

2.∫(x +4)e4x dx ;

3.	∫					dx		;

			x		2	+2x +2

4.	∫			3x −1			dx ;

		2x		2		+5x −1

5.	∫				x2 +2				dx ;
		(x −1)(x +2)						2

6.	∫sin3 xcos2 xdx ;
7.	∫					dx				.

		3+2cosx +sinx

Вариант 2

1.∫xlndxx −7 ;

2.∫(5x +1)cos3xdx ;

∫

;

+4x +5

∫

2x +1

dx ;

+2x +1

∫

x2 +5x

dx ;

(x −

4)(x

∫

cos3 7x

dx ;

sin

∫

4sin+3cosx

dx .

sin

x +2

Вариант 3

1.∫(x +2)ln(dx x +2) ;

2.∫(3x +2)sin5xdx ;

∫

;

+2x −

∫

2−3x

dx ;

+3x +1

∫

2x +1

dx ;

(x +1)(x −1)

∫sin2 3xcos3 3xdx ;

∫

5sinx +10cosx +7

Вариант 4

∫

dx ;

−

∫(x −3)lnxdx ;

∫

;

−8x +12

∫

2x −3

dx ;

−x +5

∫

x2 +2x

dx ;

−5)(x

+1)

∫

cos3 x

;

sin

7. ∫

5sinx +3cosx

dx .

sin

x −

Вариант 5 Вариант 6

∫

exdx

;

∫

xdx

;

4 −e

x +

∫(5x +2)cos2xdx ;

∫e2x (x +3)dx ;

∫

;

∫

;

+2x +10

+6x +18

4. ∫

x −4

∫

x +1

dx ;

;

3x2 −x −1

x2 +4x −3

∫

x +32

dx ;

∫

x2 +3

dx ;

(2x −1)(x −4)2

(x −1)(x2 +1)

∫

cos5 x

dx ;

∫sin4 6xcos3 6xdx ;

sinx

∫

sinx −3cosx

5sinx +10cosx +11

Вариант 7

∫

;

x 5+lnx

∫(x +4)sin2xdx ;

∫

;

+4x +3

∫

x −5

dx ;

−x +2

∫

x2 +5

dx ;

(x −5)(x +2)

6.∫cos5 xdx ;

∫7sinx −6

7.sin2 x +1 dx .

Вариант 8

1.∫arctg3 x dx ; 1+x2

2.∫xe7x dx ;

∫

;

x2 +10x +21

∫

4x +3

dx ;

+x +1

∫

x2 −2

dx ;

(x +1)(x

+4)

∫

cos3 2x

dx ;

sin

∫

3−2sinx +4cosx

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]