Математика. Интегральное исчисление. Ч.1. Неопределенный интеграл. Учебное пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Пример. Вычислить

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Решение. Воспользовавшись свойством 4 разложения суммы,

получаем три интеграла:

∫

+ 2x +

x dx +

2x dx +

dx =

+x2

+ln

+C .

e−x

Пример. Вычислить ∫ ex

−

dx.

Решение. После раскрытия скобок разобьем по свойству 4 разложения суммы исходный интеграл на два табличных:

e−x

−2

∫ e

−

dx = ∫ e

−

dx = ∫e

dx −∫x

dx =e

+C .

Что касается метода непосредственного интегрирования, то он применим только для некоторых весьма ограниченных классов функций. Функций, для которых можно с ходу найти первообразную, очень мало, поэтому в большинстве случаев применяются способы, описанные ниже.

4.2. Способ подстановки (замены переменных)

Теорема. Если требуется найти интеграл ∫f(x)dx , но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = j(t) и dx = j′(t)dt получается:

∫f(x)dx = ∫f(j(t))j′(t)dt.

Доказательство. Продифференцируем предлагаемое равенство: d∫f(x)dx =d(∫f[j(t)]j′(t)dt).

По рассмотренному выше свойству 2 неопределенного интеграла f(x)dx = f[j(t)]j′(t)dt,

что с учетом введенных обозначений и является исходным предположением. Теорема доказана.

Обычно на практике этой теоремой пользуются в следующем виде:

∫f (g (x))g'(x)dx = ∫f (t)dt, t = g(x), dt = g'(x)dx .

Следствия:

1) ∫f'(fx(x)dx) =ln f(x) +c ;

2) ∫	f'(x)dx			=	1			+c ;

	f	n	(x)		(1−n)f	n−1
							(x)

3) ∫f(x)dx = F(x) +c ∫f(ax +b)dx = 1a F(ax +b) +c .

Пример. Найти неопределенный интеграл ∫cos(11x)dx .

Решение. По следствию 3: ∫cos(11x)dx =111 sin(11x)+C .

Пример. Найти неопределенный интеграл ∫57x−3 dx .

Решение. По следствию 3: ∫57x−3 dx =	1 57x−3			57x−3
			+C =		+C .
	7	ln5		7ln5

Пример. Найти неопределенный интеграл ∫sinx cosxdx .

Решение. Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt:

∫tdt = ∫t1/2dt = 23 t3/2 +C = 23 sin3/2 x +C = 23 sin3 x +C .

Пример. ∫x(x2 +1)3/2 dx .

Решение. Замена t =x2 +1;

dt =2xdx; dx =

. Получаем

∫t3/2

∫t3/2dt =

t5/2

(x2 +1)5/2

+C =

+C.

Пример.

∫(2x +1)20dx ={2x +1=t; dt =2dx}= ∫t20 12 dt = 211 t21 12 +C =

=t21 +C = (2x +1)21 +C. 42 42

Пример.

∫	cosx	dx = ∫sin−3/2 xcosxdx =

	3
	sin x

={sinx =t;dt =cosxdx}= ∫t−3/2dt = −2t−1/2 +C =

= −2sin−1/2 x +C = − 2 +C . sinx

Пример.

∫

= ∫

−x

−2x −1+9

−2x +8

={dx =d(x +1)}= ∫

d(x +1)

={x +1=t}=

−(x +1)

= ∫

=arcsin

+C =arcsin

x +1

+C.

−t

Пример.

∫ecos2 x sin2xdx =

={t =ecos2 x; dt = −ecos2 x 2cosxsinx = −sin2x ecos2 xdx}=

=−∫dt = −t +C = −ecos2 x +C.

Пример.

x =t;

∫(x +1) x

= ∫

2tdt

=2∫

=2arctgt +C =2arctg

+C.

(t +1)t

Пример.

∫

= ∫

−6x

+25

+16

−3)

x −3

−

−3

+C.

arctg

∫ x −3

Ниже будут рассмотрены другие примеры применения метода подстановки для различных типов функций.

Задача 1. Вычислить неопределенные интегралы.

1.1. ∫xcosx2dx ;

tg(x +1)dx

1.2. ∫ cos2 (x +1) ;

1.3. ∫	sin(x +2)dx		;
	5	(x +2)
	cos

∫ ex+4dx

1.4.9+e2x+8 ;

1.5.∫7sin2x cos2xdx ;

1.6.∫5x31dx+lnx ;

1.7.∫sinxx dx ;

1.8.∫1cos+sinxdxx ;

1.9.∫sinlntgxcosxdxx ;

12 sinx2 +C.

12 tg2 (x +1)+C.

−				1		+C.

	4cos4 (x +2)
arctgex+4 +C.
7sin2x				+C.
ln49
3
		3			2
			(		)	+C.
10
				1+lnx

− 2cosx +C.

ln 1+sinx +C.

12 ln2 tgx +C.

∫1−cosx dx

1.10. (x −sinx)5 ;

1.11. ∫sinx −cosx dx ;

(cosx +sinx)7

1.12. ∫xcosx +sinx dx ;

(xsinx)4

1.13. ∫9arctg( x −)5x dx ; 1+x2

1.14. ∫	16x −arctg3x								dx ;

			1	+9x		2	)
			(				)
1.15. ∫			x2 +2					dx ;
1.15. ∫	(x3 +6x +1)							dx ;
1.16. ∫		x3			dx ;
1.16. ∫	x	2	+16		dx ;
	x		+16

∫xdx

1.17.x4 −3x2 +2 ;

−	1		+C.

	4(x −sinx)4
	1			+C.

8(cosx +sinx)8
−	1	+C.

	3(xsinx)3

29 arctg2 x −52 ln(1+x2 )+C.

13 arctg2 3x − 89 ln(1+9x2 )+C.

13 ln(x3 +6x +1)+C.

x2 −8ln(x2 +16)+C.

ln	x2	−2	+C.
	x2	−1

Задача 2. Вычислить неопределенные интегралы.

2.1. ∫

dx ;

arctg

x +1

+C.

+2x +5

2.2. ∫

3exdx

;

tg2

(x +1)+C.

e2x −2ex −3

2.3. ∫

;

x −5

+C.

−6x +5

x −1

2.4. ∫

;

x +

1+x +x2

+C.

1+x +x

2.5. ∫

xdx

;

x2 −2

+C.

−3x

−1

4.3. Интегрирование по частям

Способ основан на известной формуле производной произведения двух функций:

(uv)′ = u′v + v′u, где u и v – некоторые функции от х.

В дифференциальной форме:

d(uv) = udv + vdu.

Проинтегрировав, получаем: ∫d(uv) = ∫udv + ∫vdu , а в соответствии с приведенными выше свойствами неопределенного интеграла:

uv = ∫udv + ∫vdu

или

∫udv =uv −∫vdu .

Таким образом получена формула интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы многих элементарных функций.

Условно интегрирование по частям можно представить четырьмя способами.

Пусть Pn (x) – многочлен n-й степени.

sinkx;

Первый случай: ∫Pn

coskx;

= Pn (x) .

(x)

;

dx, u

Пример.

;

dx;

dv =e

2 5x

dx =

e5x

∫x e

du =2xdx; v =

x2e5x

e5xx2 −∫

e5x 2xdx =

−

∫xe5xdx =

x2e5x

xe5x

u =x; dv =e

dx;

−

e5x

∫

du =dx; v =

x2e5x

2xe5x

∫e5xdx =

−

x2e5x

2xe5x

2e5x

e5x

−

125

Пример.

u =x2

;

dv =sinxdx;

∫

sinxdx =

= −x

cosx +

∫

cosx 2xdx =

du =2xdx;

v = −cosx

u =x;

dv =cosxdx;

= −x

cosx +2

xsinx

−∫sinxdx

du =dx;

v =sinx

= −x2 cosx +2xsinx +2cosx +C.

Как видно, последовательное применение формулы интегрирования по частям позволяет постепенно упростить функцию и привести интеграл к табличному.

arcsinkx;

arccoskx;

Второй случай: ∫Pn (x)

arctgkx;

dx, dv = Pn (x)dx .

lnkx;

log

Пример.

u =lnx;

dv =xdx;

∫

xlnxdx =

du =

dx; v

lnx −∫

x2 lnx

∫xdx =

dx =

−

x2 lnx

−

+C =

(2lnx −1) +C.

Пример.

=lnx; dv

dx;

lnx

dx =

∫ x3

du =

dx;

v = −

= −

lnx

−∫−

= −

lnx

∫

= −

lnx

−2

lnx

−

+C = −

−

+C.

arcsinkx;

arccoskx;

Третий случай: ∫ arctg kx; dx, dv =dx .

lnkx;

log

Пример. Вычислить ∫arctgx dx .

Решение. Полагаем, arctg x = u, тогда dx = dv, поэтому du =d(arctgx) =(arctgx)′dx =1dx+x2 , v = ∫dv = ∫dx .

Следовательно,

∫arctg x dx=x arctg x−∫1x+dxx2 =x arctg x−12 ln( 1+x2 ) +C . Четвертый случай (рассмотрим на примере).

u =e2x; du =2e2xdx;

Пример.

∫

cosxdx =

dv =cosxdx;

v =sinx

u =e2x;

du =2e2xdx;

sinx −

∫

sinx 2e

dx =

dv =sinxdx;

v = −cosx

=e2x sinx −2 −e2x cosx −∫−cosx 2e2xdx =

=e2x sinx +a2 +b2 +2e2x cosx −4∫cosxe2xdx.

Заметим, что в результате повторного применения интегрирования по частям функцию не удалось упростить к табличному виду. Однако последний полученный интеграл ничем не отличается от исходного. Поэтому перенесем его в левую часть равенства:

5∫e2x cosxdx =e2x (sinx +2cosx) ;

∫e2x cosxdx = e2x (sinx +2cosx) +C. 5

Таким образом, интеграл найден вообще без применения таблиц интегралов.

Прежде чем рассмотреть подробно методы интегрирования различных классов функций, приведем еще несколько примеров нахождения неопределенных интегралов приведением их к табличным.

Пример.

u =lnx;

du =

dx;

∫cos(lnx)dx =

x =e

; dx =e

∫

p =cosu;

dq =e

du;

cosu +

cosudu =

= −sinudu;

q =eu

p =sinu;

dq =eudu;

∫

sinudu =

dp =cosudu; q =eu

=eu cosu +eu sinu −∫eu cosudu.

Итого: ∫eu cosudu =eu (cosu +sinu) −∫eu cosudu.

∫eu cosudu =

(cosu +sinu) +C;

∫xcos(lnx)

dx =

(cos(lnx) +sin(lnx)) +C;

∫cos(lnx)dx =

cos

−lnx +C.

Задача 3. Вычислить неопределенные интегралы.

3.1.∫xsinxdx ;

3.2.∫(x +1)ex dx ;

3.3.∫xlnxdx ;

3.4.∫lnxdx ;

3.5.∫arctgxdx ;

3.6.∫x2 ln(x +1)dx ;

3.7.∫x2 arctgxdx ;

3.8.∫(x2 +2x +3)cosxdx

sinx −xcosx +C.

xex +C.

x42 (2lnx −1)+C.

x(lnx −1)+C.


xarctgx −				1	ln(1+x2 )						+C.
				2
1	(x3		−1)ln(x +1)−						1		x	3			x	2
														−			+x	+C.

3							3				3		2
x2			1			x2	1			ln(1			+x2 )+C.
		arctgx −					+
3					6			6

; (x +1)2 sinx +2(x +1)cos+C.

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]