Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Дифференциальное исчисление. Ч.I. Функции одной независимой переменной. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

					3
f′′′(x)= −cosx =sin x				+		π	; ...;
f′′′(x)= −cosx =sin x				+		π	; ...;
					2
f	(n)		π
f		(x)=sin x +n	.
			2

Подставляя x = 0, получим f(0) = 0; f′(0) = 1; f″(0) = 0; f″′(0) = –1, и дальше эти значения начинают повторяться. По-

этому ряд Маклорена дает

sinx =x −

−

+...+(−1)n+1

x2n−1

+R2n (x),

(2n −1)!

sin c +(2n

+3)π

2n+3

R2n (x)=

(2n +3)!

Так как |sina| ≤ 1, то

R2n (x)

2n+3

(2n +3)!

Окончательно

sinx =x −

−

x11

+...+(−1)n+1

x2n−1

+R2n (x),

(2n −1)

11!

где

R2n (x)

2n+3

(2n +3)!

3. f(x) = cosx.

Имеем

f(x) = cosx;

f′(x)= −sinx =cos x +

;

f″(x) = –cosx = cos(x + π);

3π

f′′′(x)=sinx =cos x +

; ...;

(n)

(x)=cos x +n

Подставляя x = 0, получим f(0) = 1; f′(0) = 0; f″(0) = –1; f″′(0) = 0, и далее эти значения повторятся.

СоставимразложениепоформулеМаклоренаданнойфункции:

n x2n

cosx =1−

−

−...+(−1)

(2n)!

cos x +(2n +2)π

2n+2

(2n +2)!

Аналогично получаются следующие разложения.

4. shx =x +

+...+

x2n−1

+R2n (x).

(2n −1)

5. chx =1+

+...+

x2n

+R2n+1 (x).

(2n)!

6. f(x) = ln(1 + x).

Имеем

f′(x)=

;

1+x

f′′(x)=

;

1+x

(

)

f′′′(x)=

;

(

)

f(4) (x)= −

2 3

; ...;

(

)

1+x

f(n) (x)=(

−1)

n+1 (n −1)!

(

)

1+x

Подставляя x = 0, получим f(0) = 1; f′(0) = 0; f″(0) = –1; f″′(0) = 2!; f(4)(0) = –3!; …; f(n)(0) = (–1)n – 1(n – 1)!.

СоставимразложениепоформулеМаклоренаданнойфункции:

ln 1

)

=x −

−

+...+ (−1)n xn +

(

(−1)n n!

n+1

(n +1)!

1+c

7. f(x) = (1 + x)a (a – действительное число); f′(x) = a(1 + x)a – 1;

f′(0) = a;

f″(x) = a(a – 1)(1 + x)a – 2; f″(0) = a(a – 1); ...;

f(n)(x) = α(α – 1)(α – 2)...(α – (n – 1))(1 + x)a – n. f(n)(0) = α(α – 1)(α – 2)...(α – n + 1).

Тогда

(

1+x

)

=1+ax +

a(a−1)

a(a−1)(a−2)

x3 +...+

(

)

(

a−1

... a−

n −1

a(a−1)...(a−n)

a−(n+1)

) n

(

+qx

)

где 0

< q < 1.

Заметим, что если m = n (целое число), то этот ряд обрывается на xn и получается формула бинома Ньютона. Данная формула может рассматриваться как обобщение формулы бинома Ньютона на случай произвольного вещественного μ.

При a = –1

=1−x +x2 −x3 +...+(−1)n xn +Rn (x)

1+x

получаем геометрическую прогрессию;

При a =

=1+

x −

x2 +−

1 3

x3 −

1 3 5

+Rn (x).

1+x

2 4 6 8

2 2 4

2 4 6

При a = −

=1−

x +

1 3

−

1 3 5

1 3 5 7

+Rn (x).

1+x

2 2 4

2 4 6

2 4 6 8

8. Разложение f(x) = arcsinx.

arcsinx =x +

1 3

1 3 5

+...+

2 3

2 4 5 2 4 6 7

1 3 5 ... (2n −1)

x2n+1

+Rn (x).

2 4 6 ...

(2n)

2n +1

9. Разложение f(x) = arctgx.

arctgx =x −	x3	+		x5	−...+(			−1)n					x2n+1				+Rn (x).
													2n +1
3			5
При x = 1 имеем:
arctg1		=	π =1−			1	+		1	−		1		+	1	...
						3		5			7
			4											9

Рассмотрим примеры разложения функций по формуле Тейлора, используя полученные стандартные разложения основных элементарных функций.

Пример 33. Разложить по степеням (x – 2) функцию y = ex. Решение: Преобразуем тождественно функцию

y = ex = e(x – 2) + 2 = e2e(x – 2).

Воспользовавшись стандартным разложением y = ex, разложим функцию

		2		3			n
ex =e2	1+(x −2)+	(x −2)	+	(x −2)	+	(x −2)		+	,
		2!		3!		n!

x (−∞;+∞).

Пример 34. Разложить по степеням (x + 3) функцию y = 4x. Решение: Преобразуем тождественно функцию

y =4x =e (x+3)−3 ln4 =e−3ln4 e(x+3)ln4.

Воспользовавшись стандартным разложением для y = ex, разложим функцию

y =4

−3ln4

(x+3)ln4

=e−3ln4

1+(x +3)ln4 +

(x +3)

4 + (x +3)

ln 4 + +

(x +3)

lnn 4

+Rn (x +3)

ln4

(x +3)+

ln2 4

(x +3)2 +

ln3 4

(x +3)3

+...+

2! 4

3! 4

(x +3)n lnn 4

+Rn (x +3),

n! 43

таким образом, получаем окончательное разложение, что и является ответом

	1		ln4			ln2 4		2		ln3 4	3
4x =		+		(x	+3)+		(x +3) +				(x +3) +...+
4x =	64	+	64	(x	+3)+	64 2!	(x +3) +			64 3!	(x +3) +...+
				+	(x +3)n lnn 4			+Rn (x	+3).
					64 n!

Пример 35. Разложить по степеням (x – 5) функцию y = = ln(7 + 12x).

Решение: Тождественно преобразуем исходную функцию

ln(7 +12x)=ln(7 +12(x −5)+60)=

=ln

(x −5)

=ln67

+ln 1+

−

5) .

Воспользовавшисьстандартнымразложениемдляy=ln(1+x),

разложим функцию

y =ln(7 +12x)=ln67

(x −5)

+ln 1+

(x −5)2

(x −5)3

=ln67

(x −5)−

−...+

n−1

12 n (x −5)n

+(−1)

+...+o((x −5)

Далее обычно приводят подобные слагаемые и выписывают формулу по возрастанию степеней.

Пример 36. Разложить по степеням x функцию y = ln(15 + + 11x – 12x2).

Решение: Тождественно преобразуем исходную функцию

ln(15+11x −12x

)=ln 15

−

=ln15+ln 1

−

+ln 1

x .

Воспользовавшись два раза стандартным разложением y = = ln(1 + x), разложим исходную функцию

y =ln(15+11x −12x

)=ln15

+ln 1

−

+ln

3 2

3 n xn

=ln15−

x −

−−

− −

− +

2 x2

3 x3

n−1

4 n

x −

− +

(−1)

+o(x

Далее обычно приводят подобные слагаемые и выписывают формулу по возрастанию степеней.

Пример 37. Разложить по степеням (x – 7) функцию y = = ln(249 – 70x + 5x2).

Решение: Тождественно преобразуем исходную функцию

y=ln(249−70x +5x2 )=ln(4 +5x2 −70x +245)=

=ln 4 1+ 5 (x −7)2 =ln4 +ln 1+ 5 (x −7)2 .

4 4

Воспользовавшись стандартным разложением y = ln(1 + x),

разложим исходную функцию
y =ln(249−70x +5x2 )=ln4 +ln 1+															5	(x −7)2		=
y =ln(249−70x +5x2 )=ln4 +ln 1+															4	(x −7)2		=
															4
	5				2			5 2 ((x −7)2 )2					5	3 ((x −7)2 )3
=ln4 +			(x		−7)	−						+						− +
=ln4 +	4		(x		−7)	−				2		+			3			− +
	4							4		2			4		3
					+(−1)		n−1		5	n ((x −7)2 )n				+ =
											n

									4
				5		2			5 2 (x −7)4				5	3	(x −7)6
=ln4		+			(x −7)			−				+					+...+
=ln4		+		4	(x −7)			−			2	+			3		+...+
				4					4		2		4		3

+(−1)n−1 5 n (x −n7)n +..., o((x −7)n ).

Пример 38. Разложить по степеням (x + 4) функцию y = = ln(15 – 29x + 12x2).

Решение: Тождественно преобразуем исходную функцию

y=ln(15−29x +12x2 )=ln(5−3x)(3−4x)=

=ln(5−3(x +4)+12)(3−4(x +4)+16)=ln(17 −3(x +4))(19−4(x +4))=

=ln 323

1−

(x +4)

1−

(x +4) =

+o((x +

=ln323

+ln 1−

(x +4)

+ln

−

Воспользовавшись два раза стандартным разложением y =

= ln(1 + x), разложим исходную функцию

y =ln(15−29x +12x

)

=ln323

+ln

−

(x +4)

+4)

3 2 (x +4)2

+ln 1−

=ln323−

−

(x +

4)3

3 n

(x +4)n

(x +4)−

−

...−

−

...

4 2 (x +4)2

3 (x +4)3

−...+(−1)

n−1 4

(x +4)n

−

+...

Далее обычно приводят подобные слагаемые и выписыва-

ют формулу по возрастанию степеней (x + 4).

Пример 39. Разложить по степеням (x – 4) функцию y =

= sin(3x – 2).

Решение: Тождественно преобразуем исходную функцию и

воспользуемся стандартными разложениями y = sinx и y = cosx, разложим исходную функцию по степеням (x – 4) по формуле Тейлора:

y =sin

(

3x −2

)

=sin 3

(

x −4

)

+10

=cos10sin

x −4

+sin10cos

(

x −4

(

)

3(x −4)−

33 (x −4)3 35 (x −4)5

−

...+

=cos10

(−1)

n+1

32n

2n+1

+1 (x −4)

(2n +1)!

1−

+sin10

32 (x −4)2 + 34 (x −4)4 2! 4!

(−1)n+1 32n (x −4)2n

+(2n)!

−...+

+o((x −4)n ).

Далеевыписываютформулуповозрастаниюстепеней(x–4).

Пример 40. Многочлен P(x) = 1 + 3x + 5x2 – 2x3 расположить по целым неотрицательным степеням (x + 1).

Решение: Введем новую переменную t = x + 1. Тогда P(x) = 1 + 3(t – 1) + 5(t – 1)2 – 2(t – 1)3 = 5 – 13t + 11t2 – 2t3.

Возвращаясь к переменной x, получим

P(x) = 5 – 13(x + 1) + 11(x + 1)2 – 2(x + 1)3.

Пример 41. Разложить по формуле Маклорена функцию

1
f (x)=			.
f (x)=	x2 +x −2		.
Решение: Поскольку
1					1		1	1		1	1
f (x)=				=		= −			−			,
f (x)=		x2 +x −2		=	(x −1)(x +2)	= −	3	1+(−x)	−	6	1+ x	,
											2

то в этом разложении с остаточным членом в форме Пеано при m = –1 имеем

(1+х)−1 =1+1x =1−x +x2 −...+(−1)n xn +o(xn ). При замене переменной x на (–x), получаем

1=1+x +x2 +...+xn +o((−x)n ),

1−x

апри замене x на x2 :

1x =1− x + x 2 −...+ (−1)n xn +o x n . 1+ 2 2 22 2n 2

Тогда

f (x)= −

−

1+(−x)

6 1+ x

= −

(1+x +x2 +...+xn +o((−x)n ))−

(−1)n

x n

−

1−

−...+

раскрывая скобки и приводя подобные

2+(−1)n

o((

−x)

)−

= −

x +

+...+

−

(по свойствам бесконечно малых функций)

1 3

2+(

−1)

= −

4 x + 8 x

+...+

2n 6

+o(x

Ответ:

f (x)=

(

−1

)

+o(xn ).

= −

x +

x2 +...+

+x −2

2 4 8

Задача 9. Применить полученную формулу для нахождения синуса любого угла с любой степенью точности.

На приведенных ниже графиках (рис. 7–10) представлено сравнение точного значения функции и значения разложения в ряд Тейлора при различном количестве членов разложения.

		4
		2
-10	-5	5	10
		-2
		-4
	Рис. 7. Два члена разложения

		4
		2
-10	-5	5	10
		-2
		-4
	Рис. 8. Четыре члена разложения

		4
		2
-10	-5	5	10
		-2
		-4
	Рис. 9. Шесть членов разложения

		4
		2
-10	-5	5	10
		-2
		-4
	Рис. 10. Десять членов разложения

Чтобы получить наиболее точное значение функции при наименьшем количестве членов разложения надо в формуле Тейлора в качестве параметра а нужно выбрать такое число, которое достаточно близко к значению х, и значение функции от этого числа легко вычисляется.

Задача 10. Разложить по формуле Тейлора до n-го порядка: а) по степеням (x – 5) функцию y = ex;

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]