Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Дифференциальное исчисление. Ч.I. Функции одной независимой переменной. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

k +1

−m +m

(k +1

(m −1)! m(k

+1−m)

(m −1)!(k −m)! m

−m)

k +1

(k +1)!

=Cm

(m −1)! m(k +1−m)

m!((k +1)−m)!

k+1

то есть Ckm +Ckm−1 =Ckm+1, тогда = ∑Ckm+1u(k+1−m)v(m).

m=1

Этим доказана истинность шага индукции. Следовательно, на основании принципа математической ин-

дукции доказываемое равенство свойства 3 верно для любого натурального n. Теорема доказана.

Пример 26. Найти производную n-го порядка функции

y = ln(x2 + x – 2).

Решение:

y′=

2x +1

x2 +x −2

Преобразуем эту функцию для упрощения вычислений:

y′=

2x +1

(x +2)+(x −1)

;

x2 +x −2

(x −1)(x +2)

x −1

x +2

тогда

2x +

1 ′

y′′=

= −

−

;

−2

x −1

x +2

−1)

(x +2)

′

y′′′

−

;

(x −1)2

(x +2)2

(x −1)3

(x +2)3

′

1 2 3

1 2

yIV =

= −

−

(x −1)3

+2)3

(x −1)4

(x +2)4

= −

−

; ...;

(x −1)4

(x +2)4

) =(−1)

n−1 (n −1)!

+(−1)

n−1 (n −1)!

(x −1)4

(x +2)4

	1		1
=(−1)n−1 (n −1)!		+		.
	(x −1)n		(x +2)n

Пример 27. Найти производную n-го порядка функции

y =

ax +b

cx +d

Решение: Преобразуем эту функцию для упрощения вычис-

лений:

ax +b

bc −ad

y =

;

cx +d

c(cx +d)

cx +d

тогда

y′=

bc −ad

′

bc −ad

′

c c(cx +d)

cx +d

= −

bc −ad

= −

bc −ad

;

(cx +d)2

c (cx +d)2

bc −ad

′

−ad

2c(bc −ad)

y′′=

−

;

(cx

+d)2

c (cx +d)3

(cx +d)3

y′′′=2c(bc −ad)

′

c(bc −ad)

= −2 3

; ...;

(cx +d)3

(cx +d)4

(n)

n−1

n−2

′

=(−1)

−1)!c

(bc

−ad)

(cx +d)n

n−1

=(−1) n!c (bc −ad) (cx +d)n+1

;

(n)

(−1)n n!cn−1

(bc −ad)

(cx +d)n+1

Пример 28. Найти производную n-го порядка функции

y =

x2 −1

Решение: Преобразуем эту функцию для упрощения вычис-

лений:

y =

−1

x +1

x −1

тогда, используя полученное выражение для производной n-го

порядка функции y =

ax +b

, получим

cx +d

(n)

(−1)(n) n!

(x +1)

n+1

(x −1)

n+1

Пример 29. Найти производную n-го порядка функции y = sin5xcos2x.

Решение: Преобразуем эту функцию для упрощения вычислений:

y =sin5xcos2x = 12 (sin7x +sin3x),

тогда, используя полученное выражение для производной n-го порядка функции y = sinx, получим

(n)

(sin5xcos2x)

(n)

(sin7x +sin3x)

(n)

sin

7x +

sin

3x +

n .

Пример 30. Найти производную n-го порядка функции y = sin3xcos2x.

Решение: Преобразуем эту функцию для упрощения вычислений:

y=sin3xcos2 x = 12 sin3x(1+cos2x)=

=1 (sin3x +sin3xcos2x)= 1 sin3x + 1 (sin5x +sinx) , 2 2 2

тогда, используя полученное выражение для производной n-го порядка функции y = sinx, получим

y(n) =(sin3xcos2 x)(n) =

sin3x +

(sin5x +sinx) (n) =

sin

3x +

sin

5x +

+sin x +

n .

Пример 31. Найти производную 25-го порядка функции y = x2sinx (используя формулу Лейбница для производных высших порядков).

Решение:

y(25) =(sinx x2 )(25) =

=(sinx)(25) x2 +25(sinx)(24) (x2 )′ + 25224 (sinx)(23) (x2 )′′ =

=sin x + π25 x2 +25sin x + π24 2x + 25 24 sin x + π23 2 =

2 2 2 2

=(x2 −600)cosx +50xsinx.

Пример 32. Найти производную 24-го порядка функции y = ex(x2 – 1) (используя формулу Лейбница для производных высших порядков).

Решение:

y(24) =(ex (x2 −1))(24) =

=(ex )(24) (x2 −1)+24(ex )(23) (x2 −1)′ + 24223 (ex )(22) (x2 −1)′′ =

=(ex )(x2 −1)+24(ex )2x + 24223 (ex )2 =

=ex (x2 −1)+48exx +552ex =ex (x2 +48x +551).

Задача 7. Найти дифференциалы первого, второго и третьего порядка функций:

1) y = (2x – 3)3;

2) y = e2t;

3) y3 + x3 – 3xy = 0;

4) y4 – 6x2y2 + 9y4 – 5x2 + 15y2 – 100 = 0; 5) xy – yx = 0;

6) xsiny + ysinx = 0; 7) ey – ex – 2xy – 1 = 0.

Задача 8. Найти производные функций, используя формулу Лейбница:

1) [(x2 + 1)shx](20); 2) (x5ex)(n);

3) (x3sinαx)(n); 4) (x4lnx)(n).

15. ТЕОРЕМА И ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА

Теорема Тейлора.

1. Пусть функция f(x) имеет в точке х = а и некоторой ее окрестности производные порядка до (n + 1) включительно. (То есть и все предыдущие до порядка n функции, и их произ водные непрерывны и дифференцируемы в этой окрестности.)

2. Пусть х – любое значение из этой окрестности, но х ≠ а. Тогда между точками х и а найдется такая точка e, что

справедлива формула

		f′(a)					f′′(a)			2
f (x)=f (a)+			(x −a)+						(x −a) +...+
		1!					2!
+	f(n) (a)	(x −a)		n	+	f(n+1) (e)		(x −a)		n+1	,
	n!					(n +1)!

это выражение называется формулой Тейлора, а выражение

f((n++1) ()e)(x −a)n+1 = Rn+1 (x)

n 1 !

называется остаточным членом в форме Лагранжа. Доказательство. Представим функцию f(x) в виде некоторо-

го многочлена Pn(x), значение которого в точке х = а равно значению функции f(x), а значения его производных равны значениям соответствующих производных функции в точке х = а:

Pn (a)=f (a); Pn′(a)=f′(a); Pn′′(a)=f′′(a); ...; Pn(n) (a)=f(n) (a). (1)

Многочлен Pn(x) будет «близок» в некотором смысле к функции f(x). Чем больше значение n, тем ближе значения многочлена к значениям функции, тем точнее он повторяет функцию.

Будем искать этот многочлен с неопределенными пока коэффициентами по степеням (х – а):

Pn (x)=C0 +C1 (x −a)+C2 (x −a)2 +...+Cn (x −a)n .

(2)

Для нахождения неопределенных коэффициентов вычисляем производные многочлена в точке х = а и составляем систему уравнений:

Pn′(x)=C1 +2C2 (x −a)+3C3 (x −a)2 +...+nCn (x −a)n−1 ;

n ( )

3 (

)

(

) n (

)

=2C

+3 2C x

−a +...+n n −1 C

x −a

n−2

;

P′′ x

...

Pn(n) (x)=n(n −1)(n −2)...2 1Cn.

(3)

Решение этой системы при х = а не вызывает затруднений,

получаем

f(a) = C0 C0 = f(a)

f′(a) = C1 C1 = f′(a);

f′′(a)=2 1C2 C2 =

f′′(a)

;

f′′′(a)=3 2 1C3 C3 =

f′′′(a)

f′′′

(a)

; ...;

3 2 1

f(n) (a)=n(n −1)(n −2)...2 1Cn Cn =

f(n) (a)

(n(n −1)(n −2)...2 1)

Подставляя полученные значения Ci в формулу (2), получаем

′(a)

f′′

(a)

f(n) (a)

Pn (x)=f (a)+

(x −a)

+...+

(x −a)

Как было замечено выше, многочлен не точно совпадает с функцией f(x), то есть отличается от нее на некоторую величи-

ну.ОбозначимэтувеличинуRn+1(x).Тогдаf(x)=Pn(x)+Rn+1(x). Теорема доказана.

Рассмотрим последнюю формулу в развернутом виде:

			f′(a)			f′′(a)	2
f (x)=f (a)+					(x −a)+		(x −a)	+...+
		1!				2!
+	f(n) (a)			(x −a)n +Rn (x −a).				(4)

		n!

Для тех значений x, для которых остаточный член Rn(x) мал, многочлен Pn(x) дает приближенное представление функции f(x), что проиллюстрировано на рис. 6.

Рис. 6. Графики функции и ее многочлена Тейлора

Таким образом, формула (4) дает возможность замены функции y = f(x) многочленом y = Pn(x) с соответствующей степенью точности, равной значению остаточного члена Rn(x).

Далее оценивают величину Rn(x) при различных значениях x и получают различные формы остаточного члена.

ФормаПеаноостаточногочленаформулыТейлора.Пусть для

функции Rn(x) существуют все производные вплоть до n-го порядка и выполняются условия Rn(a) = Rn′(a) = Rn″(a) = … R(nn)(a) = 0.

Тогда при x → a эта функция является бесконечно малой выше n-го порядка по сравнению с x – a, то есть Rn(x) = o(x – a)n.

Форма Лагранжа остаточного члена формулы Тейлора. Если в малой окрестности точки а существуют все производные функции f(x) до (n + 1)-го порядка, можно получить другое представление остаточного члена:

Rn (x)= f((nn++1)1()c!)(x −a)n+1 ,

где точка с расположена между а и x.

Иногда используется другая запись для Rn(x). Так как точка c (a,x), то найдется такое число q из интервала 0 < q < 1, что c = a + q(x – a).

Тогда можно записать Rn (x)= f(n+1) (a ++q()x −a) (x −a)n+1 . n 1 !

16. ФОРМУЛА МАКЛОРЕНА

Формулой Маклорена называется формула Тейлора при а = 0:

f (x)=f (0)+ f′1!(0)x + f′′2!(0)x2 +...+ f(nn) (!0)xn +Rn (x);

Rn (x)= f((n+1+) (q)x)xn+1, где 0 < q < 1. n 1 !

Это так называемая формула Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа.

Заметим, что при разложении функции применение формулы Маклорена предпочтительнее, чем применение непосредственно формулы Тейлора, так как вычисление значений производных в нуле проще, чем в какой-либо другой точке, естественно, при условии, что эти производные существуют.

17. РАЗЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ ПО ФОРМУЛЕ МАКЛОРЕНА

На основании разложения функции в ряд Маклорена легко получить разложения основных элементарных функций в ряд.

1. f(x) = ex. Имеем

f(x)=ex; f′(x)=ex; f′′(x)=ex; ...; f(n) (x)=ex;

f(0)=1; f′(0)=1; f′′(0)=1; ...; f(n) (0)=1.

Составим разложение по формуле Маклорена данной функции:

		ex =1+	x	+	x2	+	x3	+...+	xn	+r ,
		ex =1+		+		+		+...+		+r ,
		1! 2!				3!			n!	n
		1! 2!				3!			n!
где r =	ec	xn+1.
где r =	(n +1)!	xn+1.
n	(n +1)!

Но так как 0 < c < x < H, то ec < eH и мы имеем оценку rn (x) < (ne+H1)! xn+1.

В частности, беря x = 1, e1 < 3, получим формулу для вычисления числа е:

e =1+1!1 + 2!1 + 3!1 +...+ n1! +rn,

3 гдепогрешность rn не превосходит величины (n +1)!.

2. f(x) = sinx.
Имеем:
f(x) = sinx;
	π	;
f′(x)=cosx =sin x +		;
	2

f″(x) = –sinx = sin(x – π);

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]