Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Дифференциальное исчисление. Ч.I. Функции одной независимой переменной. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Dy =(u +Du)(v +Dv)−uv =vDu +uDv +DuDv,

lim

=v lim

+u lim

+ lim

Du lim Dv,

Dx→0

Dx Dx→0

так как v(x) – непрерывна в точке x, то

lim Dv =0,

lim

=vu′+uv′+u′0 =uv′+u′v;

Dx→0

(uv)′ =u′v +uv′.

Обобщение этой формулы:

(uvw)′ =u′vw +uv′w +uvw′ и т.д.

u(x)

u(x +Dx)

u(x)

u +Du u

5. y =

Dy =

−

v(x)

v(x +Dx)

v(x)

v +Dv

(u +Du)v −(v +Dv)u

vDu −uDv

v(v +Dv)

lim

vDu −uDv

−u lim

v lim

lim

Dx→0

lim v

(

v +Dv

)

v lim

v +Dv

)

Dx→0

Dx→0 (

′

так как lim Dv =0 lim

u v −uv

;

u v −uv

Dx→0

4. ПРОИЗВОДНАЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ И СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

y =loga x Dy =loga

(x +Dx)−loga x =loga 1+

;

1 x

lim

= lim

loga

= lim

loga

Dx→0

x Dx

(loga e);

lim loga 1

xlna x

x Dx→0

(loga x)′ =

loga e, если a = e, то (lnx)′

xlna

Теорема. Пусть y = f(u) – дифференцируемая в точке u0,

а u = j(x) – дифференцируема в точке x0 и u0 = j(x0), тогда

сложная функция y = f(j(x)) дифференцируема в точке x0 и y′(x0) = f′(u0)ϕ′(x0).

Доказательство.

Dy =f (j(x0 +Dx))−f (j(x0 ))=

f (j(x0 +Dx))−f (j(x0 ))j(x0 +Dx)−j(x0 )

;

(j(x0 +Dx))−j(x0 )

Dy =

f (u0 +Du)−f (u0 ) j(x0

+Dx)

−j(x0 )

так как ϕ(x0 + ∆x) – ϕ(x0) = ∆u; ϕ(x0) = u0;

ϕ(x0 + ∆x) = u0 + ∆u, то

f (u0 +Du)−f (u0 ) j(x0

+Dx)−j(x0 )

так как u = y(x) непрерывна в точке x0, то Du →							0 при Dx → 0,
lim	Dy	= lim	f (u0 +Du)−f (u0 )	lim	j(x0	+Dx)−j(x0 )		=
	Dx		Du			Dx
Dx→0		Dx→0		Dx→0

=f′(u0 )j′(x0 ).

То есть	Dy	=	Dy Du	,	lim	Dy	= lim	Dy lim	Du	(с учетом того,
	Dx		Du Dx		Dx→0	Dx	Du→0	Du Dx→0	Dx

что если Dx → 0, то Du → 0, так как u = g(x) – непрерывная функция), тогда dxdy = dudy dxdu, что и требовалось доказать.

Следствие 1.Еслиu=j(x)дифференцируемана(a,b),аy=f(u) дифференцируема в соответствующих точках u, то y = f(j(x)) дифференцируема на (a,b) и y′(x) = f′(u)ϕ′(x).

Эта теорема допускает обобщение и на большее количество промежуточных переменных.

Следствие 2. Если y = f(u), u = j(v), v = y(x) дифференцируемы, то y = f(ϕ(ψ(x))) дифференцируема и yx′ = fu′ϕv′ψx′.

Пример 1. Найти производную y = sinx2.

Решение:

y′=(sinx2 )′ =(sin(x2 ))′ =(cos(x2 ))2x,

т.е. y = f(u) = sinu, y′(u) =f′(u) = cosu, и u = ϕ(x) =x2, u′= ϕ′(x) =2x.

Пример 2. Найти производную y = (lnx)3.

Решение:

y =u3, y′		=3u2
	u				2 1
u =lnx, u ′ =			1	yx′	=3(lnx)		.
			1			x
						x
		x	x
			x

Пример 3. y = sin((lnx)3).

Решение:

f(u) = sinu; fu′ = cosu; ϕ(v) = v3; ϕv′ = 3v2;

y(x)=lnx, y′x = x1 ;

yx′ =cos((lnx)3 )3(lnx)2 x1 .

Производная xa, ax и u(x)v(x). 1. Второй способ y = xa

ln y =alnx (ln y)′x =(alnx)′x yyx′ = xб yx′ = yxa = axxб,

(xa )′ =axa−1 (совпадает с ранее полученным).

2. y = ax;

ln y =xlna (ln y)′x =(xlna)′x yyx′ =lna yx′ =ax lna;

(ax )′ =ax lna.

Пример 4. Найти производную функции

y =xcosxsinx + 12 cos2 x.

Решение: Cначала преобразуем данную функцию:

y =x 12 sin2x + 12 cos2 x,

y′= 12 sin2x + 12 x2cos2x + 122cosx(−sinx)= = 12 sin2x +xcos2x −cosxsinx =xcos2x.

Пример 5. Найти производную функции y =

x2ex2

Решение:

(2xex2 +x22xex2 )(x2 +1)−(2x)x2ex2

x2ex2

′

y′=

+1)


=	2x3ex2	+2x5ex2 +2xex2 +2x3ex2 −2x3ex2	=	2xex2 (x4 +x2 +1)				.
=		(x2 +1)2	=	(x2 +1)2				.
	Пример 6. Найти производную функции y =lntg				x	−		x	.
	Пример 6. Найти производную функции y =lntg					−	sinx		.
				2			sinx

Решение:

′

sinx

−xcosx

y′= lntg

−

sinx

2 x 2

sin

cos

−

sinx −xcosx

−

sinx −xcosx

sin2 x

sinx

sin2 x

2sin

2 cos

sinx −sinx +xcosx

xcosx

sin2 x

Пример 7. Найти производную функции y =arctg

2x4

−x8

Решение:

8x3 (1−x8 )−(−8x7 )2x4

y′=

2x4

′

arctg

(

1−x

2x4

)

1−x8

8x3 −8x11 +16x11 =

(

)

4x8

1−x

(

)

1−x

8x3 −8x11 +16x11

(

)

(

)

1−x

(

)

1−x

8x3 +8x11

8x3 (1+8x8 )

8x3

(

)

(

)

1+x8

1+x

Пример 8. Найти производную функции y = x2ex2lnx.

Решение:

			2	′	2 ′		2	1
y′=(x2ex				lnx) =(x2ex	)	lnx +x2ex			=
y′=(x2ex				lnx) =(x2ex	)	lnx +x2ex		x	=
=(2xex2 +x22xex2 )lnx +xex2 =(2xex2 +x22xex2 )lnx +xex2 =
(		)				(		)
=2xex2 1	+x2		lnx +xex2 =xex2			1+2lnx +2x2 lnx				.

В следующих задачах x, y, z, t, u, v, s – независимые переменные, a, b, c, d, m, n, p, q – постоянные.

Задача 1. Найти производные функций: 1) 3x2 – 5x + 1;

x4 −

+2,5x2 −0,3x +0,1;

3) ax2 + bx + c;

+ 3

−

+ 4

5) 2

6) 0,8 4 y −

;

0,3

5y2

;

−

p x

;

3 x

mz2 +nz +4p

;

p +q

10) f (x)=3x −2

x в точках x = 1 и x = 4;

11) f (t)=

t2 −5t −1

в точках x = –1 и x = 2;

12) (x3

– 3x + 3)(x2 + 2x – 1);

13) (x3

– 3x + 2)(x4 + x2 – 1);

14) (x2

– 1)(x2 – 4)(x2 – 9);

15) (

+1)(1+

)(

+1);

16)

x +1

;

x −1

17)

;

x2 +1

18)

3t2 +1

;

t −1

19)	v3 −2v					;
	v2
		+v +1
	v5
20)			;
	v3
		−2
21)	1−x3
				;
	x3
		+1
22)		1			;

	t2 +t +1
23)		1					;

	t2 −3t +6

24) tg6x;

25) cos2x;

26) sin4x;

27) sin(2x + 3);

28) tglnx;

29) cos3 x3 ;

30) ln(x2 + 5);

31) log4(x5 + 11);

32) lntgx;

33) lnsin5 x5 ;

34) shln(x2 + 5);

35) th(x5 + 11).

5. ПРИНЦИП ЛОГАРИФМИЧЕСКОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

1. Функция вида y = u(x)v(x) называется сложно-показа- тельной функцией, то есть если и основание, и показатель степени зависят от независимой переменной.

Логарифмируем функцию и дифференцируем полученное произведение:


ln y =v(x)lnu(x)		y′	=v′(x)lnu(x)+		v(x)u′(x)
		y			u(x)
	v(x)			v(x)u′(x)
y′=u(x)	v′(x)lnu(x)+					=

				u(x)

=u(x)v(x) lnu(x)v′(x)+v(x)u(x)v(x)−1 u′(x).

Пример 9. Найти производную функции y = xx.

Решение: Логарифмируем функцию lny = lnxx, используем свойства логарифмов lny = xlnx. Дифференцируем полученное

произведение	y′	=lnx +x	1	,	y′	=lnx +1, умножаем на y обе ча-
	y		x		y

сти y′= (lnx + 1)y. Заменяем y по условию на выражение через x, получим y′ = (lnx + 1)xx.

Ответ: y′ = (lnx + 1)xx.

Пример 10. Найти производную функции y = (sinx)x2. Решение: Прологарифмируем функцию lny = ln(sinx)x2,

используем свойства логарифмов lny = x2ln(sinx). Дифферен-

цируем полученное произведение	y′	=2xln(sinx)+x2	cosx	,

	y		sinx

умножаем на y обе части y′ = (2xln(sinx) + x2ctgx)(sinx)y. Заменяем y по условию на выражение через x, получим y′ = (2xln(sinx) + x2ctgx)(sinx)x2.

Ответ: y′ = (2xln(sinx) + x2ctgx)(sinx)x2.

Пример 11. Найти производную функции f(x) = (x2 + 3x)xcosx.

Решение: Прологарифмируем функцию lny = ln(x2 + 3x)xcosx, используем свойства логарифмов lny = xcosxln(x2 + 3x).

Дифференцируем полученное произведение как произведе-

ние трех функций

y′

=cosxln(x2 +3x)−xsinxln(x2 +3x)+xcosx

2x +3

+3x

умножаем на y обе части

2x +3

y′= cosxln(x

+3x)−xsinxln(x

+3x)+xcosx

+3x

Заменяем y по условию на выражение через x, получим

2x +3

y′= cosxln(x

+3x)−xsinxln(x

+3x)+xcosx

+3x

×(x2 +3x)xcosx .

Ответ:

2x +3

y′= cosxln(x

+3x)−xsinxln(x

+3x)+xcosx

+3x

×(x2 +3x)xcosx .

Пример 12. Найти производную функции y = xx2. Решение: Основание и показатель этой функции зависят

от x. Логарифмируя, получим lny = lnxx2, воспользуемся свойствами логарифмов f(x) = x2lnx. Продифференцируем обе части последнего равенства по x. Так как y является функцией

от x, то ln y есть сложная функция от x и (ln y)′ = 1y y′. Следовательно, yy′ = x2 x1 +2xlnx, или yy′ = x(1+2lnx). Умножим на

y обе части полученного равенства, получим y′ = x(1 + 2lnx)y и заменим по условию y на выражение через x, y′ = (1 + 2lnx)xx2. или y′ = (1 + 2lnx)xx2 + 1.

Ответ: y′ = (1 + 2lnx)xx2 + 1.

Пример 13. Найти производную функции y = (sinx)tgx.

Решение: Основание и показатель этой функции зависят от x. Логарифмируя, получим lny = ln(sinx)tgx, воспользуемся свойствами логарифмов lny = tgxln(sinx). Продифференцируем обе части последнего равенства по x. Так как y является функцией от x, то lny есть сложная функция от x и

(ln y)′ =	1	y′. Следовательно,	y′	=	1		ln(sinx)+tgx	1	cosx,

	y		y		2			sinx
					cos	x

или

y′

ln(sinx)

+1. Умножим на y обе части полученного ра-

cos x

sinx

)

венства, получим y′=

(

+1 y и заменим по условию y

cos

(

sinx

)

на выражение через x, y′=

+1 (sinx)tgx .

Ответ:

cos

sinx

)

y′=

(

(sinx)tgx .

cos x

2. Второй случай применения логарифмического диффе-

ренцирования.

Рассмотрим его на примере.

(2x −1)3

Найти производную функции y =

3x +2

(5x +4)2 3

1−x

Решение: Логарифмируем обе части равенства и получаем

	(2x −1)3			, воспользуемся свойствами логарифмов
ln y =ln		3x +2
	(5x +4)2 3		1−x

ln y =3ln(2x −1)+ 12 ln(3x +2)−2ln(5x +4)− 13 ln(1−x). Продифференцируем обе части последнего равенства по x.

Так как y является функцией от x, то ln y есть сложная функция

от x и (ln y)′ =

y′.

Следовательно,

y′

−2

−

, или

2x −1

2 3x +2

5x +4

3 1−x

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]