Математика. Интегральное исчисление. Ч.1. Неопределенный интеграл. Учебное пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

m2 −u2 )du;

m2 +u2 )du;

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Интегралов от тригонометрических функций может быть бесконечно много. Большинство из этих интегралов вообще нельзя вычислить аналитически, поэтому рассмотрим некоторые главнейшие типы функций, которые могут быть проинтегрированы всегда.

7.1. Интеграл вида ∫R(sinx,cosx)dx

Здесь R – обозначение некоторой рациональной функции от переменных sinx и cosx.

Интегралы этого вида вычисляются с помощью подстановки t =tg x2 , которая называется универсальной тригонометриче-

ской подстановкой. Эта подстановка позволяет преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную:

2tg x

1−tg2 x

1−t

sinx =

; cosx =

2 x

1+t2

2 x

1+t2

1+tg

Тогда x =2arctgt;

dx =

2dt

Таким образом:

1+t2

∫R(sinx,cosx)dx = ∫R

1−t2

= ∫r(t)dt.

1+t

Пример.

2dt

∫

1+t2

=2∫

4sinx +3cosx +5

−t2

8t +3−3t2 +5+5t2

1+t2

+t2

=2∫

= ∫

= −

+C = −

+C.

2t2 +8t +8

t2 +4t +4

(t +2)2

t +2

Эта подстановка важна тем, что с ее помощью всегда можно

преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную и вычислить соответствующий интеграл. К недостаткам можно отнести только то, что при преобразовании может получиться достаточно сложная рациональная функция, интегрирование которой займет много времени и сил. Тем не менее это универсальный метод, хотя при невозможности применить более рациональную замену переменной этот метод является единственно результативным.

Пример.

∫

2dt

+8cosx +sinx

(1+t

8(1

−t

)

) 9

1+t2

+t2

=2∫

+2t

+17

(t +1)

+16

arctg

t +1

+C =

arctg

2 +1

+C.

7.2. Интеграл вида ∫R(sin x,cosx)dx ,

если функция R является нечетной относительно cosx

Несмотря на возможность вычисления такого интеграла с помощью универсальной тригонометрической подстановки, рациональнее применить подстановку t = sinx:

∫R(sinx,cosx)dx = ∫R(sinx,cosx) cosxdx. cosx

Функция R(sinx,cosx) может содержать cosx только в четcosx

ных степенях, а следовательно, может быть преобразована в рациональную функцию относительно sinx:

∫R(sinx,cosx)dx = ∫r(sinx)cosxdx = ∫r(t)dt.

Пример.

cos7 xdx

sinx =t;

(1−t2 )3

∫

dt =cosxdx;

= ∫

dt =

sin

x =1

−sin

cos

1−3t2 +3t4 −t6

= ∫

dt = ∫

−

3∫

+3∫dt

−∫t2dt = −

+3t −

= −

+3sinx −

sin3 x

+C.

3sin3 x

sinx

Вообще для применения этого метода необходима только нечетность функции относительно косинуса, а степень синуса, входящего в функцию, может быть любой, как целой, так и дробной.

7.3. Интеграл вида ∫R(sin x,cosx)dx ,

если функция R является нечетной относительно sinx

По аналогии с рассмотренным выше случаем делается подстановка t = cosx.

Тогда ∫R(sinx,cosx)dx = ∫r(cosx)sinxdx = −∫r(t)dt.

Пример.

∫

sin3 x

cosx =t;

= −∫

1−t2

= dt = −sinxdx

dt =

2+cosx

2+t

= ∫

t2 +4t +4 −4t −5

dt = ∫

(t +2)2 −4t −5

dt =

t +2

tdt

t +2

−

dt =

tdt

2dt −4

−5

∫

t +2

t +

∫

∫t +2

−4∫

2 +2t −5ln

t +2

dt =

t +2

−2

+ B

A + Bt +2 =t B =1, A = −2

t +2

+2t −5ln

t +2

+8∫

−4∫dt =

+2t −5ln

t +2

+8ln

t +2

−4t =

t +2

−2t +3ln

t +2

+C =

cos2 x

−2cosx +3ln(cosx +2) +C.

7.4. Интеграл вида ∫R(sin x,cosx)dx ,

если функция R четная относительно sinx и cosx

Для преобразования функции R в рациональную используется подстановка t = tgx. Тогда ∫R(sinx,cosx)dx = ∫r(t)dt .

Пример.

∫

= ∫

cos

sin

x +6sinxcosx −16cos

x +6tgx −16

tgx =t;

= ∫

=∫

=d(tgx) =dt

+6t −16

(t +3)

−25

cos

tgx +3−5

tgx −2

+C.

tgx +3+5

tgx +8

7.5. Интеграл произведения синусов

икосинусов различных аргументов

Взависимости от типа произведения применятся одна из трех формул:

1)∫cosmxcosnxdx = ∫12[cos(m +n)x +cos(m −n)x]dx =

=	1	sin(m +n)x		+	sin(m −n)x	;

	2		m +n		m −n

2) ∫sinmxcosnxdx = ∫12[sin(m +n)x +sin(m −n)x]dx =

=	1	−	cos(m +n)x	−	cos(m −n)x	;

	2		m +n		m −n

3)∫sinmxsinnxdx = ∫12[−cos(m +n)x +cos(m −n)x]dx =

=1 −sin(m +n) + sin(m −n) 2 m +n m −n .

Пример.

∫sin7xsin2xdx = 12 ∫cos5xdx −12 ∫cos9xdx =101 sin5x −181 sin9x +C.

Пример.

∫sin10xcos7xcos4xdx = ∫sin10x[cos7xcos4x]dx =

=12 ∫sin10xcos11xdx + 12 ∫sin10xcos3xdx =

=14 ∫sin21xdx − 14 ∫sinxdx + 14 ∫sin13xdx + 14 ∫sin7xdx =

= −841 cos21x − 14 cosx −521 cos13x − 281 cos7x +C.

Иногда при интегрировании тригонометрических функций удобно использовать общеизвестные тригонометрические формулы для понижения порядка функций.

Пример.

∫

= ∫

4dx

dctg2x

−2

= −2ctg2x

+C.

sin

xcos

Пример.

∫

sin

xdx

−

dx =

(1−cos2x) dx =

cos2x

= 14 ∫(1−2cos2x +cos2 2x)dx = 14 ∫dx −12 ∫cos2xdx +

+14 ∫cos2 2xdx = x4 − 14 sin2x + 14 ∫12 (1+cos4x)dx =

=x4 − sin24 x + 18 ∫dx + ∫cos4xdx =

=x − sin2x + x + sin4x = 1 3x −sin2x + sin4x +C. 4 4 8 32 4 2 8

Задача 6. Вычислить неопределенные интегралы.

6.1. ∫cos2

5xdx ;

sin10x +C.

6.2. ∫cos4 xsin3 xdx ;

−

cos5 x +

cos7 x +C.

6.3. ∫cos

xsin

xdx ;

x −

sin4x

+C.

6.4. ∫cos7xsinxdx ;

−

cos8x

cos6x +C.

6.5. ∫cos2 xcos3xdx ;

sin3x +

sin5x +

sinx +C.

Задача 7. Вычислить неопределенные интегралы.

7.1.

;

arctg

2tg

+C.

∫5

−3cosx

2tg x +1

7.2. ∫

;

arctg

+C.

sinx +3cosx +

∫

+C .

7.3.

;

arctg

tgx

3sin

x +

4cos

7.4. ∫

;

4tgx −3

+C .

19sin2 x −8sinx cosx −3

4tgx +1

В учебном пособии изложены самые простые стандартные способы интегрирования, а есть и другие, вплоть до применимых только в данном конкретном случае.

8. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

Далеко не каждая иррациональная функция может иметь интеграл, выраженный элементарными функциями. Для нахождения интеграла от иррациональной функции следует применить подстановку, которая позволит преобразовать функцию в рациональную, интеграл от которой может быть найден как известно всегда.

Рассмотрим некоторые приемы для интегрирования различных типов иррациональных функций.

∫

ax +b

8.1. Интеграл вида

x,n

dx ,

cx +d

где n – натуральное число

С помощью подстановки n

ax +b

=t функция рационализиру-

cx +d

ется:

ax +b

=tn;

tn −b

dx =

tn −b

′

;

dt.

cx +d

−ct

a −ct

−b

tn −b

′

∫

ax +b

∫

Тогда

R x,n

dx =

dt =

r(t)dt.

cx +d

a −ct

Пример.

∫

−2dx

−dx

1−2x =t;

dt =

1−2x −

1−2x

−2x )

= ∫

−2t3dt

= −2∫

t2dt

t2 −t

t −1

= −2

t +

dt = −2

tdt −2

dt = −t

−2

dt =

∫

∫t −1

∫

−

t −1

= −t2 −2t −2ln t −1 +C = −1−2x −241−2x −2ln 41−2x −1 +C.

Если в состав иррациональной функции входят корни различных степеней, то в качестве новой переменной рационально взять корень степени, равной наименьшему общему кратному степеней корней, входящих в выражение. Проиллюстрируем это на примере.

Пример.

x −1 +

x −1

=t; x −1

;

dx =

(

)

+ 6 x −1

∫(x −1) 1

dx =12t11dt

= ∫

(t4

+t3 )12t11dt

=12∫

t3 +t2

∫

dt + ∫

dt =12

(1+t

)

=12

∫

t −

dt + ∫ 1−

=12∫tdt −12∫ttdt2 +1 +12∫dt −12∫1dt+t2 =

=6t2 +12t −6ln(t2 +1) −12arctgt +C =

66x −1 +1212x −1 −6ln(6x −1 +1) −12arctg12x −1 +C.

Задача 8. Вычислить неопределенные интегралы.


	x −1											2
8.1. ∫														(x +1)3
						dx ;														−4				x +1		+C .
												3
		x +1										3
		x3		−3
8.2. ∫								x			2						−	2				12			+C .
								x	dx ;		2			4 x9				2					x13

	6		4								27
	6				x						27					13
		1+ 6					x						6			12
8.3. ∫		1+ 6					x			dx ;	−		6		+	12					+2lnx −24ln						(12 x +1)+C .
													6				12
	6 x7			+ 4 x5									6	x			12		x

8.2. Интегрирование биномиальных дифференциалов

Определение. Биномиальным дифференциалом называется выражение

xm(a + bxn)pdx, где m, n, и p – рациональные числа.

– целое число, то интеграл рационализируется t = s a +bxn ,

Как было доказано академиком Чебышевым П.Л. (1821– 1894), интеграл от биномиального дифференциала может быть выражен через элементарные функции только в следующих трех случаях:

если р – целое число, то интеграл рационализируется с помощью подстановки

t = lx ,

где l – общий знаменатель m и n;

если m +1 n

подстановкой

где s – знаменатель числа р;

3) если mn+1 + p – целое число, то используется подстановка

t = s a +bxn ,

где s – знаменатель числа р.

Однако наибольшее практическое значение имеют интегралы от функций, рациональных относительно аргумента и квадратного корня из квадратного трехчлена.

На рассмотрении этих интегралов остановимся более подробно.

8.3. Интегралы вида ∫R(x,ax2 +bx +c)dx

Существует несколько способов интегрирования такого рода функций. В зависимости от вида выражения, стоящего под знаком радикала, предпочтительно применять тот или иной способ.

Как известно, квадратный трехчлен путем выделения полного квадрата может быть приведен к виду ±u2 ±m2.

Таким образом, интеграл приводится к одному из трех типов:

Первый способ – тригонометрическая подстановка.

∫R(u,

Теорема.

Интеграл

вида

m2 −u2 )du

подстановкой

u =msint или u =mcost сводится к интегралу от рациональной

функции относительно sint или cost.

Пример.

∫

x =asint;

∫

a2 −x2 dx =

a2 −a2 sin2 tacostdt =

dx =acostdt

= ∫a2 cos2 tdt =

∫(1+cos2t)dt =

a2t

sin2t +C =

a2t

sintcost +C =

arcsin

a2 −x2 +C.

∫R(u,

Теорема.

Интеграл

вида

m2 +u2 )du

подстановкой

u =mtgt илиu =mctgt сводится к интегралу от рациональной

функции относительно sint и cost.

Пример.

=atgt;dx

dt;

acostdt

∫

cos t

= ∫

cos

cost

= ∫

cos3 tdt

∫

(1−sin2 t)dsint

= −

+C =

sin

sint

3/2

)

= sint =

1−

= −

+C.

+x2

3a4x3

a4x

a2 +x2

∫R(u,

Теорема.

Интеграл

вида

u2 −m2 )du

подстановкой

u =

или

u =

сводится к интегралу от рациональной

sint

cost

функции относительно sint или cost.

Пример.

;dx =

2sint

∫

dt;

cost

cos

5/2

x(x

−4)

−4 =2tgt

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]