Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Дифференциальное исчисление. Ч.I. Функции одной независимой переменной. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 88

y −x

−

)

= −

b (a

+b x

a4y3

Или после упрощения –

d2y

, так как из условия сле-

dx2

a2y3

дует a2y2 + b2x2 = a2b2.

Дифференцируя по x последнее равенство, найдем

d3y

и так

dx3

далее.

Рассмотрим задачу о нахождении производных высших порядков от функции, заданной параметрически.

Пусть функция у от х задана параметрическими уравнени-

x =j(t),

ями ( ) t0 ≤ t ≤ T, причем функция x = j(t) на отрезке

y =y t ,

[t0,T] имеет обратную функцию t = Ф(x).

Ранее было показано, что производная dxdy определяется равенством dxdy = dydt dxdt .

Для нахождения второй производной d2y дифференциру- dx2

ем по x равенство, считая, что t есть функция от x:

но

dy d dt =

dt dxdt

d2y

dx2

dx dx

dt dx

dx d dy

−

dy d dx

dx d2y

−

dy d2x

dt2

dt dt2

dt dt dt

dx 2

	dt		1		d	2	y		dx d2y	− dy d2x
так как	dt	=	1	, то получим	d		y	=	dt dt2	dt dt2	.
	dx		dx		dx2				dx 3
			dt
									dt

Этой формуле можно придать более компактный вид:

d2y

j′(t)y′′(t)−j′′(t)y(t)

dx2

(j′(t))3

Аналогичным образом находят производные

d3y

d4y

и т.д.

dx3

dx4

Пример 57. Функция у от х задана параметрическими

уравнениями x =acost,

y =bsint.

Найти

d2y

dx2

Решение:

Таккак

= −asint,

d2x

= −acost,

=bcost,

d2x

= −bsint,

dt2

то

bcost

= −

ctgt

−asint

d2y

(−asint)(−bsint)−(bcost)(−acost)

= −

(−asint)3

dx2

sin3 t

ПРИЛОЖЕНИЕ

Производные основных элементарных функций

1) С′=0;

2) xa =axm−1;

3) (

)′ =

;

2 x

1 ′

= −

;

5) (ex )′ =ex;

6) (ax )′ =ax lna;

7) (lnx)′ =

;

8) (loga x)′ =

;

xlna

9) (sinx)′ =cosx;

10) (cosx)′ = −sinx;

11) (tgx)′

;

cos2 x

12) (сtgx)′ =

;

sin2 x

13) (arcsinx)′ =

;

1−x2

14) (asccos x)′ = −

;

1−x2

15) (arctg x)′

;

1+x2

16) (arcctg x)′ = −

;

1+x2

17) (shx)′ =chx;

18) (ch x)′ =sh x;

19) (th x)′ =

;

ch2x

20) (cth x)′ = −

;

sh2x

21) (arsh x)′ =

;

1+x2

22) (arch x)′ =

;

x2 −1

23) (arth x)′ =

<1;

1−x2

24) (arcthx)′ = −

>1.

x2 −1

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисления. М.: Наука, 1980. 464 с.

Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу. В 2 кн. Кн. 1. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной: учеб. пособие для университетов, пед. вузов / под ред. В.А. Садовничего. 2-е изд., перераб. М.: Высш. шк., 2000. 725 с.: ил.

Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1. М.: Высш. шк., 1999. 304 с.

Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. СПб.: Мифрил, 1995. 489 с.

Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. М.: Высш. шк., 1966. 460 с.

Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. Начальный курс / под ред. А.Н. Тихонова. 2-е изд. М.: Изд-во МГУ, 1985. 662 с.

Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике: учеб. пособие для втузов. 14-е изд., испр. М.: Изд-во физ.-мат. лит., 2000.

Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т. 1–2. М.: Интеграл-Пресс, 2001, 2002. 416 с., 544 с.

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. М.: Наука, Глав. ред. физ.-мат. лит., 1969. 800 с., ил.

Шипачев В.С. Высшая математика. М.: Высш. шк., 1985.

Учебное издание

Адигамов Аркадий Энгелевич Макаров Петр Витальевич Семенова Наталья Вячеславовна Дамиан Флорин Ливич

МАТЕМАТИКА

Дифференциальное исчисление.

Часть I. Функции одной независимой переменной Учебное пособие

Научный редактор Т.А. Кравченко

Корректор Е.Н. Леонова

Верстальщик А.М. Маркин

Подписано в печать 12.03.21 Уч. изд. л. 4,75 Формат 60 × 901/16

Национальный исследовательский технологический университет «МИСиС», 119049, Москва, Ленинский пр-т, 4

Издательский Дом НИТУ «МИСиС», 119049, Москва, Ленинский пр-т, 4 Тел. 8 (495) 638 44-06

Отпечатано в типографии Издательского Дома НИТУ «МИСиС», 119049, Москва, Ленинский пр-т, 4 Тел. 8 (495) 638 44-16, 8 (495) 638 44 43

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 88

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]